李 少 云

(温州广播电视大学 教师教学发展中心， 浙江 温州 325013))

一、研究背景

对r∈(0,1),第一类完全椭圆积分κ(r)和第二类完全椭圆积分ε(r)定义如下：

众所周知,κ(r)在区间(0,1)内严格单调递增且值域为(π/2,+∞);ε(r)在区间(0,1)内严格单调递减,且值域为(1,π/2)，其满足微分公式[1]474-475:

设a,b>0，且a≠b.则经典调和平均H(a,b)，几何平均G(a,b)，算术平均A(a,b)，二次平均Q(a,b)，反调和平均C(a,b)和Toader平均T(a,b)的定义分别为[2]358-368：

(1)

和

(2)

20多年来,Toader平均被广泛研究.国内外学者从Toader平均和其衍生平均，以及与其他经典平均的组合发现了许多重要的不等式.例如：

Barnard，Pearce和Richards,以及Alzer和Qiu证明了双向不等式

M3/2(a,b)

王君丽和钱伟茂等证明了双向不等式

α1A(a,b)+(1-α1)H(a,b)

(3)

α2A(a,b)+(1-α2)G(a,b)

(4)

对所有a,b>0且a≠b成立的充要条件是:α1≤2/π，β1≥3/4，α2≤1/2，β2≥2/π[5]303-309[6]560-566.

徐会作和赵铁洪等证明了双向不等式

αC(a,b)+(1-α)H(a,b)

(5)

λA(a,b)+(1-λ)Q(a,b)

(6)

受不等式(3)～(6)的启发,本文推得了最佳参数α1,α2,β1,β2∈(0,1)，使得双向不等式

对所有a,b>0且a≠b成立.

二、所需引理

为证明我们的主要结果,需要以下两个引理.

引理1单调性L’Hospital法则 对a,b∈且a

引理2(1) 函数r[(2-r2)ε(r)-2(1-r2)κ(r)]/r4在区间(0,1)内是严格递增的，且值域为(3π/16,1);

(2) 函数r[(2-r2)κ(r)-2ε(r)]/r4在区间(0,1)内是严格递增的且值域为(π/16,+∞);

(3) 函数r(1-r2)3/2[(2-r2)κ(r)-2ε(r)]/r4在区间(0,1)内是严格递减的且值域为(0,π/16).

证明:引理2的(1)和(2)可参见文献[3]中3.43(10)和(29)的练习.

引理2(3)的证明.设:

微分φ(r),使得:

(7)

其中,

φ1(r)=(8-5r2)κ(r)-(8-r2)ε(r).

简单计算可得:

φ1(0+)=0,

(8)

(9)

所以,引理2(3)容易由等式(7)(8)(9)和引理2(1)协同φ(0+)=π/16和φ(1)=0得到.

三、主要结果

定理1双向不等式

对所有a,b>0且a≠b成立的充要条件是:α1≤1/4，β1≥2(4/π-1)=0.546 4L.

证明:根据H(a,b)，G(a,b)，A(a,b)和T[A(a,b),G(a,b)]是对称且一阶齐次的.不失一般性,假设a>b>0,r=(a-b)/(a+b)∈(0,1),则从等式(1)和(2)可推得:

(10)

(11)

由等式(10)和(11)，使得：

(12)

其中,

设:

f3(r)=4[ε(r)-(1-r2)κ(r)]/(πr2)-1,f4(r)=r2/2.

简单计算可得:

(13)

(14)

(15)

(16)

所以,定理1容易由等式(12)(16)和函数f(r)的单调性得到.

定理2双向不等式

(17)

(18)

由等式(17)和(18)，使得:

(19)

其中,

设:

简单计算可得:

(20)

(21)

(22)

(23)

所以,定理2容易从等式(19)和(23)协同函数g(r)的单调性得到.

根据定理1和定理2,可以得到以下两个关于第二类椭圆积分ε(r)的不等式:

推论1双向不等式

对所有r∈(0,1)成立.