基于数学建模思想的数学核心素养培养研究

2023-02-17董天琪关劲秋

经济师 2023年2期

●董天琪关劲秋

一、我国数学核心素养的发展进程

数学核心素养的发展经历了一个漫长的过程，我国官方的纲领首次提出“数学素养”是在1992年颁布的《初级中学数学教学大纲》中。而“核心词”一词是在《义务教育数学课程标准(2011年版)》中首次出现亮相。2014年颁布的《关于全面深化课程改革、落实立德树人根本的意见》中，首次提出了数学核心素养，而数学核心素养的提出也使如今在教学实践领域以及教学科学研究领域，就数学学科课程而言,人们越来越重视学生的数学核心素养的提高,那么，对学生进行数学核心素养的培养也自然而然成为了教学研究的重点课题之一。

二、基于数学建模思想的数学核心素养培养研究的理论依据

数学核心素养和数学学科课程的目标与内容休戚相关，数学核心素养是学习者在进行不同阶段的教育过程中，以数学课程教学内容为载体，通过数学学科特有的知识技能，逐步发展形成的既能满足个人终生发展需要，又能满足适应社会发展需要的数学学科思维与关键能力以及情感、态度与价值观的综合反映。数学建模本身也是依据现实问题，利用数学语言与方法，运用抽象、简化等方法来构建数学模型，并对数学模型来加以求解，进而通过结果来实现解决现实问题的一种十分有力的数学手段。

从教学的定义来进行分析探究，数学建模就是建立数学模型，是根据建构主义理论的一种自主学习的过程，是一种抽象化数学探究模式，通过合理地应用这种抽象化数学探究模式，十有八九的数据可以被合理地量化，通过运用这种量化可以构建精确高效的数学问题模型。随着新课程改革的推进，对学生进行数学核心素养和数学建模思想教育已成为必然，这样一来就要求教师要以数学建模思想为出发点，增强学生数学探究能力、数学解题能力与数学逻辑思维等基本知识结构。从这个方向研究，对学生进行数学建模思想的教育教学，不但能够推动数学教育的发展，同时还有利于对学生自身的数理生涯进行有效的铺垫和规划[1]。

从关联的角度来进行分析探究，数学建模思想和数学核心素养关系是密不可分的，属于唇齿相依的关系。通过数学建模来解决问题是一种非常有效的方式，同时数学建模也是能够实现将数学教育与现实世界衔接的一种方法。教师通过在日常的教学中向学生渗透建模思想，不但可以提升学生的数学核心素养，还可以增强学生分析问题和解决问题的能力，提高学生综合能力，促进学生全面发展[2]。

三、基于数学建模思想的数学核心素养培养研究发展策略

数学核心素养是在学生的学习过程中逐步形成的，有数学抽象，直观想象，逻辑推理，数学运算，数据分析几个方面的能力。在学生进行数学建模的过程中潜移默化地培养了学生的数学核心素养。

（一）基于数学建模思想，培养学生数学抽象能力

1.基于数学建模思想，培养学生数学抽象能力的依据。数学抽象能力是人们从感性认识中获得事物本质特征的一种必备能力，数学抽象是将实现具体的数学模型与抽象形式之间相互转化的思维过程。数学建模是数学抽象后的形式化语言，在将实际问题转换成数学模型的过程中需要将实际问题抽象成数学问题，然后再将数学问题抽象成为符号关系，这其中需要充分地利用抽象思维能力，所以通过数学建模的思想方式能够有效地培养学生的抽象能力[3]。

2.基于数学建模思想，培养学生数学抽象能力的有效途径。在数学课程的教学过程中，通过让学生在建模的情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验，充分揭示数学抽象的过程。建立数学模型以特殊到一般为主线,以知识本质为核心,以知识结构为依托,搭建数学桥梁，实现知识转换，总结问题规律，使学生在解决问题的同时提高数学抽象能力；通过应用情景教学的方式提高学生建模意识；通过拓展建模思维培养解决问题的能力，从而提升学生的数学学习能力。

例1：通常，包100个饺子需要用1kg的面和1kg的馅。今天，1kg的面不变，但是馅比1kg多了，请问应该多包几个比平时小的饺子，还是多包几个比平时大的饺子?通过数学建模思维角度面面相当于饺子的表面积，馅相当于饺子的体积。

简化假设：

（1）饺子皮的厚度一致

（2）饺子的形状大小一致

（3）每个饺子都是皮刚好把馅包起来，不多也不少

符号说明

S为饺子皮面的总面积，单位为m2；

s为包饺子时每个饺子所用的皮的面积，单位为m2；

V为馅的总体积，单位为m3；

v为包饺子时每个饺子所用馅的体积，单位为m3；

R为大皮的半径，单位为m；

r为小皮的半径，单位为m；

k1为半径的平方与表面积成正比的系数；

k2为半径的立方与体积成正比的系数；

K为运算过程中由k1，k2，得到的系数；

n为饺子的数目，单位为个。

模型的建立与求解：

因为在现实生活中，包饺子的过程，存在诸多难以量化统一的量，比如饺子的形状，大小，饺子皮的厚薄程度等，但是本题对包饺子的过程进行了抽象简化，把饺子抽象成立体图形，假定饺子皮和饺子馅完美贴合，所以此式可用s这个立体图形的表面积代替饺子皮的表面积，V立体图形的体积代替饺子馅的体积，在这个模型的建立过程中，就将实际的问题转换成了数学模型，在解决问题的同时，充分的培养了学生的抽象能力。

由表面积和半径的平方成正比关系，以及体积和半径的立方成正比得

S=k1×R2，V=k2×R3

由（1）（2）（3）得v=n×n1/2×v

所以v＞n×v并且V是n×v的n1/2倍。

最后得出在1kg面不变的情况下，馅比1kg多，则要多包几个比平时大一点的饺子。

（二）基于数学建模思想，培养学生直观想象能力

1.基于数学建模思想，培养学生直观想象能力的依据。一般来说，在进行数学教学的过程中，教师大致就采用平面几何、立体几何和解析几何这三种基本的数学模型。数学模型的构建对培养空间思维能力，解决实际数学问题有直接的促进作用。模型的构建能起到将繁琐抽象的问题直观化进而达到简单化的效果，因此模型的构建能够对学生的直观想象能力产生积极的作用。

2.基于数学建模思想，培养学生直观想象能力的有效途径。教师在立体几何的课堂教学中，可以合理运用于数学建模思想方式辅助教学，在学生学习过程中，引导学生主动地对抽象的几何问题建立数学模型，然后在对建立的模型进行观察和分析，找出数学各对象之间存在的密切关系，然后尝试着根据实际问题自己去建立模型，打开思路，使问题得以简化，这样既帮助学生成功解决了问题，又达到了提高学生直观想象能力的培养效果。在数学课程的教学过程中，学生通过一定的观察，基于数学建模的思想方法解决问题可以提高自身的数形结合的能力，这是培养学生直观想象能力的一个基本方式。通过建立数学模型，搭建数形联系，培养直观想象能力，利用直观操作，推进直观想象进度。

（三）基于数学建模思想，培养学生逻辑推理能力

1.基于数学建模思想，培养学生逻辑推理能力的依据。数学建模的基本思想和逻辑推理能力都是学生数学核心素养能力的重要体现，如果能将二者进行有效的结合，那么一定会起到事半功倍的作用。因此，教师在教学时可以引导学生按照从特殊到一般的思维顺序进行自主建模，让学生依据建模的逻辑思维顺序来思考并解决相关的问题，从而使学生们的数学思维能力得以全面升华。

2.基于数学建模思想，培养学生逻辑推理能力的有效途径。在数学的教学过程中，教师可以先引导学生从特例中总结规律，然后再灵活地将其推广到一般的应用之中，这样学生们便能够在自主建模学习的过程中，掌握相关的思维逻辑顺序，提升解题效率和学科核心素养能力。构建多样化的教学情境，渗透数学文化，建立数学模型，优化数学思想方法教学，培养学生分析问题的能力，加强教学内容之间的联系，培养学生的归纳推理能力；丰富逻辑知识，借助数学建模，发展学生的演绎推理能力。

例如，对于“同底数幂的乘法法则”这部分内容进行教学时，举一个非常简单的例子，即计算100×10000，学生可以很轻松的计算出它的答案，那么如果将这个式子构建成一个同底数幂的乘法运算模型，即100×10000＝102×104＝102+4＝106，那么学生们同样可以很清晰的观察到在进行同底数幂的乘法运算时，指数应当等于两个因数的幂的和，再将其推广应用到一般的模型中便不难得到以下结论:am×an=am+n，a≠0。按照这种逻辑思维顺序,学生们便能够很容易理解同底数幂的乘法法则这一数学要点的精髓，并且在做题时将其灵活应用[4]。

（四）基于数学建模思想，培养学生数学运算能力

1.基于数学建模思想，培养学生数学运算能力的依据。如果说数学是自然科学之母，那么数学运算能力则是其嫡长子。对学生进行数学运算和运算能力的培养对提升学生数学核心素养有着重大意义，由于在数学建模的求解过程中需要大量的运算，所以通过数学建模的方式可以促进学生数学运算能力的发展，两者可以相辅相成，在数学建模的解题过程中潜移默化地促进数学运算思维发展。

2.基于数学建模思想，培养学生数学运算能力的有效途径。创设趣味情境，建立模型，激发学生运算兴趣，逐步深化学生对运算的认识；充分利用构建数学模型，促进学生对问题的理解与转化，进而提高对运算思路的有效探求，实现运算过程的具体化与直观化；渗透建模思想，加强学生对运算过程的重视及运算结果的恰当表达，提高学生对数学运算过程与运算结果进行适当验算的意识，培养数学运算与数学思维的发散性与灵活性，引导学生尽可能发掘多样化算法巧解复杂计算，强调运算思维，总结运算方法，完善知识体系，建立数学模型，构建数学运算认知结构。

例2：一饲养场让一头60kg的猪每天增重2.5kg需要花费6元费用，用于饲养、设备和人力等方面。现在的市场售价为12元/kg，但是预测每天猪的价格会降低0.1元，请问该饲养场该什么时候出售这样的猪？

模型假设：

每天花费6元使猪每天体重增加的常数为r,r为2.5kg；猪的市场售价每天降低的常数为g，g为0.1元。

符号说明：t为继续养猪的时间，单位为天；w为猪的体重，单位为kg；P为猪的单价，单位为元/kg；R为猪出售的收入，单位为元；Q为出售猪赚取的纯利润，单位为元；C为t天投入的资金，单位为元。

模型建立：

依据假设w=60+rt（r=2.5），p=12-gt（g=0.1）

又知道r=pw，c=6t

由于纯利润应该减去以当前市场售价（12元/kg）出售60kg猪的收入，则有Q=R-C-12×60

得到目标函数，即纯利润为Q（t）=（12-gt）（60+rt）-6t-720

其中r=2.5，g=0.1

求t（≥0）使Q（t）最大

当r=2.5，g=0.1时，t=40，Q（36）=324

即10天后卖掉这样的猪，可以获得最大的纯利润，该纯利润为324元。

（五）基于数学建模思想，培养学生数据分析能力

1.基于数学建模思想，培养学生数据分析的依据。数据分析能力是有组织地、有目地收集数据，分析数据，使之成为信息的过程。数学建模是借助数学模型的方式将抽象的数学问题具象化展示，而数据分析可以将抽象的数学知识加以逻辑推理和理性分析，从本质上来说，二者都是抽丝剥茧的数学探究和资源梳理过程。通过构建模型可以将提取的信息进行数据推理进而获得结论，通过数学建模可以有效地推动数据分析的过程。如果将这两种能力加以联合培养，则可以实现数学知识的掌握、学习能力的强化和数学建模与数据分析核心素养的逐步完善。

2.基于数学建模思想，培养学生数据分析能力的有效途径。在数学教学的过程中，采集典型数据，构建数学模型，培养学生数据整理能力；创设合理情境，构建数学模型，以此激发学生数据探究欲望；渗透数学建模思想树立统计意识，培养学生数据分析观念，提升学生运用数据表达现实问题的意识；运用数据建模方式对数据进行整理分析，帮助学生获取有价值信息并进行定量分析，从而满足数学化学习的基本需求。