[摘  要] 在“双减”背景下，如何将过程教育落到实处是研究者一直在探索的问题之一. 文章以“多边形及其内角和”的教学为例，从“回顾旧知，引出主题”“开展活动，抽象概念”“积极探索，建构新知”“合作交流，促进应用”“归纳总结，反思提升”五个环节着手展开分析，并谈一些拙见.

[关键词] 过程教育;课例分析;数学思想

作者简介：孙冬艳（1985—），本科学历，中小学二级教师，从事初中数学教学工作.

过程教育是指在满足学生全面、和谐发展的基础上，关注数学结论形成与知识应用过程的教育方法，这是一种培养学生形成良好思维习惯与数学思想方法的教育模式[1]. “多边形及其内角和”是人教版八年级上册的教学内容，尽管大家对平面图形并不陌生，但部分教师在执教中仍存在一些观念或操作的偏差. 若想寓“过程教育”于“多边形及其内角和”的教学，究竟该如何操作？笔者在教学实践中进行了一些探索，并通过教学简录，展开分析与点评.

教学简录

环节1：回顾旧知，引出主题

师：上课之前，大家一起来说说三角形的概念及其相关性质.

生1：所谓的三角形是指在非同一直线上的三条线段，首尾顺次相连所形成的图形.

生2：三角形的内角和为180°，外角和为360°，每个外角的度数都等于与该角不相邻的两个内角的和.

生3：所有三角形的两边之和必然大于第三边，且每个角的外角都大于与它不相邻的任意内角.

师：非常好！如果我们将“三条线段的首尾顺次连接”更换成“四条、五条或n条（n≥3，且为正整数）线段首尾顺次连接”，所形成的图形可以称为什么图形呢？这就是本节课我们需要探讨的主要话题之一.

设计意图  通过对旧知的回顾，教师引导学生提取记忆中的信息，能自然而然地揭示课题，让学生的思维经历一个循序渐进的过程. 研究三角形的方式是研究其他多边形的基础，教师从三角形着手，能快速启发学生的思维.

环节2：开展活动，抽象概念

师：现在请各位同学在草稿纸上连接四条线段都不在一条直线上的图形，遵循首尾顺次相接的原则，观察所形成的图形具备怎样的特征.

（学生自主画图、分析）

生4：经分析发现，在同一平面内顺次连接四条不在一条直线上的线段，所得到的图形为四边形.

师：若线段的数量增加为五条呢？

（学生画图）

生5：能获得五边形.

师：很好！以此类推，如果连接不在一条直线上的n条（n≥3，且为正整数）线段，所得的图形是什么图形？

生6：结合三角形、四边形以及五边形的规律来看，应该为n边形.

师：非常好！这就是我们今天所探讨的“多边形”. 多边形相邻的两条边所组成的角为“内角”;而一边的延长线和相邻的另一条边所构成的角，我们称为“外角”;每个内角的顶点为多边形的“顶点”;将不相邻的两个顶点相连，所形成的线段为“对角线”. 针对这些概念，现在请大家一起来分析图1这个四边形.

生7：这是一个四边形，四条边分别为AB，BC，CD，AD;四个内角分别为∠A，∠B，∠C，∠D.

生8：如图2所示，四边形ABCD的外角为∠CDF，∠ADE，∠DCG，∠BCH，∠JBA，∠IBC，∠BAK，∠LAD;对角线为AC，BD.

师：很好，从你们的结论来看，四边形存在四条边、四个内角、八个外角以及两条对角线，其中外角之间存在什么特点呢？

生9：从结论来看，同一顶点的两个外角是相等的关系，如∠CDF=∠ADE.

师：总结得很到位，现在留一个思考题供你们课后探索：五边形的边、内角、外角、对角线分别有多少个？n（n≥3，且为正整数）边形呢？

设计意图  学生通过画图，自主探索四边形的边、角、外角和对角线的数量，不仅活跃了思维，更重要的是获得了良好的猜想能力，从四边形的分析延伸到多边形的分析.

环节3：积极探索，建构新知

师：众所周知，三角形的内角和为180°，那么四边形的内角和究竟是多少呢？现在请大家完成以下活动：①在自己的草稿纸上任意画一个四边形;②结合探索三角形内角和的经验，通过折叠、剪拼或测量等方法探寻自己所画四边形的内角和.

学生经过自主探索，获得了以下结论：①用测量法，先分别测量出四个角的度数，相加后获得四边形的内角和为360°;②添加对角线，将一个四边形分割成两个三角形，内角和为180°×2=360°.

师：大家运用了不同的探索方法，结论都指向于360°，据此我们可以形成什么猜想？

生10：由此可猜想四边形的内角和为360°，也就是說图1中的∠A+∠B+∠C+∠D=360°.

师：非常好！面对猜想，接下来应该干什么？

生11：接下来就是验证猜想是否正确，可以用推理法来证明. 如图3所示，连接AC，将四边形ABCD分成△ABC与△ACD，因为三角形的内角和为180°，那么△ABC+△ACD=360°.

师：非常好！这是化归思想在数学证明中的应用，除此之外，大家还有其他推理方法吗？

生12：如图4所示，分别延长AB，DC相交于点E，则∠A+∠D=180°-∠E，∠ABC=180°-∠EBC，∠BCD=180°-∠BCE，所以∠A+∠D+∠ABC+∠BCD=180°-∠E+180°-∠EBC+180°-∠BCE=540°-（∠E+∠EBC+∠BCE）=360°.

师：不错，这也是化归思想的体现，现在我们一起来思考一下，分别延长AB，DC一定是相交的关系吗？

生13：不一定相交，如果AB与DC为平行的关系，那么它们肯定不会相交.

师：也就是说这种推理方法并不具备普遍性，可通过分类讨论法补充平行. 大家还有其他方法吗？

学生经过讨论，一致认为在四边形的边上、内部或外部取一点，将各个顶点与该点相连，也可以将四边形转化成三角形而获得四边形的内角和为360°的结论.

师：太棒了！看来大家对化归思想掌握得非常透彻.

生14：还可以借鉴证明三角形内角和定理的方法，通过一个角的顶点添加四边形一边的平行线，将分散的角集中在一起获得结论.

师：给力！这种方法涉及数学中的平移思想、类比思想等. 我们有没有办法将四边形的四个角集中到四边形的内部或外部呢？

（学生讨论并获得结论）

师：通过以上探究，我们现在都能确定四边形的内角和，那么它的外角和是多少度呢？

（学生探索）

设计意图  教师引导学生积极探索四边形的内角和，在初步获得猜想的基础上再进行证明，这种方法符合一般概念的抽象过程. 随着探究的逐渐深入，学生对四边形的内角和、外角和有了更加清晰的认识，为接下来的交流与实际应用奠定了坚实的基础.

环节4：合作交流，促进应用

要求学生以小组合作学习的方式思考以下四个问题：

问题1：一个四边形的风筝，四角之比为1 ∶ 1 ∶ 0.6 ∶ 1，求此风筝四个内角的度数;

问题2：已知四边形ABCD中的∠A，∠C互补，∠B为80°，求∠D的度数;

问题3：四个全等的四边形纸片能否组成一幅镶嵌图？

问题4：一个四边形的内角，最多会出现几个钝角？说明理由.

（学生合作交流）

问题1的结论：应用方程思想解决这个问题，假设四边形ABCD的内角∠A=x°，根据四个角的比，可列出方程3x+0.6x=360，解得∠A=100°，其他角分别为100°，60°，100°.

问题2的结论：从四边形的内角和定理出发，解得∠D的度数为100°.

问题3的结论：根据四张纸片的内角和均为360°这个条件，可以确定能组成镶嵌图.

问题4的结论：最多只能存在三个钝角，若出现四个钝角，那么内角和必然大于360°，显然不合常理.

师：通过大家的结论，可见同学们对四边形内角和的概念与性质已经有了比较深刻的理解. 现在我们一起来看第三个问题，用一样大小的四边形纸片可以组成镶嵌图，我们生活中铺设四边形地砖就是根据这个原理来的. 大家还能列举一些与四边形相关的生活实例吗？

生15：如教室里的黑板、课桌、电子白板等都是典型的四边形.

师：不错，由此可见四边形在生活中的应用非常普遍. 结合问题4，大家思考一下一个四边形最多可以有几个直角.

生16：四个，如我们所熟悉的长方形与正方形.

师：很好，那么一个四边形中，最多有几个锐角？

生17：最多有三个锐角，不可能存在四个，因为四个锐角的和必定小于360°.

师：分析得很到位.

设计意图  合作交流是学生取长补短、查漏补缺的好方法，学生在合作过程中，思维不仅会受同伴的启发，还能促进团体凝聚力，形成良好的合作精神[2]. 四个小问题的讨论，让学生从实际应用的角度对本节课的知识有了更加深刻的理解.

环节5：归纳总结，反思提升

师：现在我们一起回顾一下本节课都研究了哪些知识.

生18：本节课我们探讨了多邊形的定义，四边形内角和、外角和定理及应用等.

师：四边形内角和的探索方法有哪些？

生19：有测量、剪拼、推理等方法，还运用了从特殊到一般的归纳法.

师：四边形内角和定理的证明，涉及什么基本思想？

生20：主要是将四边形转化成三角形，也可以通过平行线的添加把四个角集中到一起，应该应用了化归思想.

师：很好！在此学习过程中，大家有什么感触吗？

面对此问，学生畅所欲言，提出的感触主要有：①与三角形类似，四边形在生活实际应用中也很丰富;②研究发现，四边形和三角形有着密不可分的联系，可将四边形转化成三角形进行分析;③通过研究发现，类比是寻找解题思路与发现数学结论的重要方法之一;④解决数学问题的过程中，化归思想具有化繁为简的作用;⑤通过平移，可以将几何图形中分散的条件集中到一起，便于分析;⑥方程思想是几何计算常用的方法之一……

师：非常好！看来大家对本节课的感悟与体验颇多，这些学习经验与感悟对后继学习具有重要的指导意义. 本节课至此，大家觉得接下来应该探讨什么内容了？

生（齐）：研究完四边形，接下来应该研究五边形、六边形、n边形的内角和等问题了吧.

师：确实，下节课我们要研究的重点是n（n≥3，且为正整数）边形的内角和.

设计意图  课堂总结在一节课中具有画龙点睛的重要作用，学生通过对课堂内容的回顾与交流，不仅能深化对知识的认识，还能理清思路，为更好地接纳、建构、内化新知奠定基础.

教学分析

本节课是“多边形及其内角和”的第一课时，教学内容涵盖了多边形的概念、四边形内角和的定义、数学思想与活动经验等. 因此，本节课教学涉及概念教学、数学思想的渗透以及科学研究方法的培养等.

四边形作为本节课的重点研究对象，与学生所熟悉的线段、三角形等有着密切的联系，其内角和定理作为知识基础，在一般的几何证明或计算中时常会应用到. 因此，本节课的知识在后期解题或实际应用中具有普适性. 实践证明，三角形、四边形，乃至多边形的研究过程，蕴含着丰富的数学思想方法，常见的有类比、归纳、化归、平移、方程、演绎等，大量的数学思想方法对促进学生智力的发展以及能力的提升具有直接的影响力.

此课例结合四边形的概念、内角和、教学性质等所富含的教育价值，精心设计了以下教学过程：通过类比法提出问题—应用各种探索法定义多边形—运用各类数学思想方法与手段证明四边形的内角和—解决具有代表性的实际问题—反思内化. 教师将课堂教学重点放在问题的探索与证明上，以解决问题为目标，让学生从中体悟常见的数学思想，积累丰富的活动经验.

本课例以教材为载体，结合学生日常生活经验，引导学生亲自感知知识的发展过程，调动学生的学习兴趣，引发学生思考，为学生形成良好的学习习惯奠定了基础，也有效恰当地帮助学生掌握了一定的数学研究方法. 这种教学模式，不仅遵循了概念、定理类教学的规范要求，还充分体现了“以生为本”的教育过程，兼顾了课程教学的过程与结果.

学生通过本节课的学习，获得了自主陈述多边形概念的能力，同时还能结合图形完整地表达多边形的组成要素等. 丰富的教学过程，渗透了众多数学思想方法，使学生灵活地掌握了探索多边形内角和及定理的策略与方法，这对促进学生数学核心素养的形成与发展具有积极的影响力[3].

总之，强调学习的过程性，将丰富的数学思想方法渗透在课堂的每一个环节是新课改背景下的教学需求，也是学生实际发展的需要. 因此教师应注重教学过程中“以生为本”的原则，鼓励学生通过自主探究与合作交流等方式，寻找数学规律，感悟数学思想，从真正意义上形成可持续性发展的能力.

参考文献：

[1]章建跃. 数学学习与智慧发展[J]. 中学数学教学参考，2015（19）：4-10.

[2]威廉·卡尔文. 大脑如何思维：智力演化的今昔[M].杨雄里，梁培基，译.上海：上海科学技术出版社，2012.

[3]罗增儒.从数学知识的传授到数学素养的生成[J].中学数学教学参考，2016（19）：2-7.