张艳博 徐加祥 刘 哲 马 欧 杨立峰 高 睿 高乐天 那迪尔·肉孜买买提

（1.辽宁石油化工大学石油天然气工程学院，辽宁 抚顺 113001；2.中国石油勘探开发研究院压裂酸化技术服务中心，北京 100083；3.中国石油渤海钻探工程有限公司库尔勒分公司，新疆 库尔勒 841003）

0 引 言

体积压裂可在非常规储层中形成复杂的裂缝网络，是开发页岩油气等非常规资源的重要手段之一［1⁃4］，该技术在国内外各大油田已得到广泛应用［5⁃7］。压裂后支撑剂在裂缝网络中的分布情况直接决定了裂缝导流能力及压裂后油气井产能［8⁃10］。探究支撑剂在缝网中的分布形态及其主控因素对非常规油气资源的有效开发具有重要意义。

国内外学者针对缝网中支撑剂分布特征开展了大量研究。实验研究方面，R.Sahai等［11］利用由主缝及2个呈90°的次级缝组成的缝网装置，研究了携砂液排量、支撑剂的浓度和粒径对缝网中支撑剂铺置情况的影响；N.Y.Li等［12］利用几何相似准则和流体雷诺数相似准则设计了一套可以改变次级裂缝数量、缝宽和角度的新型裂缝网络装置，将实验研究中支撑剂在裂缝网络中的分布结果与Fluent软件数值模拟结果进行了对比验证。潘林华等［13］设计了一套大尺度复杂裂缝支撑剂运移与展布评价实验系统，分析了支撑剂在不同次裂缝角度、携砂液排量和黏度、支撑剂粒径和浓度等条件下的铺置情况。数值模拟方面，G.Izadi等［14］通过耦合地质力学、流体流动及支撑剂运移3项因素，开发了一种可以分析支撑剂粒径、支撑剂密度以及携砂液黏度影响缝网中支撑剂分布的三维模拟器，模拟了不同支撑剂粒径、支撑剂密度以及携砂液黏度条件下缝网中支撑剂的分布；侯磊等［15］将复杂裂缝系统抽象成单元化物理模型以研究缝网内分流量和支撑剂转向的条件；K.Shrivastava等［16］利用连续位移方法开发了一套三维支撑剂输送模拟器，研究了支撑剂浓度、裂缝缝宽以及携砂液流变性对支撑剂在复杂裂缝网络中运移的影响；葛强等［17］借助CFD中固液两相流数学模型，分析了CO2流体携带支撑剂时携砂液排量、砂比、支撑剂密度和粒径以及裂缝复杂程度对缝网内支撑剂运移规律的影响。

上述研究中裂缝网络中的二级裂缝大多是垂直缝，部分模型可以改变主次裂缝的夹角，对二级裂缝倾角的研究较少。本文通过改变二级裂缝的位置和倾角对支撑剂在复杂缝网中的分布形态进行模拟，并考虑了支撑剂、携砂液和裂缝壁面的相互作用，模拟结果对压裂施工参数优化具有指导作用。

1 复杂缝网模型

非常规储层因其脆性特征，水力压裂后主裂缝两侧往往形成二级裂缝甚至三级裂缝［18⁃19］。本次研究采用带1个二级裂缝的缝网模型，如图1所示。模型中各参数的具体数值如表1所示。

表1 复杂缝网几何参数Table 1 Geometry parameters of complex fracture network

图1 不同倾角二级裂缝的缝网模型Fig. 1 Fracture network with secondary fractures of different dips

2 支撑剂输送模型

对于裂缝网络中的携砂液流动，其运动方程可以用Navier⁃Stokes方程表示为

式中：vl——携砂液液相流速，m/s；ρl——携砂液液相密度，kg/m3；t——时间变量，s；pfl——流体在裂缝内的压力，MPa；μ——流体黏度，mPa·s；g——重力加速度，m/s2。

支撑剂颗粒在携砂液中的运动规律采用牛顿第二定律进行描述，固体颗粒运动表达式为

式中：mp——支撑剂颗粒质量，kg；vp——支撑剂颗粒速度，m/s；Fdr——携砂液对支撑剂颗粒的曳力，N；Fg——支撑剂颗粒在携砂液中受到的重力和浮力的合力，N；Fex——支撑剂颗粒所受的其他外力，N。

通过对支撑剂在携砂液中运动过程的分析，重力、浮力、曳力、压力梯度力和Basset力对支撑剂颗粒运动的影响需要重点分析［20⁃21］。

携砂液中支撑剂颗粒所受的重力和浮力的合力可以表示为

式中 ρp——支撑剂密度，kg/m3。

携砂液作用在单个支撑剂颗粒上的曳力可以表示为

式中 τp——支撑剂颗粒运动弛豫时间，s。

支撑剂颗粒的运动弛豫时间可以定义为

式中：dp——支撑剂等体积球体直径，mm；μ1——携砂液黏度，mPa·s；CD——阻力系数；Rep——颗粒雷诺数。

其中颗粒雷诺数表示为

作用在支撑剂颗粒上的压力梯度力等于颗粒的体积与压强梯度的乘积，方向与压力梯度相反，则表示为

式中：Fp——压力梯度力，N；l——裂缝长度，m。

Basset力表示在黏性流体中颗粒在流场内作变加速运动而增加的阻力，计算方法为

式中：Fba——Basset力，N；t0——支撑剂运动起始时间，s；t′——运动终止时间，s。

支撑剂颗粒不是刚体，在运动过程中会相互碰撞，颗粒之间的相互作用可以用线弹性模型进行表示［22⁃25］，即

式中：Fi——第i个支撑剂颗粒受到得碰撞力，N；ks——弹簧常量，N/m；ri——第i个颗粒的位置矢量；rj——第j个颗粒的位置矢量；r0——颗粒之间的平衡距离，mm。

考虑到裂缝壁面的粗糙性，支撑剂与裂缝壁面碰撞接触后不会是镜面反射，因此模拟过程中采用Knudsen余弦散射定律确定支撑剂的反弹方向，处于立体角度dα范围内支撑剂颗粒的分布概率为

式中：dψ——支撑剂颗粒的分布概率；θ——支撑剂颗粒反射范围中心线与反射表面法线的夹角，（°）。

研究借助COMSOL中的“Particle Tracing”模块采用有限元的方法进行支撑剂运移输送的相关模拟，并设置相应的初始及边界条件。研究中主要设置主裂缝入口处的携砂液液相黏度、密度和流速，支撑剂的粒径、密度、球度以及砂比，主裂缝和二级裂缝趾部的压力。

3 模拟结果

为了验证所建立模型的准确性，将模拟得到的支撑剂在主裂缝和二级裂缝中的分布特征与中国石油大学（华东）温庆志实验室［26］得到的实验结果进行对比，如图2所示。可以看出，实验和数值模拟所得到的支撑剂在主裂缝和二级裂缝中的输送距离和堆积高度基本一致，可以证明本模型在模拟缝网中支撑剂分布特征的适用性和准确性。

图2 支撑剂颗粒实验与模拟结果对比Fig. 2 Comparison of experimental results and simulation of propant particles

在后续数值模拟中所涉及到的支撑剂和携砂液的物性参数如表2所示。

表2 数值模拟参数Table 2 Numerical simulation parameters

借助上述模型和参数，在不同二级裂缝位置和倾角条件下，对缝网中支撑剂的分布特征进行模拟。

3.1 当Lsec=2 dm时支撑剂分布情况

当Lsec=2 dm时，缝网中支撑剂的分布情况如图3所示。图3（a）至图3（f）分别展示了α=0°、30°、60°、90°、120°和150°时支撑剂在缝网中的分布，图3中支撑剂颜色深浅表示支撑剂分布的浓度。可以看出，当二级裂缝倾角在0°～90°内，随着二级裂缝倾角的增大，支撑剂在主裂缝中的铺置高度略有降低，而且大量支撑剂沉积在主裂缝中二级裂缝下侧区域。同时，二级裂缝中支撑剂的输送距离和分布范围也逐渐缩小。当二级裂缝倾角为90°，即二级裂缝水平时，支撑剂铺置范围达到最小。随着二级裂缝倾角继续增大，即倾角为120°、150°时，主裂缝中支撑剂铺置面积基本不变，支撑剂会在二级裂缝下侧的主裂缝中沉积，但是二级裂缝中支撑剂的铺置情况得到改善，其输送距离延长且铺砂浓度得到一定程度的提高。由于模拟过程中支撑剂颗粒在彼此碰撞或与壁面碰撞后随机反弹，导致其在二级裂缝左右两侧分布出现差异。

图3 当Lsec=2 dm时缝网中支撑剂的铺置情况Fig. 3 Proppant distribution in fracture network when Lsec=2 dm

3.2 当Lsec=4 dm时支撑剂分布情况

当Lsec=4 dm时，图4（a）至图4（f）分别展示了α=0°、30°、60°、90°、120°和150°时支撑剂在不同缝网中的铺置情况。将模拟结果与Lsec=2 dm时支撑剂的分布特征进行对比可以发现，各缝网主裂缝中的支撑剂在通过二级裂缝后，支撑剂的沉降速度加快，而随着二级裂缝远离主裂缝入口，支撑剂在主裂缝中的铺置高度与Lsec=2 dm时的情况相比得到明显提高，特别是在二级裂缝之前的主裂缝区域。同时，当二级裂缝倾角小于90°时，依然有大量支撑剂沉积在主裂缝中二级裂缝下侧区域，而当二级裂缝倾角超过90°后，支撑剂在主裂缝中没有沉积在二级裂缝之下的区域而是大量堆积在二级裂缝之后的区域。同样的，当二级裂缝倾角在0°～90°内时，支撑剂在二级裂缝中的分布范围随着倾角的增大而减小，然后当二级裂缝倾角增大到120°和150°时，支撑剂在二级裂缝中的分布范围又逐增大。二级裂缝中支撑剂整体的分布特征与Lsec=2 dm时的情况相似，但是Lsec=4 dm时支撑剂在二级裂缝中的分布范围整体略有缩小。

图4 当Lsec=4 dm时缝网中支撑剂的铺置情况Fig. 4 Proppant distribution in fracture network when Lsec=4 dm

3.3 当Lsec=6 dm时支撑剂分布情况

当Lsec=6 dm时，缝网中支撑剂的分布情况如图5所示，图5（a）至图5（f）分别展示了α=0°、30°、60°、90°、120°和150°时支撑剂在不同缝网中的分布特征。对比Lsec=2、4和6 dm时的支撑剂分布模拟结果可以进一步确认，支撑剂在主裂缝的铺置范围会随着二级裂缝远离主裂缝入口而大幅提高，且支撑剂在通过二级裂缝后其铺砂浓度也有明显增大，证明二级裂缝的出现会加快主裂缝中支撑剂的沉降和堆积。然而，相比Lsec=2和4 dm时二级裂缝中支撑剂的分布情况，Lsec=6 dm时支撑剂在二级裂缝中的铺置范围进一步缩小，支撑剂的输送距离和铺置高度均减小，特别是当二级裂缝水平时，几乎没有支撑剂能够进入其中支撑裂缝。

图5 当Lsec=6 dm时缝网中支撑剂的铺置情况Fig. 5 Proppant distribution in fracture network when Lsec=6 dm

3.4 缝网内支撑剂填充比例

进一步分析支撑剂在整个裂缝网络中的填充比例，这里定义裂缝填充比例为缝网内支撑剂铺置区域裂缝的体积与整个裂缝网络体积的比值。当裂缝填充比例基本维持不变时，支撑剂的输送达到稳定的状态。由此可以看出，随着缝网中二级裂缝到主裂缝入口距离的增大，支撑剂输送达到稳定状态的时间变短。对于缝网中二级裂缝倾角对裂缝填充比例的影响（图6），在3种不同的缝网中，当二级裂缝倾角为0°，即二级裂缝与主裂缝垂直时支撑剂填充裂缝的比例最大，而当二级裂缝倾角为于90°~120°时，支撑剂填充裂缝的比例最小，随着二级裂缝倾角增大到150°时，支撑剂填充裂缝的比例也随之增大。结合图3、图4和图5中的模拟结果可以揭示其中原因，即当缝网中二级裂缝垂直时，支撑剂在主裂缝和二级裂缝中的铺置范围均是最大的。

图6 不同二级裂缝倾角的缝网中支撑剂填充比例Fig. 6 Proppant filling proportion in fracture networks with different secondary fracture dips

4 结 论

（1）随着缝网中二级裂缝倾角的增大，支撑剂在主裂缝中的分布范围略有减小，支撑剂多沉积在主裂缝中二级裂缝下侧或后侧的位置，当二级裂缝的倾角为90°时，支撑剂在二级裂缝中的分布情况最差。

（2）随着缝网中二级裂缝到主裂缝入口的距离增大，支撑剂在主裂缝中的铺置情况得到改善，但是二级裂缝中支撑剂的铺置范围减小。

（3）就缝网整体填充效果而言，在二级裂缝垂直的缝网中支撑剂填充比例最大，当二级裂缝倾角为90°~120°时，支撑剂填充效果最差。