于庆磊，李连崇，魏晨慧，张鹏海，沈祁萌

(东北大学 资源与土木工程学院，沈阳 110819)

采矿工程的专业基础是力学，在采矿工程专业培养方案中，弹性力学是采矿工程重要的专业基础课。采矿工程专业的弹性力学课程，以线弹性力学的基础理论为主，扩展至弹性力学理论在岩石力学中的基本应用，侧重于岩石力学的固体力学基础，为采矿工程专业岩石力学相关的课程提供理论基础。培养学生掌握弹性力学的基本概念、基本理论、基本方法和求解力学问题的思路方法是本门课程学习的主要目的。该课程内容的理论性极强，又有一定工程应用背景。在理论上，它的基本概念和理论内容抽象，公式复杂，通常需要大量的运用数学知识，数学是弹性力学的重要支柱；在应用上，弹性力学主要分析各种工程结构和材料受力之后的变形情况，需要学生对工程实践有一定的感性认识，能够将理论分析与工程实际联系起来。

一 弹性力学教学中存在的问题

多数矿业类院校的采矿工程专业都将弹性力学课程设为必修课，但该课程在矿业类院校的教学现状却并不乐观，存在如下问题。

（一）受大类招生影响，采矿工程专业学生基础不好

虽然采矿工程专业讲授的课程内容多以线弹性力学的基础理论为主，扩展至弹性力学理论在岩石力学中应用等，但受大类招生的影响，专业分流后，转入采矿工程专业的学生数学基础相对较差，约一半学生高等数学不及格，而弹性力学涉及的应力张量、应变张量等概念比较抽象，导致学生对张量描述理解困难，学习效果很不理想。

（二）学生被动学习

多数学生在专业分流时被动转入采矿工程专业，对专业的认可度低，存在厌学情绪，缺乏学习的主动性。另外，随着现代教学手段的运用，弹性力学的教学也多采用多媒体教学，但多媒体教学难以演绎弹性力学理论公式的推导过程，常常只将结果显示出来，导致大多数学生跟不上学习节奏，很难清晰地理解公式来龙去脉，同时多媒体教学速度快，学生们在课堂上没有时间回味思考所学内容，造成被动接受的局面，他们在课堂上主动思考能力被削弱，随之而来的是迷惑和厌倦，甚至放弃了课堂学习，导致课堂师生互动性较差。

（三）弹性理论教学与实际问题脱节

以往教学中仅通过公式推演方式，虽然让学生理解了课堂讲述的内容，但难以让学生充分理解弹性力学与岩石力学中“力学模型”的真正物理意义，理论认识与采矿工程实际问题脱节，在分析实际力学问题时，常常无从下手，不利于培养学生的实践能力。

弹性力学这门课程的特点使得大多数采矿工程专业的学生感觉内容枯燥、学习强度大，相当一部分学生上课跟不上进度，课后不能独立完成作业。总体上，矿业类院校的弹性力学教学效果很不理想，亟需探索新的教学模式和新的教学方法，提升课堂师生互动性、消除学生厌学情绪和畏难心理，改善教学效果。

二 基于PBL 的弹性力学教学改革

PBL 教学法(Problem-Based Learning)是“基于问题式学习”或“问题导向学习”的自主学习模式，最初应用于医学教育，现已成为国际上较为流行的教学方法，并逐渐被国内更多的院校接受和采用[1]。虽然弹性力学课程以理论讲授为主，具有概念抽象，公式繁多的特点。但从强化对弹性体内部应力、应变描述等概念和理论的理解角度，采用PBL 教学法把弹性力学相关理论设计成启发性问题，利用问题启发的形象思维代替纯理论的抽象思维，能使学生能够更好地记忆、理解、运用与课程内容相关的知识。

采用基于PBL 教学模式后，依据教学大纲内容对现有教学方法教学设计进行修改，精心设计难度适宜、层次鲜明且生动有趣的问题，规划基于PBL 教学方法实施过程，通过设计不同的问题，学生主动思考和讨论，将学生置于弹性力学教学的中心位置，实现师生之间的课堂互动和深度讨论，使传统理论课程不再枯燥，调动学生学习积极性，让学生能通过深入思考，理解基本概念和原理，如图1 所示。

图1 基于PBL 教学模式的采矿工程专业弹性力学教学改革

（一）从基本概念角度设计启发性问题

弹性力学的教材很多，不同的教材在呈现弹性力学理论时，编写初衷和内容脉络并不完全一样。如徐芝纶[2]编写的《弹性力学》教材，从平面问题的基本理论切入，逐步过渡到空间问题的基本理论。而杨桂通[3]和程昌钧等[4]编写的弹性力学教材则从更一般情况切入，先讲授弹性体内的应力分析和应变分析，然后将空间问题的基本理论退化到平面问题的相关理论。后一种呈现方式中，一点的应力状态和应变状态都是张量描述，但如果学生深刻理解了张量描述，对学习弹性力学相关知识点很有帮助。因此，张量是弹性力学中一个重要概念，但一般工科专业的数学课程中并不讲授张量相关理论，需要在应力分析部分给学生讲清楚张量的概念。

在讲授应力张量时，可以设计启发性问题引导学生思考，先让学生深刻理解一点应力状态的特点，然后结合应力柯西定理进行理论上的分析验证。举例如一个立方体形状的弹性体，表面受均布面力的作用且两两垂直的方向上面力大小不等。甲乙两名同学进行该弹性体内应力分析，两名同学都以自己的视线方向为一个坐标轴，建立了两个不同的坐标系，这对该弹性体内应力分析结果是否有影响，启发学生的形象思维，如图2 所示。根据物体受力的客观存在，甲乙两名同学描述的都是同一物体受力，虽然[σ]和[σ＇]的形式可能不一样，但本质上一样的。因此学生很容易理解弹性体内一点的应力状态跟坐标系无关，建立不同坐标系不会影响应力分析的实质结果，即一点应力状态(应力张量)具有不变性。

图2 理解应力张量的启发性问题示例

通过物理实例，学生接受了应力张量的性质之后，可以结合柯西定理，通过理论分析进一步强化应力张量的内涵。根据柯西定理，过一点任意截面上应力矢量可由该点的应力张量线性表示。如果过该点选取三个正交截面，则三个正交截面法线组成一个新的坐标系，则用该点应力张量可以表示另一坐标系应力状态，也即应力张量可以进行坐标变换，反过来验证设计的引导性问题。

关于主应力和主方向，可以设计如下的问题：既然应力张量满足坐标变换，那么可以经过一系列变换后又回到初始状态，在这个变换过程中要么先增大后减小，要么先减小后增大，则应力张量变换过程中存在极值，所在的坐标方位可能即是主方向。目的是让学生深刻理解为什么会存在主应力和主方向。关于应变张量的内容，根据应力和应变的一一对应关系，也可以设计类似的问题。

（二）从岩石力学角度设计目标性问题

对采矿工程专业来说，弹性力学课程主要为岩石力学课程的学习提供理论基础。因此可以从岩石力学角度设计目标性问题，让学生思考应用弹性力学理论解决岩石力学问题。在讲到应力张量坐标变换时，可以举例岩石试件在单轴压缩情况为什么多沿斜面破坏等。如巴西劈裂实验测岩石抗拉强度，为什么计算公式中有π 的参与，引导学生思考如何得到巴西盘内的应力分布解析解，让学生掌握弹性力学经典的布西涅斯克问题、叠加原理等理论的应用。通过强化弹性力学经典理论解和基本原理的应用，引导学生了解弹性力学为岩石力学等专业课程服务，让学生更加重视弹性力学这门课程，增强学习兴趣。

巴西劈裂实验得到岩石抗拉强度计算公式(图3)

图3 巴西劈裂实验示意图

式中：σt为岩石抗拉强度；t 为试件厚度。

布西涅斯克问题描述的是半无限平面受集中力作用的平面问题(图4)，其应力解

图4 布西涅斯克问题

巴西盘劈裂实验中抗拉强度的计算公式和布西涅斯克问题的解在形式上有相似性。巴西盘受一对集中力作用时应力分布可以看成是两个受相向集中力作用并且力的作用线重合的布西涅斯克问题不断移近，与圆孔周围受力问题的叠加问题[5]，进而求得巴西盘内应力分布分析解。

（三）从工程实践角度设计引导性问题

弹性力学是分析具体采矿工程中力学问题的有效工具。但对于初学者来说，弹性力学理论深奥，无法和具体的工程实践联系起来，学生无法通过教材了解其真正的应用价值。因此，在教学过程中，可以适当引入采矿工程实例，引导学生应用弹性力学的理论知识去分析采矿工程中力学问题，让学生充分理解工程实际中“力学模型”的真正物理涵义，提高学习的主动性和积极性。增强学生对现场工程物理力学本质的认识，使弹性力学源于工程实践、回归工程实践。

譬如，讲到弹性力学经典的厚壁筒问题和圆孔附近的应力集中问题时，引入井下巷道开挖后围岩发生的变形和应力分布问题。让学生理解当厚壁筒的外半径趋于无穷大时，厚壁筒问题类似采矿工程中巷道问题，但其位移解析解并不符合常识，引导学生理解弹性力学问题解的适用范围，讨论初应力影响，理解先开挖后加载(厚壁筒)与先加载后开挖(地下工程问题)的区别，如图5所示。地下工程的开挖是在重力作用的场中进行开挖，应该忽略重力产生的初始位移，而弹性力学的厚壁筒问题是先有圆孔，再施加边界条件，因此得到位移解跟载荷密切相关，呈现正相关性。

图5 静水压力条件下圆孔周围变形场

（四）在教学中引入可视化手段

弹性力学中应力、应变是很抽象的概念，难以形象的感知。为了激发学生学习兴趣，引入了可视化手段到弹性力学的教学中。东北大学采矿工程专业的弹性力学课程，除了理论讲授外，还设置有物理实验和数值实验环节。物理实验中引入数字散斑、红外热像等可视化方法实现对应变的提取表征，数值实验中通过数值光弹和云图直观显示等手段实现应力、应变的可视化，并通过理论解和数值解的对比，增强学生对弹性力学问题的感性认识，消除厌倦情绪。图6 和图7 是采用数值光弹方法显示的巴西盘内的应力分布和圆孔周围的应力集中，通过可视化方法，加深学生对相关知识点的理解。

图6 巴西盘应力分布数值光弹结果（拉为正）

图7 圆孔周围剪应力集中数值光弹结果

三 基于PBL 的弹性力学教学组织

在设计好PBL 模式的问题后，通过分析教学活动整体及基于PBL 模式的知识点之间的关系，进行PBL的教学活动组织。采用Blackboard 平台，结合教学内容和周次安排，依次向学生推出PBL 模式的问题，让学生以小组为单位讨论，课堂提问和点评，了解学生在相关知识点所涉及的前修课程知识和学生个性差异等情况，在讲解时更加突出讲课的重点和难点。同时，改进教学课件，相应的为PBL 模式的知识点配置示意图、动画、过程原理图。通过图文并茂，调动学生感性思维，提升学生对弹性力学概念和原理的理解程度。

四 结束语

通过对弹性力学的基本原理和经典问题进行PBL教学模式改革，利用启发型和引导型问题，并辅助可视化教学手段，让学生在弹性力学的学习过程中从抽象思维转变到形象思维、主动思考和讨论，拓展学习思路，激发学生学习兴趣，可以很大程度上提高教学效果。该方法是弹性力学课程教学模式的积极探索，可以在教学过程中逐步应用。形成弹性力学课程的PBL 教学模式和体系，除了满足采矿工程专业本科生的教学需求外，同时可推广到土木工程、公路、铁路、隧道和水利等涉及岩石力学课程专业的本科生教学需求。