渠艳龄，朱柏洁

（1.中国地震局工程力学研究所地震工程与工程振动重点实验室，黑龙江 哈尔滨 150080；2.地震灾害防治应急管理部重点实验室，黑龙江 哈尔滨 150080）

引言

在土－结构动力相互作用分析中常采用人工边界模拟几何无限土域的动力特性。此时，远场地震荷载由于无限土域的简化而无法直接获取。考虑到地震波通过人工边界进入近场，可根据地震波传播规律，将远场地震动转化人工边界处的等效地震力。一种转化方法是考虑地震波从近场下卧层介质向上传播，到达地表后反射至下卧层，并向无穷远处传播。此时，等效地震力施加在近场侧边界处和底部（下卧层）。均质介质中的自由场运动可通过波动理论方便求解［1］。然而，对于复杂场地条件下侧边界处自由场运动往往不易求得［2］。研究表明，当侧边界距离场地中心约为10倍场地深度时，侧边界处的地震力对自由场运动影响较小［3－4］。因此，另一个地震动输入的方法是仅考虑近场底部地震动输入，而忽略侧边界处的自由场运动效应［5－6］。目前，关于地震动输入模型的成果很多，但是侧边界处地震力对自由场运动的影响仍有待进一步研究［7］。

Li等［8］用波动法求得侧向人工边界处等效地震力，并通过数值计算研究了该地震力对土－结构体系的影响。研究表明，仅考虑下卧层地震荷载得到的自由场运动数值结果与理论解偏差很大。Zhang等［5］和Zhao等［9－10］采用一维控制方程描述了二维自由场运动，计算结果证实当成层介质水平向尺寸足够大时，侧边界处自由场允许效应可以忽略。杜修力等［7］结合理论分析和数值模拟方法，分析了下卧刚性基岩条件下土－结构体系地震反应。研究指出，在通常的工程经验尺度内忽略侧边界处自由场效应影响无法得到正确的计算结果。然而，上述研究采用的人工边界均不能完全吸收外行波，因此相应的计算结果存在一定误差。

比例边界有限元法［11］结合了有限元和无限元的优点，在模拟裂缝拓展［12］、网格剖分［13］以及地震波传播［14］等方面有显著的优势。比例边界有限元法是一种半解析的计算方法，它可在有限元精度内准确模拟矢量和标量外行波的传播特性。文中研究了平面SV波垂直入射下自由场场地响应，利用比例边界有限元法准确模拟了几何无限介质的动力特性，分别采用仅近场底部输入和底部、侧边界同时输入的地震动施加方式，通过理论分析和数值模拟比较了两种输入方式的异同，研究了侧边界处地震荷载对自由场响应的影响，为求解成层半空间介质地震波传播提供理论依据和数值求解技术。

1 地震荷载输入方式

成层半空间内地震波的波动问题如图1所示。二维近场的宽度为2d，深度为h。平面地震波从无限远处以入射角为θ向右上方入射。当平面波抵达近场的左下角（－d，－h）时设为时间起点t=0。

无阻尼自由场运动的时域控制方程为：

式中：M，K分别为近场的质量矩阵和刚度矩阵；u为位移矩阵；下标b，l，s分别表示在近场底部、侧边以及近场内其余各点处的自由度，如图2所示。由于地震波在传播过程中穿过近场与远场的交界面b和l，因此b和l边界处均有等效地震力f。为了方便分析，本节理论在频域内展开。控制方程（1）的频域表达式为：

式中：S代表频域内自由场动力刚度；U和F分别为频域内位移幅值和等效地震力幅值。式（2）考虑了近场底部b和侧边界l处的等效地震力输入。这一输入方式定义为模型BL。如果仅输入侧边界b处等效地震力Fb，此时Fl=0，这一输入方式为模型B－I。类似的，模型L表示仅在边界l处输入等效地震力。

另一种地震动输入方式是只考虑地震波在下卧半无限空间内的传播，忽略侧边界处自由场运动效应。因此等效地震力仅施加在底部b，而忽略侧边界处的地震荷载Fl。这一模型可由方程（3）描述：

式中各符号的含义与式（2）相同。这一模型在文中称作模型B－II。

式（2）和式（3）中的等效地震力可通过子结构法或直接法求解［15］。子结构法考虑了无限介质的动力特性，因此较直接法可得到更合理的等效地震力。文中故采用子结构法求解近场－远场交界面处的等效地震力。注意，虽然式（2）和式（3）中均在近场底部施加地震荷载，但是，模型B－I假设地震波在整个自由场中传播。在成层场地中考虑各介质间动力相互耦合，此时场地底部等效地震力Fb为：

式中：自由场运动U可根据地震波实际传播路径求解；ϕ为近场和远场交界面的底部；σ为ϕ处位移对应的应力；为变形矩阵。而模型B－II假设地震波仅在下卧层中传播，此时忽略了成层介质与下卧层的动力耦合对等效地震力的贡献。因此，模型B－II中等效地震力F*b通过下述方程求解：

2 人工边界和等效地震力

文中采用比例边界有限元法［11］模拟近场与远场的动力特性。比例边界有限元法结合了有限元和边界元的优点。它仅需离散单元的边界，因此使得计算维度降低一维。比例边界有限元法详细推导过程参见文献［11，16］。相对于比例中心（ξ=0）等比例缩放单元边界，可获得比例边界单元，如图2所示。具体地，比例边界有限单元的几何特性可描述为：

图2 比例边界有限元法模拟近场与远场Fig.2 Modelling of near field and far field in the scaled boundary finite element method

式中：ξ和η分别是比例边界坐标系中径向和环向坐标；x和y是笛卡尔坐标系下单元边界点的坐标；而x(ξ,η)和y(ξ,η)是比例边界有限坐标下的节点坐标；N为形函数。近场中比例边界有限单元满足ξ≤1，而无限域中单元径向尺寸满足ξ∈[1,∞]。比例边界有限单元径向解连续且精确，环向解在有限元的意义上准确［11］。坐标转化对应的Jacobi矩阵Jb(η)为：

在比例边界有限元法中动力刚度S满足下述方程：

式（8）中上部符号对应近场刚度满足的方程，下部符号则对应远场刚度的情况。由于篇幅有限，这2个动力刚度的时域表达式参见文献［16－17］。采用比例边界有限元框架时等效地震力的表达式见文献［1，14］。

3 数值算例

第1节介绍了2种不同的地震动输入方式，即仅从底部输入，以及从底部和侧边界同时输入。下文分别探究这2种输入模型对自由场动力响应的影响。首先，验证比例边界有限元法模拟远场的准确性。然后，根据地震波在整个半无限介质中的传播规律，采用模型B－I求得等效地震力，并计算相应的自由场运动。通过对比模型BL的结果分析侧边界处地震力Fl对自由场运动的影响。最后，假设地震波仅在下卧半空间介质中传播，根据模型B－II实现地震动输入，通过比较模型B－I、模型B－II以及解析解，探寻2种地震动输入模型之间的关系。

3.1 半空间介质表面受压计算

文中首先考虑了各向同性弹性半空间介质表面受压问题，旨在验证比例边界有限法模拟远场的准确性。分别采用比例边界有限元法和粘弹性边界模拟远场的动力刚度。设近场宽度2d和深度h=d，如图1所示。假设该介质杨氏模量E=2.5，泊松比ν=0.25，质量密度ρ=1，因此SV波波速cs=1。在介质表面（－d，d）之间施加竖向荷载，该荷载时程曲线g(t)呈Ricker波形状，即

式中：A是幅值；特征频率fp=cs/3h；时间常数t0=4h/cs；时域分析中时间步长Δt=0.1h/cs。这一信号的时程曲线与对应的傅立叶变换结果见图3。

图3 SV波的位移时程曲线和傅立叶变换Fig.3 Displacement time history and Fourier transform of vertically incident SV waves

近场由200个0.1h×0.1h的4节点单元构成。在比例边界有限元法中，远场的动力特性由40个2节点比例边界单元描述，如图4所示。在另一个模型中采用粘弹性边界模拟远场动力特性，该人工边界相关参数的选取参见文献［18］。

图4 均质各向同性半无限介质的网格剖分Fig.4 Mesh of a homogeneous isotropic half plane

图5显示了采用比例边界有限元法和粘弹性边界时观察点C（见图1）的位移响应。两者结果均与各向同性弹性半空间介质中地震波波动解析解uexact相对比。定义相对误差R（%）为：

图5 受压半空间介质中C点位移时程Fig.5 Displacement time history at point C in a half plane subjected to a surface pressure

式中符号∣∣∣∣表示欧式范数。结果表明，采用比例边界有限元法引起的相对误差R=1.2%。减小时间步长Δt或增加截断时间T可有效提高比例边界有限元模拟无限域的精度［17，19］。相比之下，粘弹性边界对应的相对误差R=13.2%。这说明比例边界有限元法可较准确地模拟无限域的动力特性，且模拟的准确程度远高于粘弹性边界。

3.2 侧向地震力对自由场动力响应的影响

为了研究侧向地震力对自由场动力响应的影响，下文考虑SV波垂直入射（θ=0°）时半空间介质波动问题。假设入射SV波为平面波，其位移呈Ricker波形状，如图3所示。场地条件与算例3.1相同。分别采用模型B－I，模型L和模型BL计算中心线CD（见图1）上各点的位移时程，如图6所示。各向同性弹性半空间介质中地震波波动解析解uexact也包含在图6中，以作对比。理论上，模型B－I与模型L计算结果之和应与模型BL的相同。对比发现，前者对应的相对误差R最大值约为后者的2倍。考虑到模型B－I、模型L和模型BL中仅等效地震力的大小不同，这说明数值分析系统误差存在，且大小约为1%。由算例1可知误差主要来源于远场模拟。

图6 比较采用模型BL和模型B－I时自由场反应Fig.6 Comparison of free field motion using model BL and model B－I

由图6可知，模型BL求得的计算结果与理论解的相对误差R小于1%，而模型B－I对应的结果与理论解差别R高达99.48%。这说明单独考虑底边地震输入是远远不够的。虽然侧边界处地震荷载始终存在，但其对CD线上各点的影响随着近场宽度d的增加而减小。鉴于此，文中分别选取d/h=1，5，10和18，考察不同宽度下侧边界处等效地震力对自由场动力响应的影响。图7展现了不同宽度d下C点处位移响应ub，以及CD线上各点位移与理论解相对误差R的箱线图。

图7 模型B－I与模型BL中位移响应比较Fig.7 Comparison of the displacement obtained from model B－I and model BL

研究表明，采用模型BL的计算结果与理论值的差别始终保持在1%以内，且该误差与近场宽度d无关。采用模型B－I时，随着场地宽度d的增加，底边地震荷载引起的位移ub快速收敛于理论解。这是因为侧边界处地震荷载引起的位移ul随场地宽度d的增加而呈现指数衰减，如图8所示。当d增大到18h时模型B－I对应的相对误差R小于2.7%。然而，该误差R仍高于模型BL对应的结果0.9%。这说明侧边界处地震荷载fl始终存在，且当场地宽度d较小时,fl不可忽略。当d足够大时，fl在一定的计算时间内无法对研究点处自由场运动产生影响，此时侧边界处地震力对自由场运动的影响可忽略不计，即模型B－I与模型BL等价。

图8 采用模型L时位移响应Fig.8 Displacement response obtained by using model L

3.3 成层半空间介质地震波传播

第1节中介绍了仅底部输入时有2种可行的方案：一种是考虑地震波在整个半无限介质内的传播，即模型B－I；另一种则假设地震荷载仅与下卧层相关，即模型B－II。下文讨论成层介质中地震波传播路径对等效地震力计算结果的影响。比例边界有限元法已用于模拟多层介质中地震波传播问题［19］，这里仅考虑两层介质的情况，如图9所示。下卧层近场尺寸取为2d×h1，且有h1/h=1/3。假设成层介质和下卧半空间介质的材料特性相同。其他条件与算例3.2相同。

根据地震波在半空间介质中的传播规律［20］，SV波垂直入射时下卧层内D点（见图9）的应力理论解为：

图9 底部输入等效地震力模型Fig.9 Models of equivalent seismic input applied at the bottom of the near field

考虑到SV波垂直时该介质水平方向上应力均匀分布，且单元网格尺寸均为0.1h，因此D点水平向地震力的理论解为：

为验证数值方法的正确性，图10（a）对比了等效地震力的数值解和理论解。结果表明，在场地底部中点D处，2种地震动输入方法得到的数值解与理论解吻合很好。

图11显示了采用模型B－I和模型B－II时CD线（见图9）上各节点的位移时程与相对误差R。结果表明，这2种底部输入模型均与理论解存在显著差别。这说明在场地尺寸较小时，侧边界处地震力不可忽略。另外，采用下卧层刚度的模型B－I引起的相对误差较模型B－II的大，前者约为后者的1.5倍。为进一步解释原因，图10（b）给出了采用不同模型时场地角点E处的等效地震力。由图可知，模型B－II对应的等效地震力约为模型B－I的1.47倍。这两者等效地震力之差是由成层介质和下卧层的动力耦合造成的（见式（4）和式（5））。因此，相对于地震波在整个自由场的传播，考虑地震波在下卧层的传播减少了由于场地介质动力耦合产生的额外地震力，从而减小了对自由场运动计算结果的影响。

图10 比较模型B－I与模型B－II等效地震力Fig.10 Comparison of equivalent seismic forces obtained from model B－I and model B－II

图11 比较模型B－I与模型B－II中CD线上各点位移响应Fig.11 Comparison of displacement response along CD in model B－I and model B－II

4 结论

文中采用理论分析和数值模拟的方法研究了2种不同的地震动输入方式：一种是仅从近场底部输入，另一种是同时从近场的底部和侧边界处输入。研究以平面SV波垂直入射自由场为例，首先利用比例边界有限元法严格模拟了几何无限介质的动力特性；基于此，结合理论分析和数值模拟方法，计算了2种模型对应的自由场运动以及等效地震力。结果表明：

（1）侧边界处等效地震力对自由场运动的影响不可忽略，该影响随着近场宽度的增加而呈指数降低趋势；

（2）在本研究中，当均质弹性近场的宽深比（2d/h）大于36时，采用底部输入模型得到的自由场运动数值解与理论解的误差在5%之内。当在底部、侧边界同时输入等效地震力时，求得的计算结果与理论解的误差与场地尺寸无关。

（3）在底部输入地震动模型中，相比于考虑地震波在整个自由场的传播，假设地震波在下卧层传播减小了由场地各介质耦合产生的附加地震力，从而减小了自由场运动的求解误差。