晋珺

（晋中学院 数学系， 山西 晋中 030619）

0 引言

在有限群的表示理论中，研究特征标的诱导过程是一个基本而重要的问题。但一般而言，该诱导过程是非常复杂的，缺乏某种唯一性，在应用方面也难以控制。具体讲，设G是一个有限群，给定其一个不可约复特征标χ∈Irr(G)，如果χ不是本原的，可从真子群的特征标诱导，即存在H

然而，Isaacs原核的定义是非常复杂的，本质是借助Fπ-特征标做逼近，后者的基础是Gajendragadkar创立的 π-特殊的特征标理论［2］。设G为π-可分群，其中π为若干素数构成的集合，如果χ∈Irr(G)的次数χ(1)为π-数，且对任意次正规特征标对(S，φ)⊲⊲(G，χ)，均有 φ 的行列式阶ο(φ)为π-数，则称χ为π-特殊的特征标，简称为 Xπ-特征标，其全体记为 Xπ(G)。由于π-可分群G同时也是π′-可分的，可类似定义 π′-特殊的特征标。如果 χ=αβ，其中 α 是 π-特殊的，而β是π′-特殊的，则称χ是π-可分解的，简称为 Fπ-特征标，其全体记为 Fπ(G)。使用Fπ-特征标的性质，Isaacs建立了一个逼近理论，即对每一个χ∈Irr(G)选取其下方的“极大的”Fπ-特征标，不断重复该过程，最终得到一个子群 W 以及 Fπ-特征标 γ∈Fπ(W)使得 γG=χ。如此的特征标对(W，γ)称为χ的一个原核，精确到G-共轭是唯一的。特别地，当原核特征标γ是Xπ-特殊的，则称χ为一个Bπ-特征标，全体记为Bπ(G)。上述相关的定义和构造，细节可见Isaacs在2018年出版的最新专著［3］中的第2章和第4章，本文将在下一节简述所需的概念和性质。

值得指出的是，Bπ-特征标的引入为群表示论开辟了一个新的研究方向，属于当今前沿热点课题之一，取得了许多深刻和重要的成果。例如，Isaacs和Navarro定义了Bπ-特征标的卫星特征标并给出了在McKay猜想中的应用［4］；Wheeler定义并且研究了原核的长度［5］；Lewis根据正规列给出了一种新的原核构造［6］，并给出了原核的应用［7］，研究了商群的 Bπ-特征标［8］；Grittini使用原核技术研究了 p-长度问题［9］；Rizo借助 Bπ-特征标探讨了 McKay对应的整除性问题［10］并研究了相对 p-块［11］；Navar⁃ro和 Sambale研究了幂零权问题［12］；Chen和Yang 考察了 π-部分特征标的次数问题［13］；Gi⁃annelli和 Sambale探讨了亏群的限制问题［14］；Vallejo研究了特征标对应问题［15］；关于 Bπ-特征标在顶点理论中的应用可见相关文献［16］。

事实上，在上述提及的Bπ-特征标及其原核的应用中，一个关键技术都涉及到大群G与正规 子 群 N⊲G 的 Bπ-特 征 标 χ∈Bπ(G)和ψ∈Bπ(N)的原核相互确定的问题。Isaacs解决了从正规子群上特征标ψ的原核出发构造其上方Bπ-特征标χ的原核方式，具体结果如下（见Isaacs最新专著［3］中定理4.19）。

定理（Isaacs） 设G为π-可分群，N⊲G且G/N 为 π′-群 ，如 果 ψ∈Bπ(N)，χ∈Bπ(G)满 足(N，ψ)≤(G，χ)，对 任 意 的 (W，γ)∈Nuc(ψ)，记V=IG(W，γ)，则γ在V上存在唯一的π-特殊扩张 γ̂，并且(V，γ̂)∈Nuc(χ)。

本文的主要结果是给出了上述Isaacs定理的“反方向”命题，即从群G的Bπ-特征标的原核出发，构造出其正规分量ψ∈Bπ(N)的原核，据此得到了Bπ-特征标的原核与其正规分量的原核相互确定问题的完整解答。

定理A 设G为π-可分群，N⊲G并且G/N 为 π′-群，χ∈Bπ(G)且 (V，τ)为 χ的一个原核，则(W，γ)是χN某个不可约分量的原核，其中W=N∩V，γ=τW。

作为应用，我们给出在商群为π′-群情形下，Bπ-特征标在正规子群限制的不可约分量仍为Bπ-特征标的一个简化证明。

推论B 设G为π-可分群，N⊲G并且G/N 为 π′-群，χ∈Bπ(G)，则 χ 在 N 上所有不可约分量均为Bπ-特征标。

本文只考虑有限群上的复特征标，涉及到的群论术语和符号，可参考Isaacs专著［17］，特征标方面的见其专著［18］。

1 原核和Bπ-特征标

本节我们给出相关的概念和需要用到的一些结果。

引 理1 设 G为 π-可 分 群 ，N⊲G，χ∈Xπ(G)，θ∈Xπ(N)，那么 χN的每个不可约分量均为 Xπ-特征标。若商群 G/N为 π′-群，则 χN不可约；θG存在Xπ-分量当且仅当θ为G-不变的，此时θG只有唯一的Xπ-分量。

若 θ∈Xπ(N)且 θG存在 Xπ-分量 ψ，则由上述结果可得ψN不可约，故ψN=θ，从而θ为G-不变的。

下面假设 θ为G-不变的，显然 θ(1)和 ο(θ)皆为π-数，由Gallagher定理，可知θ在G上存在唯一的典范扩张，记为ψ，下面证明ψ是π-特殊的，并且ψ是θG的唯一的Xπ-分量。首先我们证明后者，如果θG存在Xπ-分量α，则同样可得αN=θ，即 α 是 θ在 G 上的一个扩张，又 ο(α)为π-数，从而α是θ在G上的典范扩张，故α=ψ。

最后，证明ψ是π-特殊的，对|G|进行归纳，考虑 Oπ(G)，若 Oπ(G)

定义1 设G为π-可分群，S⊲⊲G，φ∈Fπ(S)，则称(S，φ)为G的次正规π-可分解的特征标对，简称G的Fπ-对。G的所有Fπ-对在特征标的偏序关系下的极大元称为G的极大Fπ-对，其全体记为 S∗(G)。设 χ∈Irr(G)，如果(S，φ)≤(G，χ)，则称(S，φ)为(G，χ)或χ下方的Fπ-对。

下面是G的极大Fπ-对和Fπ-特征标的几个主要定理。

引理2 设G为π-可分群，(S，φ)为G的极大 Fπ-对，M⊲G 且 G/M 为 π-群或 π′-群 ，令D=S∩M，δ为φD上一个不可约分量，则(D，δ)为M的一个极大Fπ-对。

证明 由M⊲G，得D⊲S且S/D≅SM/M，故 S/D 为 π- 群 或 π′- 群 ，又 φ∈Fπ(S)，故δ∈Fπ(D)，从而(D，δ)为M的一个Fπ-对。

假设(D，δ)不是M的一个极大Fπ-对，则根据文献［3］中引理 4.6，存在 M 的一个 Fπ-对(T，τ)满 足 (D，δ)<(T，τ)，D⊲T 且 T/D 为 单群，则 T/D 为 π-群或 π′-群。令 H=，则H⊲⊲G，又D⊲S，得D⊲H，此时δ为φD和τD的一个共同的不可约分量，由文献［3］中引理4.4，可得Irr(H|δ)中的每一个不可约特征标都是π-可分的，从中选取一个不可约特征标θ位于 φ 的上方，则 θ∈Fπ(H)，故(H，θ)为 G 的一个极大Fπ-对且(S，φ)≤(H，θ)，由(S，φ)的极大性得S=H，故T⊆H=S，则T⊆S∩M=D，这与D

定理1 设G为π-可分群，χ∈Irr(G)，则

（1）存在 G 的一个极大 Fπ-对 (S，φ)使得(S，φ)≤(G，χ)；

（2）如果(U，θ)为 G 的任意一个 Fπ-对，满足 (U，θ)≤(G，χ)，则存在 G 的一个极大 Fπ-对(S，φ)使得(U，θ)≤(S，φ)≤(G，χ)；

（3）(G，χ)的任意两个极大Fπ-对均在G中共轭。

证明 因为平凡的 Fπ-对(1，11)≤(G，χ)，说明(G，χ)下方总有 Fπ-对，我们将证明(G，χ)下方的每个极大Fπ-对都是G的极大Fπ-对，据此即得（1）和（2）。

设(S，φ)为(G，χ)下方的极大 Fπ-对，假设(S，φ)不是 G的极大 Fπ-对，由文献［3］中引理4.6，存在 G 的 Fπ-对 (T，τ)满足 (S，φ)<(T，τ)，S⊲T且T/S为单群，则T/S为π-群或π′-群，由于τ是π-可分的，故Irr(T|φ)的每一个不可约特征标都是 π-可分的，取 μ∈Irr(T|φ)位于 χ 的下方 ，则 (T，μ)是 G 的 一 个 Fπ-对 且 (S，φ)<(T，μ)≤(G，χ)，这与(S，φ)的极大性矛盾。

下面证明（3）的结论，固定(G，χ)下方的极大 Fπ-对 (S，φ)，我们通过对 |G|进行归纳来证明下面的命题：若 (T，θ)是 (G，χ)下方的一个Fπ-对，那么就存在 g∈G 使得 (T，θ)g≤(S，φ)。如果 T=G，则(T，θ)=(G，χ)，可知 χ是 π-可分的，从而 (S，φ)=(G，χ)=(T，θ)，对任意的 g∈G都 有 (T，θ)g≤(S，φ)。 下 面 假 设 T

现在假设 (S1，φ1)也是 (G，χ)下方的极大Fπ-对，由上面结论，存在 g∈G 使得(S1，φ1)g≤(S，φ)，由 (S1，φ1)g和 (S，φ) 的 极 大 性 ，得(S1，φ1)g=(S，φ)。

定理2 设G为π-可分群，(S，φ)为G的一个极大Fπ-对，令T=IG(S，φ)，那么特征标的诱导 为双射 ()G：Irr(T|φ) →Irr(G|φ) ，ξ↦ξG。称 为由(S，φ)定义的G的一个极大Fπ-对应。

证明 只需证明诱导定义了一个从Irr(T|φ)到Irr(G|φ)的单射即可。因为如果该诱导为单射则必为满射。事实上若χ∈Irr(G|φ)，则存在ψ∈Irr(T|φ)在 χ的下方，于是由 ψG不可约，可得 ψG=χ。

对|G|进行归纳，若S=G，则T=G，显然成立。下设S

取 θ∈Irr(M)在 φ 上方，记 I=IG(θ)，若有g∈G 使得 θg也在 φ 上方，即(S，φ)≤(M，θg)，由(S，φ)≤(M，θ)和M⊲G，可得(S，φ)g≤(M，θg)，此时 (S，φ)与 (S，φ)g都属于 S∗(M)。由本节定理 1的（3）可得，存在 m∈M，使得 (S，φ)gm=(S，φ)，则 gm∈T，从 而 g∈MT，特 别 地 ，I⊆MT，进而有IMT(θ)=I。

令 ψ∈Irr(MT|φ)，取 θ∈Irr(M)在 φ 的上方且在 ψ的下方，因为 M⊲MT，IMT(θ)=I，由Clifford对应知存在 α∈Irr(I|θ)使得 ψ=αMT，则有ψG=αG。因为M⊲G，由Clifford对应知αG不可约，故ψG不可约，说明诱导定义了从Irr(MT|φ)到 Irr(G)的一个映射。

下面证明此映射为单射，记ψG=χ，其中ψ∈Irr(MT|φ)且 θ在 φ 的 上 方 。 假 设 存 在η∈Irr(MT|φ)，使得 ηG=χ。因为 ψ 在 θ上方，故χ在θ上方，因此ηM的所有不可约分量与θ在G中共轭。由于η在φ上方，因此ηM中至少有一个分量在φ上方，假设θg在φ的上方η的下方，则有g∈MT。又η在θg上方，则η在θ上方，由Clifford 对应存在 β∈Irr(I|θ)使得 η=βMT，因此βG=ηG=ψG=αG，由 Clifford对应为单射得 α=β，从而η=βMT=αMT=ψ。

若 MT=G，记 D=T∩M，则 D⊲T 且NM(S，φ)=D。因为 (S，φ)∈S∗(M)，由归纳假设，诱导定义了从Irr(D|φ)到Irr(M)的单射。设 μ∈Irr(D|φ)，记 θ=μM，则 θ不 可 约 且 μ 为Irr(D|φ)中唯一可诱导θ的特征标。因为T稳定D和φ，由μ的唯一性得θ在T中的稳定子必稳定μ。由文献［3］中引理2.11（b）得诱导定义了从 Irr(T|μ)到 Irr(G|θ)的单射。

令 ψ∈Irr(T|φ)，则 ψ 位于某个 μ∈Irr(D|φ)上方，其中 μ∈Irr(D|φ)，由上面结论知，χ=ψG不可约且在μM上方。为了完成证明，我们假设χ=ηG，其中 η∈Irr(T|φ)，下证 ψ=η。类似于 ψ的情形，存在某个 ν∈Irr(D|φ)在 η 下方，νM不可约且在ηG=χ的下方。因为χ不可约，μM与νM在G中共轭，又G=MT，则存在t∈T，使得νM=(μM)t=(μt)M，而 ν和 μt都属于 Irr(D|φ)，由于从Irr(D|φ)到Irr(M)的诱导映射为单射，所以ν=μt。因为D⊲T，得η在μ上方，又η在ν上方，而从 Irr(T|μ)到 Irr(G)的诱导为单射，从而η=ψ。

定理3 设G为π-可分群，(S，φ)为G的一个极大 Fπ-对，如果 S

证明 因为S是G的真正规子群，故存在U⊲⊲G满足使得S⊲U且U/S为单群，则U/S为π-群或π′-群，由对称性，不妨假设U/S为π-群。如果 φπ′为 U-不变的，则每个 θ∈Irr(U|φ)均为Fπ-特征标，此时(U，θ)亦是G的一个Fπ-对，这与(S，φ)的极大性矛盾，故U不属于IG(S，φπ′)。

令 N=NG(S)， 则 IG(S，φπ′)⊆N， 因 为U/S⊲⊲N/S且U/S为π-群，故U/S⊆Oπ(N/S)，所以

Oπ(N/S)⊄IG(S，φπ′)/S⊆N/S，

从而 |N：IG(S，φπ′)|不是 π′-数，特别地，IG(S，φπ′)为N的真子群，又

IG(S，φ)=IG(S，φπ)∩IG(S，φπ′)，表明IG(S，φ)也是N的真子群。

现在介绍Isaacs定义的特征标原核的概念，设 G 为 π-可分群，χ∈Irr(G)，由上述定理 1选取 (S，φ)∈S∗(G) 满 足 (S，φ)≤(G，χ)，令 T=IG(S，φ)，由定理 2 存在唯一的 ξ∈ Irr(T|φ)使得χ=ξG，这样得到的 (T，ξ)是共轭唯一的，称为(G，χ)的一个标准诱导对。

如果χ是π-可分解的特征标，那么S=G，从而(T，ξ)=(G，χ)；如果 χ 不是 π-可分解的特征标，那么S(T1，ξ1)>…>(Tn，ξn)=(W，γ)。其中 (Ti，ξi)是 (Ti−1，ξi−1)的一个标准诱导对，γ为Fπ-特征标，我们称(W，γ)为(G，χ)或χ的一个原核，称W为χ的原核子群，称γ为χ的原核特征标，χ的全体原核记为Nuc(χ)。Isaacs将G中那些原核特征标为Xπ-特征标的不可约特征标称为Bπ-特征标，其全体记为 Bπ(G)。

以下是原核的简单性质：

引 理 3 设 G 为 π-可 分 群 ，χ∈Irr(G)，(W，γ)∈Nuc(χ)，则以下成立：

（1） (W，γ)是共轭唯一的；

（2） χ∈Fπ(G)当且仅当(W，γ)=(G，χ)；

（3） 如 果 (S，φ)≤(G，χ)为 G 的 一 个 极 大Fπ-对，那么 (S，φ)经过适当的共轭替换后有(S，φ)≤(W，γ)；

（4） γG=χ且 γ∈Fπ(W)，特别地 IG(W，γ)=W；

（5） 如果 (T，ξ)为 (G，χ)的一个标准诱导对，则 Nuc(ξ)⊆Nuc(χ)。

证明 当χ∈Fπ(G)，那么(G，χ)就是G的在χ下方唯一的极大Fπ-对，此时χ有唯一的原核(W，γ)即为(G，χ)，从而 χ的原核在 G 中共轭唯一，反之若(W，γ)=(G，χ)，那么原核 γ 是 π-可分的，故 χ=γ也是 π-可分的，（2）得证。现在假设χ∉Fπ(G)，对|G|进行归纳。

由原核的构造过程可知，第一步需要选择G 的在 χ下方的一个极大 Fπ-对(S，φ)，令 T=IG(S，φ)，得到(G，χ)的一个标准诱导对 (T，ξ)，所以ξ的原核也是χ的原核，（5）得证，此时T

下面是需要用到的Bπ-特征标的一个性质和著名的Clifford定理。

引 理 4 设 G 为 π-可 分 群 ，χ∈Bπ(G)，(N，θ)≤(G，χ) 为 G 的 一 个 Fπ- 对 ，则θ∈Xπ(N)。

证明 因为(N，θ)≤(G，χ)为 G 的一个Fπ-对，由本节定理 1（2）可知，存在 (S，φ)∈S∗(G)满 足 (N，θ)≤(S，φ)≤(G，χ)，再 由 本 节 引 理 3（3），存在 χ的原核(W，γ)满足(S，φ)≤(W，γ)，已 知 χ∈Bπ(G)，故 γ 是 π-特 殊 的 ，显 然N⊲⊲W，由本节引理1可得，θ∈Xπ(N)。

2 主要结果及证明

定理4 设G为π-可分群，N⊲G并且G/N为π′-群，χ∈Bπ(G)且(V，τ)为χ的一个原核，则(W，γ)是χN某个不可约分量的原核，其中W=N∩V，γ=τW。

证明 因为χ为Bπ-特征标，故其原核特征标τ∈Xπ(V)。又因为

故V/W为π′-群，从而由引理1可得γ=τW不可约，且γ∈Xπ(W)。根据原核的构造过程，可以选取(S，φ)为χ下方的一个极大的次正规Fπ-对，使得

其 中 I=IG(S，φ)，ξ∈Irr(I)满 足 (V，τ)也 是(I，ξ)的一个原核，则 ξ∈Bπ(I)。

根 据 引 理 4 可 知 φ∈Xπ(S)。 下 令S1=N∩S，因为

故S/S1为π′-群。再次使用引理1，可以推出φ1=φS∈Xπ(S1)，并且 φ 为 φ1在 S 上唯一的 π-特殊扩张。因为 (S，φ)∈S∗(G)，由引理 2 可知(S1，φ1)∈S∗(N)，由于 (S1，φ1)≤(V，τ)，但 γ=τW是不可约的，迫使(S1，φ1)≤(W，γ)。

令 J=IN(S1，φ1)，J1=IG(S1，φ1)，下 面 我 们证明J1=I，由I正规化S∩N=S1且固定φ不动，从而固定 φ1不动，所以 I≤J1。令 K=，因为 S⊲⊲G，则 K⊲⊲G，由于S1⊲S，且 J1正规化 S1，故 S1⊲K。不难看出S/S1是 K/S1的次正规的 π′-群，因此对于任意的 x∈J1，Sx/S1也是 K/S1的次正规的 π′-群，故Sx/S1≤Oπ′(K/S1)，进而 K/S1是 π′-群 。由 φ1=知φ1为S-不变的，但φ1自动是J1-不变的，从而也是K-不变的。由引理1可以得到φ1在K上存在唯一的π-特殊扩张α，显然φ也是φ1在S上存在的唯一π-特殊扩张，故有(S，φ)≤(K，α)，但已知 (S，φ)为 G 的极大 Fπ-对，只有S=K，亦即J1正规化S。又因为J1固定φ1不动，由φ的唯一性，可知J1固定φ不动，表明J1≤I，最 终 得 J1=I，从 而 J=J1∩N=I∩N，J⊲I。因为

故 I/J亦为 π′-群。

设 (W，γ)≤(J，η)≤(G，χ)，如 此 选 择 η，则(S1，φ1)在 η 下 方 ，从 而 ψ=ηN∈Irr(N)，迫 使(N，ψ)≤(G，χ)，相关子群和特征标如图1所示。

现在对|G|归纳，若I=G，根据定理3，(S，φ)=(G，χ)，从而 (W，γ)=(N，ψ)，(W，γ)为 ψ的原核。若I

利用上述定理可证明推论B。

推论1 设G为π-可分群，N⊲G并且G/N为 π′-群，χ∈Bπ(G)，则 χ在 N 上所有不可约分量均为Bπ-特征标。

证明 令(V，τ)为χ的一个原核，W=N∩V，γ=τW，根据上述定理，则(W，γ)是χN某个不可约分量ψ的原核 ，已 知 χ∈Bπ(G)，所 以τ∈Xπ(V)，由 于 W⊲V，故 γ∈Xπ(W)，从 而ψ∈Bπ(N)，由引理5，可知χ在N上所有不可约分量均为Bπ-特征标。

3 致谢

作者衷心感谢山西大学数学科学学院王蕾博士的悉心修改。