钞娜，万仁霞*，苗夺谦

（1.北方民族大学 数学与信息科学学院，宁夏 银川 750021；2.同济大学 电子与信息工程学院，上海 201804）

0 引言

粗糙集理论［1］是由波兰数学家Pawlak在1982年提出的理论，是继概率论、模糊集、证据理论之后的又一个处理不确定性或不一致信息的有效数学工具，能有效地分析不精确、不一致、不完整等不完备的信息，还可以对数据进行分析和推理，从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律，因此被广泛应用于知识依赖性发现、数据挖掘［2］、机器学习［3］、决策分析［4］、医疗诊断［5］等问题。直觉模糊的概念是处理不精确或不完备信息的另一个重要概念，由Atanassov［6］提出，是Zadeh模糊集［7］的推广。直觉模糊集同时考虑隶属度、非隶属度和犹豫度三个方面，比模糊集更具灵活性与实用性。

经典粗糙集模型作为一种有效的粒度计算模型，定义在经典的等价关系和等价类的基础上，一般只适用于处理名义型数据，却不能直接处理数值型数据。为了解决这类问题。一些学者从对象关系的角度突破等价类的限制，来拓展粗糙集模型。例如，Skowron等［8］把粗糙集的等价关系弱化为相容关系，提出了相容粗糙集模型，研究出了公差近似空间；费颖［9］依据偏序关系性质，建立了偏序粗集模型；Slow⁃inski等［10］提出了优势粗糙集，通过梯度优势关系建立偏好关系的粗略近似，能有效处理带有偏好关系的属性及不完备、不一致信息决策问题；Lin等［11］给出了邻域的概念，通过空间中点的邻域粒化论域，用邻域系统来研究近似算子，来描述空间中的其他概念。Yao［12］和Wu等［13］分别提出并研究了l-step邻域和k-step邻域信息系统的性质。还有一部分学者用其他不确定理论来改造粗糙集模型。Dubois等［14］将模糊集理论与粗糙集结合起来，提出了一种模糊粗糙集。胡清华等［15］将邻域的概念结合到粗糙集理论中，提出了邻域粗糙集，是一种基于覆盖的集合模型。Zhou等［16］将直觉模糊集与粗糙集结合，提出了直觉模糊粗糙集。文献［17-19］研究了基于优势关系的粗糙集方法，用于解决多属性决策问题。文献[20]运用用直觉模糊关系，系统构建具备概率、多粒度、双论域的多粒度概率粗糙集，即多粒度双论域直觉模糊概率粗糙集。

模型的拓展为粗糙集的广泛应用提供了坚实的基础，然而，随着数据规模的不断增长以及数据形式的日趋复杂，一些特殊的信息处理现实需求给现有的粗糙集模型带来了巨大的挑战。因此，进一步开展粗糙集的分析和探讨，为粗糙集引入必要的拓展要素，增强模型的强健性、可靠性，对于推动信息的智能处理具有重要的理论意义和应用价值。本文研究在直觉模糊信息系统中优势关系下的邻域粗糙集模型的构建问题，提出了基于优势关系下的邻域粗糙集模型，并研究该模型的相关性质。本文所提出的粗糙集模型将直觉模糊集的思想与邻域粗糙集结合起来，从直觉模糊集的角度去构造邻域粗糙集的邻域，使得同一邻域内的对象之间具有更精确的相似性刻画，在此基础上构建基于优势关系的邻域粗糙集模型，是粗糙集模型的有效补充和拓展。

1 预备知识

本节简要回顾直觉模糊集，邻域粗糙集的相关基础知识。

定义1［6］设U是一个非空有限论域，U上的一个直觉模糊集A定义为A={x，μA(x)，νA(x)|x ∈ U}，其中 μA(x)，νA(x)表示U中的元素x属于直觉模糊集A的隶属度和非隶属度，且 ∀x∈U，0≤μA(x)+νA(x)≤1，μA：U →[0，1]和 νA：U →[0，1]分别表示在 A 上的隶属函数和非隶属函数。πA(x)=1−μA(x)−νA(x)。表示U对集合A的犹豫度，显然πA(x)∈[0，1]。 对任意x∈U，称 A(x)=(μA(x)，νA(x))是U在集合A下的直觉模糊数。U上的所有直觉模糊集的全体记作IFS(U)。

不失一般性，常用a=(μ，ν)来表示直觉模糊数，则0≤μ≤1，0≤ν≤1且μ+ν≤1。

定义 2［21］设 a1=(μ1，ν1)，a2=(μ2，ν2)。 为2个直觉模糊数，则 a1≤a2当且仅当 μ1≤ μ2且ν1≥ ν2。

文献［6］给出了直觉模糊集上的运算定义。

设

（6） A−B=A∩∼B。其中，"∼"表示补集合。

定义3［15］设U是一个非空有限论域，U上的一个邻域关系N，我们称(U，N)为邻域近似空间。

给定集合 U={x1，x2，…，xn}，条件属性集B⊆N，Δ表示距离函数，对于U上的任意样本xi，δ邻域信息颗粒在条件属性集B中定义如下：

对于 ∀x1，x2，x3∈U，距离函数 Δ 满足如下关系：

1） Δ(x1，x2)≥ 0，Δ(x1，x2)=0，当 且 仅 当x1=x2；

2） Δ(x1，x2)= Δ(x2，x1)；

3） Δ(x1，x3)≤ Δ(x1，x2)+ Δ(x2，x3)。

对于∀X⊆U，在(U，N)中关于X的上下近似算子分别表示为：

定义4［15］对于n个属性的样本，距离一般用闵可夫斯基距离来表示，定义如下：

其中f(x，b)表示样本x在属性b上的取值。在模式识别中广泛使用的距离度量函数有三种：

当p=1时，为曼哈顿距离；

当p=2时，为欧式距离；

当p=3时，为切比雪夫距离。

在本文中我们选取的距离函数为欧氏距离，即：在条件属性集 B={b1，b2，…，bn}下，样本x1与x2之间的距离如下：

2 基于优势关系的直觉模糊邻域粗糙集

本节给出基于距离函数定义直觉模糊矩阵以及直觉模糊矩阵的δ-截阵，同时给出邻域类、优势类、优势邻域类以及直觉模糊邻域粗糙集的上下近似定义和基于优势关系的直觉模糊邻域粗糙集的上下近似定义。

2.1 基于优势关系的直觉模糊邻域粗糙集

在本文中对于n个属性的多个样本，基于上述欧式距离函数和直觉模糊信息的理论，给出如下定义。

定义5 设U是一个非空有限论域，A={x，μA(x)，νA(x)|x ∈ U}为 U上的一个直觉模糊集，其中μA(x)，νA(x)表示U中的元素x属于直觉模糊集A的隶属度和非隶属度，称矩阵K为n×n直觉模糊矩阵：

对于任意 δ ∈[0，1]，称 Kδ=ΔB(i，j)δ是直觉模糊矩阵K的δ-截阵，其中：

显然，δ-截阵Kδ为布尔矩阵。

结合定义3和定义5可知，在δ的某一取值下，xi的邻域类如下：

定义6 称I={U，B，V，f}为直觉模糊信息系 统 ，其 中 U={x1，x2，…，xn}是 非空有限论域 ，B={b1，b2，…，bn}是非空有限条件属性集，f：U×B→V×V，即∀b∈B，x∈U， f( )x，b ∈V×V，V是不同对象在不同属性下的值域。

关于优势关系下的直觉模糊邻域粗糙集，其上下近似以及优势关系下的优势邻域类具有下述重要性质：

命题1 I={U，B，V，f}是直觉模糊信息系统 ，对于条件属性子集 B1⊆B2⊆B，∀X⊆U。有

优势关系下的直觉模糊邻域粗糙集关于集合的交、并、补等基本运算，有以下重要结论。

命题2 I={U，B，V，f}是直觉模糊信息系统，对于条件属性子集B1⊆B，∀X⊆U。有

2.2 近似精度与粗糙度

近似精度和粗糙度是刻画粗糙集不精确性和不完备性的两个重要指标［22-23］。结合优势邻域类特点，优势关系下直觉模糊邻域粗糙集的近似精度和粗糙度定义如下：

定义9 直觉模糊信息系统I={U，B，V，f}中，对于∀X⊆U，条件属性b∈B，则在条件属性b下X的近似精度与粗糙度分别为：

近似精度越高，粗糙度相应就也低，代表模型给出的结果越精确，越有效。

3 实例分析

例1 给出直觉模糊信息系统如下，表1是完备的直觉模糊信息表论域U={x1，x2，…，x6}，条件属性B={b1，b2，…，b4}，在实际问题中，可以表示对象的评分指标，表中的各个条件属性值的直觉模糊数可以表示为评审员对对象的各个指标的满意度与不满意度，这里取目标集X={x3，x4，x5}，∀X ⊆ U。

为便于研究，取δ=0.1，Δi表示在第i个属性下对象之间的邻域矩阵，首先计算各个属性下的邻域矩阵 K1，K2，K3，K4。

根据以上4个邻域类矩阵，可以得到各个属性的邻域类如下表，其中，其余类似给出如表2所示。

根据定义6，可得各个属性的优势类，例[x2]≤b1={x2，x3，x5}，其余如下表 3。

根据上下近似定义可知X的上下近似：

近似精度：

粗糙度：

4 结论

粗糙集模型的拓展研究是增强其可靠性的重要手段。本文基于优势关系，将直觉模糊思想融入到邻域粗糙集中， 构建了一种新的邻域粗糙集模型，得到了新模型的上下近似、优势邻域类、集合的基本运算等性质。文中将直觉模糊集的思想与粗糙集的上下近似概念结合起来，从直觉模糊集的角度去构造邻域粗糙集的邻域，使得同一邻域内的对象之间具有更精确的相似性刻画。新粗糙集模型融合了直觉模糊集合和邻域粗糙集的优点，是粗糙集理论模型的有效补充和拓展，具有一定的理论研究与应用价值。

大数据是当前海量数据构成的主体，而多粒度数据分析又是大数据研究领域中的重要课题［24］， 研究模型在多粒度数据分析下的拓展形式及相关性质是我们下一步工作的主要内容。