丁红云　石义娜　夏小刚

［摘  要］ 随着“双减”政策的出台，学生在校时间发生了大变动. 自由“说”活动是在“双减”提出保证课后服务时间的背景下，基于对加强学生学习力培养的思考而提出的一种教学活动. 自由“说”活动强调学生自由表达自己的所思所想，让“说”成为读与思的方向和归宿，培养学生的阅读能力、思考能力和表达能力. 自由“说”活动不仅为学生的表达搭建平台，为学生的知识内化提供途径，还拓展了学生的认知视野. 文章以“勾股定理”的教学为例，从明晰主题、收集信息、展示成果和师生评价四个方面谈五分钟自由“说”活动的开展.

［关键词］ 自由“说”；“双减”；勾股定理

现今，能力与素养的培养成为时代最强音，学校教育不再只是关注学生的知识传授，而是重点关注学生的长足发展. 在数学课堂上，教师开始注重学生能力和素养的培养，然而他们往往更加注重学科能力的培养，而忽视了一般学习能力，如阅读能力、思考能力和表达能力等的培养. 这些能力是发展学生学科能力的基础，但在实际教学中，课堂时间有限，教师难以兼顾一般学习能力的培养. 2021年中共中央办公厅、国务院颁布的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（简称“双减”）文件，为培养学生的一般学习能力提供了契机［1］. “双减”提出保证课后服务时间，有效开展各种课后育人活动，加强学生能力的培养并提高教学质量. 基于此，本文提出在课后服务中开展数学五分钟自由“说”活动，致力于培养学生的阅读能力、思考能力和表达能力，并协同发展其他学科能力. 这一活动的开展是让学生的一般学习能力从一种无意识自我发展状态转变为一种有意识发展状态的有效活动，是课后育人的新尝试.

数学五分钟自由“说”活动的教学意义

自由“说”即是让学生围绕主题任务自由表述自己的内心思想，将思维过程或思维成果用语言直观地表达出来的一种活动形式. 数学五分钟自由“说”活动则是指在课后服务中，用5分钟左右的时间请学生围绕布置的主题任务，以口头表达为主，阐述自己的思维成果. 活动要求学生自主设计“说”的内容和形式，致力于培养学生阅读能力、思考能力和表达能力等，促进学生全面、可持续的发展. 活动的开展具有丰富的教学意义.

1. 为学生的表达搭建平台

表达是由知识通往素养的必要过程，也是学生必须跨过的门槛，是实现教学价值的核心要素［2］. 数学五分钟自由“说”活动为学生的表达搭建了平台，为实现让学生学会“说数学”的素养目标奠定了基础. 在五分钟自由“说”活动中，要求班级里所有的学生都积极参与，面向全体学生，给予每一位学生表达的机会. 五分钟自由“说”活动的主要目的是激励学生主动开口，大胆地将自己的想法说出来，实现让学生“想说”“敢说”“会说”这一层層递进的表达目标. 因此，首先要激励学生开口，实现由“想说”变为“敢说”的目标，然后在表达过程中，让学生慢慢发现自己的不足之处，如说话没有逻辑性、不流畅，用语不准确等. 通过五分钟自由“说”的体验及教师的点拨、鼓励，逐步实现由“敢说”到“会说”的目标，最终做到让每一位学生都能清晰、准确、有逻辑地表达自己的观点.

2. 为学生的知识内化提供途径

知识内化是指通过知识交流和知识共享，学习个体主动吸收和理解新知识，将学科思维转向个体思维的过程［3］. 知识内化强调将新的知识与大脑中原有的知识进行整合，形成系统的知识体系，是学生学习的重要环节. 五分钟自由“说”活动其实就是学生进行知识输出的活动，活动要求学生围绕所学知识进行整理和拓展，最终按自己的理解将知识“说”出来. “说”是知识输出的一种手段，而“说”的前提是对知识的理解，即学生在“说”之前需要对知识进行内化. 反过来，“说”又能够促进知识的内化，学生在倾听和交流的过程中能够进一步强化对知识的理解和吸收. 因此，五分钟自由“说”活动为学生的知识内化提供了途径.

3. 拓展学生的认知视野

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：在开发课程资源时应充分利用多种渠道，寻找合适的教学素材，如学生感兴趣的自然现象、工程技术、历史事件、社会问题、数学史、数学家的故事以及其他学科的相关内容等，以开阔学生的视野［4］. 而在教学中，由于时空的限制，教师通常以教材为主要材料，以知识的理解和学科能力的发展为目标，限制了学生的认知视野. 而自由“说”活动让学生运用多种渠道和方式方法去获取相关主题资料和素材，并将这些课外学习资源融入数学教学中，让学生也成为课程资源的开发者，不仅锻炼了学生收集信息的能力，还让学生感受到了数学教材之外的数学世界是丰富多彩的.

数学五分钟自由“说”活动的设计——以“勾股定理”教学为例

数学五分钟自由“说”活动是在“双减”保证课后服务时间的背景下，以学生作为活动设计的出发点和归宿，为丰富学生的课后生活、拓宽学习视野和发展学生综合能力而构建的一种教学活动. 以学生“说”为主要的活动形式，在活动中给予每一位学生“说”的机会，力求让学生在参与活动的过程中得到长足的发展. 本文以“勾股定理”的教学为例，试谈数学五分钟自由“说”活动的设计流程.

1. 明晰主题，布置任务

确立主题、布置任务是开展数学五分钟自由“说”活动的首要环节. 通常，“说”的主题可以围绕教学内容的背景、意义及其渗透的思想方法等. 例如，勾股定理是直角三角形的一个重要性质，是指直角三角形斜边的平方等于两直角边平方之和［5］. 古人称直角三角形为勾股形，如图1所示，较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，故此定理称为勾股定理. 早在2000多年前，《周髀算经》中就记载了勾股定理“勾三股四弦五”的特例及“勾股各自乘，并而开方除之”的一般情况.

在西方，勾股定理又被称为毕达哥拉斯定理. 相传，毕达哥拉斯从地砖的摆放中观察出了直角三角形的这一特殊性质，后来其学派用演绎法证明了直角三角形三边的数量关系. 事实上，从其产生的过程来看，勾股定理与毕达哥拉斯定理是有所区别的. 勾股定理注重数学的实用性，强调用勾股定理解决实际问题，如《周髀算经》中揭示了勾股定理在测量天有多高、地有多广方面的实际应用，而毕达哥拉斯定理注重数学的演绎推理，弘扬严谨求实的理性精神，两者的产生体现了东西方数学文化的差异. 基于此，教师可以围绕勾股定理的起源及其发展过程将数学五分自由“说”活动的主题确立为“勾股定理的古今中外”，进一步围绕主题给学生布置任务——“从历史发展上看，毕达哥拉斯定理与勾股定理体现了怎样的文化差异”，让学生从两者的发展历程中体会东西方数学的发展特点，同时深化学生对勾股定理的认识，促进学生数学素养的提升.

此外，勾股定理也是目前证明方法最多的一个定理，它吸引着不同职业的人去探索证明，如国家总统、数学家、建筑师、学生等，原因在于勾股定理是连接代数与几何的桥梁，是应用代数思想解决几何问题的重要工具，还是数与形结合的第一定理，勾股定理的证明是论证几何的发端［6］. 勾股定理的证明方法多种多样，各有各的优势所在，如《几何原本》中欧几里得证法、古印度无字证明法，前者妙在辅助线的构造（如图2），后者则是巧妙地运用了拼图进行直观感知（如图3）. 因此，立足于学生对勾股定理证明思想方法的理解和应用，还可以确立“勾股定理的多样证明”“勾股定理的灵活应用”等主题. 在此基础上，又可以进一步具体分化出多个任务，任务详情见图4. 为了有效地开展活动，在实际操作中，教师可根据学生的薄弱点、兴趣和学习需求等选择任务.

2. 收集信息，教师辅助

数学教学要重视培养学生收集、处理信息的能力［3］. 而五分钟自由“说”活动为培养学生收集、处理信息的能力搭建了平台. 过去，学生收集信息的渠道通常有查阅书籍、同伴交流等，而在“互联网+”时代，网络也成为获取信息的重要渠道. 学生在收集信息时惯用百度浏览器直接搜索主题，搜索途径单一，对一些学科性的网站缺乏了解，因此，在学生收集信息的过程中，教师可以给予必要的指导，介绍一些更具学科性的网站. 例如，在收集有关勾股定理的材料时，从数学史的角度，可以推荐“科普之家”“MacTutor数学史档案（全英文的数学史资料库）”等网站；从证明方法的角度出发，可以推荐使用“个人图书馆”；从勾股定理的应用这一角度出发，可以推荐使用“初中数学题库”. 此外，还有“哔哩哔哩”视频播放网站，其中也有大量优秀教师对勾股定理的发展史及证明的介绍. 除网站外，还可以给学生提供一些具体的参考书籍或文献，如《勾股定理：悠悠4000年的故事》《千古第一定理——勾股定理》《挑战思维极限：勾股定理的365种证明》等，这些书籍以勾股定理为线索，梳理了历史上的一些重要事件、发明、发现以及证明方法，不仅能让学生了解勾股定理的发展史，感受不同时空的人们对勾股定理做出的贡献，还能让学生系统地了解到勾股定理多种证明方法中所蕴含的数学思想.

3. 展示成果，查漏补缺

学生上台展示是活动的中心环节，是教师观察学生的思维过程和成果的重要时机. 在展示的过程中，学生担任“小老师”的角色，通过“说”的形式分享自己阅读与思考的成果. 学生分享的过程实际上也是查漏补缺的过程. 一方面，并非所有学生都能在课堂学习中全面掌握教材内容，可能存在知识或思想方法的遗漏，或因为对教材内容投入的时间少而导致一些知识“夹生”的问题. 如学生在学完勾股定理章节内容后，知道这一定理是直角三角形的一个重要性质，描述的是直角三角形三边的数量关系，但对于定理、性质的证明思想和方法缺乏感性认识和理性建构，不理解性质指的是不变的规律或关系. 而自由“说”活动通过知识共享可以帮助学生重拾遗漏的知识，重新建构或加工“夹生”的知识，促进学生对知识的深化理解. 另一方面，教材中的内容也不是完整而全面的，缺乏许多与所学内容相关的背景、思想方法的介绍和总结，如对于勾股定理，可以补充介绍勾股定理的发展历程，提升学生的数学文化素养，还可以补充勾股定理的多种证明方法，让学生感悟证明方法中所蕴含的数学思想以及方法之间的联系.

4. 师生评价，延展话题

在学生“说”完以后，教师应对学生的“说”进行有针对性的反馈及评价. 科学合理的评价对学生的数学学习能够产生促进和推动的作用，能增强学生的学习兴趣和动机，使得学生在后面的活动中表现得更加规范与高效. 在自由“说”这样一个分享交流的活动中，常常会出现一些事先未預料到的生成性资源，若能充分运用学生展示过程中的生成性资源进行话题延展，不仅能使课堂更具有活力，还能“以点带线、以线带面”地加强学生对数学知识的逻辑建构.

例如，学生在讲解毕达哥拉斯定理的背景与发展时，常会提及毕达哥拉斯参加宴会，通过观察宴会上铺设的直角三角形地砖，初步猜想出直角三角形三边的数量关系，而后又通过演绎推理证实猜想的故事，这个故事中蕴含了一个数学发现的逻辑——“观察—猜想—证明”. 上述勾股定理表述的是直角三角形三边的数量关系，那锐角三角形或钝角三角形的三边满足怎样的数量关系呢？基于此，教师可以布置一个“运用上述数学发现的逻辑，探索锐角（钝角）三角形三边的数量关系”的任务，通过将研究直角三角形的方法延伸到锐角三角形或钝角三角形，建构对一般三角形三边关系的认识，然后再进一步将话题延展到三角形边与角的关系上，一步步对接后续需要学习的“余弦定理”，从中感悟数学家发现数学知识的基本逻辑，以及“从特殊到一般”的数学学习逻辑.

结束语

数学五分钟自由“说”活动是“双减”背景下实现学生综合能力发展和综合素养提升的现实需求，主要包含了明晰主题、收集信息、展示成果和师生评价四个环节，是一个可循环操作的主题活动. 它不仅仅是对学生表达能力的训练，更重要的是引导学生在活动中广泛阅读和积极思考，然后通过“说”将思考的认识和感悟呈现出来. 反过来，又通过教师对学生表达的规范指导，激活学生的思维，达到以“说”促“思”的效果. 因此，活动的开展开阔了学生的学习视野，启发了学生的思维，进而为学生理解数学知识、提升数学技能、渗透数学思想和积累数学活动经验开拓了新的阵地.

参考文献：

［1］ 新华社. 中共中央办公厅 国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》［J］.中华人民共和国国务院公报，2021（22）：14-19.

［2］ 余文森. 论阅读、思考、表达的教学意义［J］. 全球教育展望，2021，50（08）：25-43.

［3］ 段景智，宋金启，陈晶璞. 试论知识和知识内化［J］. 教学研究，2002（04）：289-292.

［4］ 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2012.

［5］ 闫先进. 基于学生视角的教学着力点分析——以“勾股定理”的教学为例［J］.中学数学教学参考，2021（23）：2-4.

［6］ 黄家礼. 几何明珠（第三版）［M］. 北京：国家行政学院出版社，2014.