张晓飞 邓迎春

［摘  要］ 从中国数学史的角度来看，球的体积公式的获得经历了“类比、归纳、实验—旋转体猜想—利用祖暅原理探究—分割、求和、求极限”的过程. 基于中国数学史重构探究式课堂既让学生经历数学家的数学发现过程，又培养学生的人文情感，增强学生的民族自豪感和爱国情怀，还促进学生对相关知识和思想的理解和掌握.

［关键词］ 中国数学史；探究式课堂；球的体积

苏教版高中数学必修第二册第13章“立体几何初步”第3节“空间图形的表面积和体积”第2课时的内容是空间图形的体积.在这一课时中，教材只用了几行字处理球的体积问题.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：在教学中，可以组织学生收集、阅读几何学发展的历史资料，结合内容撰写报告，论述几何学发展过程中的重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献.基于此，考虑到教材略去了球的体积产生和发展的历史背景和方法，笔者在2022年5月25日江苏省仪征市名师送培活动中，从中国数学史的视角设计和实施了“球的体积”的教学，让学生经历了相关知识和思想产生和发展的过程，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的人文情感，促进学生对相关知识和思想的理解和掌握，并且增强了学生的民族自豪感和爱国情怀. 现将教学设计和感想整理如下，与同行共勉.

教学分析

通过生活中的情境和数学发展的必要性，引出本节课课题“球的体积”，再沿着中国数学的发展历程，合情推理（归纳猜想＋类比猜想）探究球的体积，最后通过“无限分割”思想进行证明. 课后请学生自主探究相关知识，是培养学生逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等数学学科核心素养的好契机.

1. 教学内容分析

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出本章节的教学内容为：认识柱、锥、台、球及简单几何体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 在近十年的全国高考中，每一年都有关于球的体积的计算问题，可见球的体积的计算是一个热点话题.

2. 学情分析

本节课是针对仪征市一所四星级高中理科普通班学生开设的，学生的数学基础一般. 学生学过球的形成，以及棱柱、棱锥、圆柱和圆锥的体积和表面积. 经了解，之前学生接触的探究性数学课堂较少，基本上以教师传授为主.

3. 教学任务

本节课的核心任务是“球的体积公式的推导”. 以问题为动力，学生为主体，探究为主线，数学学科核心素养为主位，充分展开自主学习和合作讨论，让学生亲身体验数学知识发现和创造的过程，正如波利亚所说：“学习任何知识的最佳途径都是自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其内在规律、性质和联系.”

4. 教学目标和教学重难点

教学目标：（1）通过具体问题感受探究球的体积公式的必要性.

（2）体会合情推理（归纳猜想＋类比猜想）、祖暅原理、积分思想在球的体积公式的推导过程中的应用.

（3）在球的体积公式的推导过程中，进一步感悟实验、观察、分析、猜想、验证、类比等方法的运用，培养逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等数学学科核心素养.

教学重点：球的体积公式的探究.

教学难点：合情推理（归纳猜想＋类比猜想）、祖暅原理、积分思想的运用.

教学方法：自主探究和合作交流.

教学设计

1. 设置情境，引入课题

情境1 生活中有很多球形的物体，如乒乓球、足球、篮球，还有球形星团、球形闪电、球形建筑等. 小到制作一个乒乓球，大到建造一个球形建筑，我们需要知道球的哪些要素？

情境2 球是很完美的几何体. 之前我们探究过一些多面体的体积，如棱柱、棱锥和棱台的体积，也探究过一些旋转体的体积，如圆柱、圆台和圆锥的体积.后面我们要继续探究什么呢？

设计意图 任何事物的产生都有一定的必然性，知识的产生也是如此. 生活生产的需要和数学内部知识发展的需要都推动着数学知识不断向前发展. 上述两个问题情境的设置，给出了本节课探究球的体积的必要性.

2. 重构历史，探究公式

问题1 球的体积一定与其半径有关，怎么探究球的體积与其半径之间的关系呢？

实验1 类比猜想. 正方体也是完美的几何体，它的中心到每一个顶点的距离都相等，体积与其边长有关，是边长的三次方. 猜想球的体积可能与其半径有关，是半径的三次方.通过材质相同的正方体与球（正方体的边长等于球的直径D）的质量的比较，得出结论：球与正方体的体积之比为，所以球的体积V=D3.

实验2 归纳猜想. 如图1所示，将球放入装有半桶水的容器中，通过算出放球前后水的体积之差得到球的体积，经由几组数据归纳出球的体积与直径D的关系.

学生分四组完成，第一组上台实验，第二组记录数据，第三组计算数据，第四组分析数据并归纳猜想.

设计意图 汉代以前，人们测得直径为1寸的金球和边长为1寸的金立方体的重量分别为9两和16两，由此得出两者的体积之比为，从而得到公式V=D3（D为金立方体的边长）. 该结论被记载到了《九章算术》中，但是如此粗略的估计很快就被其注释者刘徽发现了，他指明这个结论是错误的.实验1是想带着学生经历这一类比猜想的过程，正如数学家莱布尼茨所指出的：数学的本质不在于它的对象而在于它的思想、方法. 实验2是学生比较容易想到的一种求球的体积的方法，且是学生认知发展的有效途径之一. 在实验中，记录、归纳、猜想、联想、推理、交流、反思等，是培养学生探究能力的手段和方法.

问题2 实验1和实验2得到的是同一个结论，能说明这个结论是正确的吗？

设计意图 实验都有误差，并且不是每项实验都能得到正确的结论.此问题的设置，意在增强学生的质疑精神和猜想品质，联想到圆的周长和面积都和圆周率有关，那么球的体积是不是也和圆周率有关呢？

问题3 前面两个实验都失败了，那么能不能从数学内部，再来猜想一下球的体积公式？

设计意图 猜想对数学的发展、学生探索思维能力的培养、学生个性品质的形成等都起着重要的推动作用. 从数学内部进行类比，能够发现在底半径相同的圆锥、半球、圆柱中，半球的体积在圆锥和圆柱之间，从而猜想半球的体积公式，得到球的体积公式（如图2所示）.

问题4？摇 如何证明V=πR3？

类比圆柱體积的推导思路（祖暅原理），学生分组讨论，合作交流.

设计意图 根据祖暅原理，构造一个几何体，其与半球在任意等高处的截面面积相等，得出半球的体积，从而得出球的体积（如图3所示）. 整个过程在笔者的引导下完成.因为这个几何体的构造很困难，所以学生能体会到任何知识的产生和发展都是不容易的，深深为我国古代数学家们的智慧而感到自豪.

用平行于半球底面且与半球底面的距离为h的平面去截两个几何体，所截得的面积分别为S1，S2，试用R和h表示S1，S2，并说明它们有什么关系. 易知：S1=S2=π（R2-h2），V半球=πR3.

问题5 这个几何体的构造如此困难，能否优化一下思路呢？

笔者提醒：祖暅原理就是将几何体切成一片一片的，如果两个几何体在任意等高处的截面面积相等，那么两个几何体的体积就相等.能否将几何体切成一小段一小段，而不是一片一片的呢？

学生继续分组讨论，合作交流.

设计意图 将半球体分成n小段，如果n很大，那么每一小段可以近似看成圆柱，则半球的体积为n个圆柱体积之和（如图4所示）. 此处探究的是极限思想：无限分割→求和→求极限. 其实极限思想在小学阶段探究圆的面积时已经有所涉及，在下一课时探究球的表面积时还会用到. 极限思想虽然不是高中数学中的主要数学思想方法，但也需要学生了解，在教学中可以慢慢渗透.在这里，从片到段，是在探究面和体的一个关系：面动成体.

3. 课时小结，总结提升

（1）请学生回顾本节课的过程，谈谈学习的收获和感悟（知识、方法、思想等方面）.

（2）笔者梳理知识的前世今生，特别是中国古代数学家们在此知识的产生和发展中做出的巨大贡献（如图5所示）.

设计意图 （1）此环节，能让学生对本节课的内容有整体上的掌握：从为什么探究球的体积公式（生产生活的需要和数学内部发展的需要），到如何探究球的体积公式（实验→归纳〈类比〉→猜想→失败→类比猜想→证明〈两种思路〉）. （2）感受中国古代数学家们在此知识的产生和发展中做出的巨大贡献，产生浓厚的民族自豪感和爱国情怀.

4. 课外延伸，继续探究

（1）百度百科：刘徽和“牟合方盖”的故事.

（2）自主探究：球的表面积公式.

设计意图 此环节的设置将探究过程从课内拓展到课外，从教师指导下的探究转变为学生的自主探究，以增强学生自主探究的意识和治学态度.

教学反思

数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的关键能力与思维品质，是数学课程目标的集中体现. 学生数学核心素养的形成和发展，是在教师的启发和引导下，通过自己的独立思考或与他人的交流而“悟”出来的结果. 因此，在教学活动中，不能简单地告知知识点是什么，而要把数学的本质展现出来，促进学生思考和探究. 好的教学设计，要在关注知识与技能的同时，思考知识与技能所蕴含的数学本质、体现的数学思想，最终实现学生形成和发展数学核心素养的目标.

1. 让数学成为文化

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：强调数学与生活以及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力，同时注重数学文化的渗透. 之前，人们一直强调数学对思维的训练价值，但是今天人们越来越深切地感受到，数学本身就是作为人类认识事物的一种思想方法而存在和发展着.数学文化对于现代人们观念、精神以及思维方式的养成所产生的重要影响怎么估计都不过分. 在高中数学课程中渗透数学文化，挖掘数学教育中的“以文化人”的价值，应是今后不断努力的方向.

2. 让探究变成习惯

美国心理学家布鲁纳指出，探究是数学教学的生命线.而数学探究活动又是综合提升数学核心素养的载体，它具有的问题性、情境性、综合性、开放性、实践性、创造性等特征，使它更契合数学学科核心素养的本质属性和特点.

本节课的探究活动以问题串作引领，由表及里，由浅入深，层层推进，环环相扣，逐渐深入. 在整个过程中，笔者始终以参与者的身份进入学生的活动中，积极关注学生思维的火花，倾听学生的对话与交流，再适时加以点拨，使得学生的思维不断延伸，理解更加深刻，也使得整个课堂的问题探究富有条理性和逻辑性. 在一系列问题的推动下，让学生在实验、观察、归纳（类比）、猜想、验证等过程中自觉领悟数学本质，掌握数学思想方法. 课堂最后，笔者将探究从课内延伸到课外，把学生的学习路线拉长变宽，有利于学生将探究变成习惯，也能促进学生终身学习意识的培养.

3. 让学生享受数学学习乐趣

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：“高中数学课程面向全体学生，实现：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展.”但是，在高中数学教学中，一些教师经常以应对高考来设计、实施教学. 这种高强度、快跑步式的教学，很难顾及学生的发展需求和成长规律，造成的结果是许多学生在数学面前丧失了兴趣和信心. 其实，将数学史引入课堂，可以很好地提升学生的学习兴趣，启发学生的人格成长、改变学生的数学观、树立学生的自信心、拓宽学生的视野，使学生了解多元化的数学等. 在探究型课堂中，充分利用学生的好奇心和求知欲，带领学生追寻事物的发展规律、揭示知识的本质等；鼓励学生自主学习，主动获取信息、分析信息，提升学生自主学习的能力；通过合作交流，增强学生的合作意识和合作能力，保障学生学会交流、学会倾听、学会批判、学会反思. 在探究学习中，学生会经历挫折和失败，曲折与迂回，成功与兴奋，这些感受和体验可以让他们更好地理解知识的本质，以及科学精神的意义与价值，最终享受数学学习乐趣.

基金项目：扬州市教育科学“十三五”规划课题“高中数学课堂提问的策略研究”（2020/p/138）.

作者简介：张晓飞（1982—），教育硕士，高级教师，从事高中数学教育教学研究工作，扬州市高中数学特级教师，曾获江苏省教学成果奖二等奖、江苏省高中数学教师优质课展评一等奖等.