李致远，李晓蕊

（长安大学 汽车学院，陕西 西安 710064）

无人驾驶车辆在未来交通中有着举足轻重的地位，它集环境感知、决策规划、运动控制于一体[1-2]。目前，国内外汽车大厂投入了大量的人力和物力对自动驾驶技术的研发，从而提升在该领域的竞争力[2]。作为自动驾驶核心技术之一的横纵向运动控制，它接收轨迹规划信息、自车位置信息，输出对应的控制命令，使车辆按照所期望的轨迹行驶[3]。横向控制在整个控制模块是至关重要的，其控制的好坏直接影响车辆的目标路径的跟踪能力和整车的稳定性、舒适性等其他关键指标[4-7]。针对自动驾驶换道问题本文设计了一种目标函数权重可以调整的自适应前馈控制的线性二次型调节器（Linear Quadratic Regulator, LQR）横向控制器，并结合纵向控制实现车辆跟踪期望轨迹。首先，通过油门刹车表的制作搭建了纵向双比例-积分-微分（Proportion Integration Differentia- tion,PID）控制器，然后，基于路径跟踪误差的车辆二自由度动力学模型设计了LQR横向控制器[8]。随后，考虑路径跟踪偏差与路径曲率关系进行LQR控制器的改进，并考虑智能汽车转向不足的问题，以此提高车辆的路径跟踪能力、稳定性和舒适性[9-11]。最后，通过仿真试验对比分析，验证其有效性。

1 基于跟踪误差动力学模型

如图1所示，将车辆简化为“二轮”模型。假设，前后二轮完全相同，侧向、横摆两个方向的运动自由度被考虑到该模型中。

图1 基于跟踪误差的“二轮”模型

分析图1中车辆在侧向、横摆两个方向进行受力分析，并假设车速为固定值且车轮转角较小，可得

式中，m为车辆整车质量；ay为汽车侧向加速度；Ff、Fr分别为前、后轴侧向力；Iz为绕z轴转动量；ω˙为横摆角速度；lf、lr为汽车前、后轴到质心的距离。

假设同轴两侧车轮完全相同，前轮、后轮的侧偏刚度为kf和kr，前轮转角为δf，则

式中，Vx为纵向车速；Vy为横向车速。

距离偏差与航向偏差出现在车辆对参考路径进行跟踪时。如图1所示，ey为车辆质心到目标轨迹的最短距离。对于航向偏差eψ，可以得到

式中，ψ为航向角；ψdes为参考航向角。

假设目标轨迹半径为R，则车辆在该轨迹上行驶的加速度为

车辆的实际加速度为

则可以得到

将式（3）和式（4）代入式（5）和式（9）中，可得

将式（10）和式（11）写为状态空间方程，则有

式中，

2 纵向双PID控制器设计

电动汽车有着节能环保的优点，被广泛应用于自动驾驶车辆。而且，电动机有着比燃油机更宽的工作高效区间；工作效率高达90%；百公里加速强等特点。所以，本文选取的车辆模型为CarSim中的电动汽车。

当踩下油门时，会引起电动机功率改变，从而电动机的转速/扭矩会发生改变，电动机转速的改变会影响车辆车速的变化；扭矩的改变会影响车辆加速度的变化，最终实现车辆加速。当踩下刹车时，会引起制动压力的增大，从而制动盘摩擦增大。最终，实现车辆的减速。

2.1 油门刹车表的制作

使用MATLAB/Simulink和CarSim联合仿真，给定车辆模型以初速度0 km/h行驶，在不同的节气门开度下，得到不同的加速度a和速度v曲线，最后，合并不同节气门开度下的v、a曲线并拟合，得到如图2所示的三维曲面。

图2 节气门开度，加速度，速度三维曲面图

同样，给定该车辆模型以初速度180 km/h行驶，在不同的制动压力下得到不同的加速度a和速度v曲线，并进行拟合，得到如图3所示的三维曲面图。

图3 制动压力，加速度，速度三维曲面图

合并图2，图3中节气门开度，制动压力，加速度，速度数据得到如表1所示的油门刹车表。

表1 油门刹车标定表部分数据

如表1所示，该表的第一行表示车辆加速度（m/s2），其范围为-8 m/s2～5 m/s2；第一列表示车辆行驶速度（m/s），其范围为0 m/s～50 m/s。不同的速度或者加速度就能得到一个对应的节气门开度或者制动压力。

图4 纵向双PID运动控制器建模

该纵向双PID运动控制器考虑车辆速度、规划速度、纵向位移误差。然后输出车辆加速度。如图4所示。

3 前馈反馈的LQR横向运动控制器设计

该控制器利用现代控制方法适用于状态空间模型，车辆动力学模型刚好可以写成状态空间的形式。其控制性能指标方程如下：

式中，Q,R代表控制器的加权矩阵。

式（13）的极小值就是LQR控制器所要达到的目标。即

对式（14）求导从而获得极值，可得

式中，

P(t)是式（17）黎卡提方程的解。

LQR控制器的最终控制规律为

式中，K=[k1,k2,k3,k4]。

3.1 前馈反馈LQR控制器设计

将式（18）代入式（12）可以得到X

通过式（19）可以看出，无论K取何值.X和X不可能同时为0。引入前馈控制δq使得横向误差为0，δq为前馈控制对应的前轮转角。则控制律为

将式（20）代入式（12），则有

该带前馈反馈的LQR控制器最终会导致.X为零；X不为零。则可得

问题转化为选取合适的δq使式（22）尽可能为零。即

式中，ρ为路径曲率。

车辆在跟踪此换道轨迹时道路曲率通常远远小于1；航向偏差eψ也远远小于1；横向车速Vy远远小于1。就可以近似得到航向偏差eψ约等于0。

4 自适应LQR控制器

加权矩阵Q和R是LQR控制器的核心。大部分研究中其值为固定值，现将加权矩阵Q和R设计为根据横向偏差ey、路径曲率K实时变换的矩阵。

文中加权矩阵Q和R描述为

矩阵Q中，q1为距离偏差权重系数；q2为距离偏差变化率权重系数；q3为航向偏差权重系数以及q4为航向偏差变化率权重系数。这四个权重系数的大小代表所对应控制目标的控制强度。通常车辆在目标路径上行驶时的半径较大，航向偏差可以近似看为0，所以文中设定q2,q3,q4为常数，仅针对q1,r1设计计算规则。

误差的权重参数越大，跟踪精度越高；转角的权重参数越大，转角变化越小，驾驶的稳定性与舒适性更好。在路径曲率较小的条件下，车辆行驶平稳，应增大转角权重，以保障跟踪精度为主。在路径曲率较大的条件下，车辆短时间的位置变动较大，应减小转角权重，使控制器对转角变化更敏感，减小对前轮转角的限制，保证车辆的跟踪精度与行驶稳定性。

参数q1,r1的计算规则可以描述为

式中，key,kR为增益系数；eyth,krth为误差阈值；q0,r0为对应权重初始值。

4.1 考虑自动驾驶车辆转向不足的问题

当车辆跟踪目标路径时，车辆的转弯半径总有向外侧扩大的趋势，所以，横向误差ey与前轮转角δf息息相关。本文中横向误差通过PID控制器之后与前轮转角δf相减之后作为汽车的前轮转角，从而解决了汽车转向不足的问题。

5 仿真实验

为了证明本文自适应LQR控制器的可靠性，建立了如图5所示的五次多项式换道模型，在相同的条件下分别对带前馈的LQR控制器；带前馈的自适应LQR控制器；考虑车辆转向不足的带前馈的LQR控制器进行仿真比较。测试工况选择换道工况；测试车辆选择Carsim中的C-Class，Hatchback。该测试车辆相关数据如表2所示。

表2 车辆主要参数

5.1 建立五次多项式换道工况

在五次多项式换道工况进行仿真测试时，初始车速设定为36 km/h；换道时间为5 s。换道轨迹如图5所示，构建五次多项式曲线，可以解析物体的位移、速度、加速度三种状态值，五次多项式如下：

x(t)、y(t)代表车辆纵横向位移，是关于时间t的函数，对其一阶二阶求导便得到速度、加速度状态曲线如下：

图5 五次多项式换道示意图

5.2 LQR权重参数自适应调节效果实验

图6为在3种控制器作用下，车辆跟踪效果图。可以看出，三种控制器都能跟踪参考路径，并且保证跟踪误差在可以接受的范围内。考虑车辆不足转向的自适应LQR前馈控制器对于目标路径的跟踪效果最好。

图6 参考路径跟踪结果

图7 跟踪误差结果

图7(a)和图7(b)精确描述了车辆实际路径与参考路径的横向偏差与航向偏差。考虑车辆不足转向的自适应LQR前馈控制器跟踪效果最好，最大横向偏差在0.26 m以内，最大航向偏差在0.041 rad以内；前馈LQR控制器跟踪精度最差，最大横向偏差达到0.063 m，最大航向偏差在0.023 rad左右；带前馈控制的自适应LQR控制器最大侧向偏差为0.045 m，最大航向偏差达到0.038 rad。

图8(a)、图8(b)和图8(c)为车辆在三种控制器下前轮转角、横摆角、横摆角速度对比图。可以看出车辆在三种控制器的作用下都能把前轮转角控制在小转角约束内；横摆角和横摆角速度都在车辆设计的约束范围内。

通过表3可以看出，考虑车辆不足转向的自适应LQR前馈控制器的路径跟踪精度最高、控制效果最好。

图8 前轮转角、横摆角、横摆角速度图

表3 横向偏差、航向偏差、横摆角、前轮转角数据

6 结论

本文采用纵向双PID控制器、横向LQR控制器为主体部分，并考虑前馈反馈、车辆不足转向，提高车辆跟踪精度和行驶稳定性，同时根据横向偏差、参考路径曲率对LQR的权重参数进行实时调节，改进了LQR控制器。最后，通MATLAB/CarSim联合仿真对考虑车辆不足转向前馈自适应LQR控制器进行了试验，通过对比分析，证明了本文设计的自适应LQR控制器具有良好的控制性能。