孙小茹，胡世麒，张新立

（辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029）

量子博弈论是一门新兴学科，旨在利用量子信息理论来研究博弈论[1]，现已应用到各个领域。近年来，关于量子寡头博弈的相关研究越来越多，Li等首先提出了一种“最小”量子化方法[2]。此后，许多学者应用此方案对库诺特寡头问题进行了大量研究。例如Frackiewicz 发现，在量子库诺特模型中，当量子纠缠趋于无穷大时，纳什均衡会收敛到帕累托最优解[3]；Shi等建立了具有等弹性需求函数的量子库诺特博弈模型，并分析了量子纠缠与相对边际成本对均衡利润的影响[4]。

由于参与人认知的局限性，只有在参与人有限理性的基础上进行动态分析才能揭示博弈演化的本质。常见的理性假设主要有：有限理性、天真预期、延迟有限理性以及局部垄断近似等[5]。Agiza等构建了具有异质预期的库诺特双寡头博弈模型，分析了均衡点的局部稳定性及模型的动态复杂性[6]；Peng等建立了延迟有限理性条件下的库诺特三寡头博弈模型，分析了动态系统的稳定性和复杂性特征[7]。

纵观这些研究不难发现，均衡解不稳定问题依旧存在，因此研究具有不同理性假设的动态量子库诺特博弈非常有必要。Shi等建立了具有有限理性和天真预期的动态量子库诺特双寡头博弈模型[8]；Zhang等研究了具有二次成本函数和异质预期的动态量子库诺特双寡头博弈[9]。此外，信息非对称也是影响库诺特寡头博弈动态特征的一个重要因素，因此在进行产量决策时考虑信息非对称性具有非常重要的现实意义。Du等首次对信息非对称条件下的库诺特双寡头博弈进行了量子化[10]；Guo等建立了具有有限理性的三寡头博弈模型，分析了非对称信息对市场竞争复杂性的影响[11]。

虽然已有很多学者对企业间存在的信息非对称问题进行了研究，但是在具有非对称信息的博弈中有限理性这一概念却经常被忽视，将非对称信息与有限理性和量子博弈论结合起来将是一个值得深入研究的问题。鉴于此，本文建立了非对称信息条件下的有限理性量子库诺特双寡头模型，计算了量子均衡点的局部稳定性条件，分析了纠缠度和企业产量调整速度对系统动态特征的影响，试图为控制动态系统的混沌现象提出有效的解决办法。

1 量子库诺特双寡头博弈模型

设两寡头企业共同控制着某一产品的市场，其产量分别为q1、q2。总产量Q=q1+q2，产品的价格由函数p=a-bQ确定，其中p表示产品价格，a表示产品在市场上最高价格。设两寡头企业的成本函数均为线性形式Ci(qi) =cqi，i= 1,2，其中c＞0表示企业的边际成本。两寡头企业的利润函数可表示为

因此两企业的边际利润分别为

求解可得量子纳什均衡产量为

2 信息非对称下的量子库诺特博弈动态模型

一方面，双寡头市场中的信息通常是不完全的，企业会使用更复杂的理性预期来更新产量；另一方面，企业间可能存在信息不对称的现象。假定两个企业都是有限理性的，且企业1在t+ 1时期的产量x1(t+ 1)是两企业的共同知识，因此模型可表示成

3 动态系统的均衡解及其局部稳定性

对于上述动态系统，令xi(t+ 1) =xi(t)=xi，得到4个量子均衡点：

由稳定性条件可知，均衡解是稳定的当且仅当Jacobian 矩阵的特征值均小于1。因此，对于上述4个均衡点，有以下结论成立：

结论1 量子边界均衡点E0、E1、E2不稳定。

证明E0点处的Jacobian矩阵为J(E1)的特征值分别为λ1=b11,λ2=b22,显然|λ1|＞1,|λ2|＜1，因此E1是不稳定鞍点，同理，E2也是不稳定鞍点。

结论2 量子纳什均衡点E*是局部稳定的当且仅当

J(E*)的特征多项式为p(λ)=λ2- Tr(J)λ+ Det(J)，其中Tr(J)表示迹，Det(J)表示行列式，Tr(J)= 2 -(α+β)b(1 +e2γ)x*+αβb2e4γ(x*)2,Det(J)= 1 -(α+β)b(1 +e2γ)x*+αβb2(1 +e2γ)2(x*)2。

由于Tr(J)2- 4Det(J)＞0，所以J(E*)的特征根全为实的。根据Jury 稳定性判据，量子纳什均衡点E*局部稳定的充要条件为

因此，得到量子纳什均衡点E*局部稳定的条件。

4 数值模拟

本节运用Matlab 进行数值仿真，绘制了动态系统的单参数产量分岔图、奇异吸引子图以及对初始条件的敏感性图，从而直观地显示了纠缠度与产量调整速度对动态系统的稳定性及复杂性特征的影响。其中，各参数的取值分别为a= 10，b= 0.3，c= 3。

4.1 分岔与混沌

图1 为β= 0.1 时两企业产量随企业1 的产量调整速度α变化的分叉图。当γ= 0 时，量子纳什均衡点(7.821,7.821)在α＜0.465 时局部稳定。伴随α的继续增大，均衡点可能会产生分岔、混沌现象。当γ= 0.2时，量子纳什均衡点(5.973,5.973)在α＜0.498时保持局部稳定。由此可见，量子纠缠度越大，企业1的产量调整速度对两企业产量的影响越小，系统（12）越稳定，分岔和混沌出现的越晚，但两企业的量子纳什均衡产量却减小了。

图1 产量随α变化分叉混沌图Figure 1 Bifurcation diagram of output change with α

图2为α= 0.1时两企业产量随企业2的产量调整速度β变化的分叉图。当γ= 0时，随着β的不断增大量子纳什均衡点由混沌、分岔逐步进入局部稳定状态，当β＞0.23后，量子纳什均衡点(7.778,7.778)始终保持局部稳定。当γ= 0.2时，量子纳什均衡点(5.974,5.974)在α＞0.19后就开始进入局部稳定状态。由此可见，量子纠缠度越大，系统（12）的稳定性就越高，进入稳定状态越快，适当增大企业2的产量调整速度β能够起到混沌控制的作用。

图2 产量随β变化分叉混沌图Figure 2 Bifurcation diagram of output change with β

4.2 奇异吸引子

奇异吸引子是混沌系统的主要特征之一[12]。图3（a）和图3（b）分别显示了α= 0.68、纠缠度取不同值时与图1中的混沌相对应的奇异吸引子。而图4（a）和图4（b）分别显示了α= 0.66时，γ= 0和γ= 0.2所对应的奇异吸引子。

图3 α = 0.68时对应图1混沌现象的奇异吸引子Figure 3 Strange attractor corresponding to Figure 1 with α = 0.68

图4 α = 0.66时对应图1混沌现象的奇异吸引子Figure 4 Strange attractor corresponding to Figure 1 with α = 0.66

4.3 对初始条件的敏感依赖性

对初始条件的敏感依赖性也是非线性动态系统混沌现象的特点之一。为了分析纠缠度不同时混沌状态对初始条件敏感性的影响，设两企业产量的初值为(x1(0),x2(0)) =(5，8)，相对细微变动的初值为(x1(0) +0.001,x2(0))和(x1(0),x2(0) + 0.001)。图5、图6 分别为企业1 与企业2 的产量随时间变化的情况。初值与细微变动的初值所对的2条曲线在动态演化初始阶段没有明显差别，但是随着时间的增加，产量变化呈现出了明显的差别。在初值相同的条件下，企业1比企业2的产量变化幅度大。当纠缠度增大时，每个变量两轨道间的差异出现得更晚。因此，增大纠缠度可以降低对初始条件的敏感依赖性。

图5 企业1的产量对初始条件的敏感依赖性Figure 5 Sensitive dependence of the output of firm 1 on the initial conditions

图6 企业2的产量对初始条件的敏感依赖性Figure 6 Sensitive dependence of the output of firm 2 on the initial conditions

5 结论

本文建立了一个具有非对称信息和有限理性的动态量子库诺特博弈模型，分析了纠缠度、企业产量调整速度对动态系统的稳定性与复杂性的影响。结果表明，随着纠缠度的增大，系统的稳定性会提高，当企业1的产量调整速度过大时，系统会进入分岔、混沌状态，而当企业2的产量调整速度超过某一值时，系统会由混沌状态进入局部稳定状态。因此，适当增大纠缠度与企业2的产量调整速度可以抑制动态系统的混沌现象，从而使企业能够选择更加合理的产量。