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立足图形变化 提升推理能力*

2023-01-05蒋惠丽

中学数学杂志 2022年12期
关键词:纸片命题三角形

蒋惠丽

(江苏省苏州学府中学校 215009)

1 基本情况

为配合疫情防控的要求,我校上半年经历了由线下教学转为线上教学.本节课是学生线上学完《全等三角形》,转线下学习后的一节单元复习课.因环境的改变,不少学生还不能完全适应线下课堂,因此,在结束了本章学习后,笔者开设了一节借助全等三角形纸片的运动变化,巩固基本知识、基本技能的单元复习课.

(1)教材与学情分析

本节课教学内容是在完成《全等三角形》一章的学习后,为进一步培养学生的推理能力,主要是从一些事实和命题出发,依据规则推出其他结论的能力.利用全等三角形可以证明线段、角等基本几何元素相等,所以本章的内容也是后续学习等腰三角形、四边形、圆等几何图形的基础,教材以平移、翻折、旋转为主线展开“图形与几何”的学习.

线上教学中教师没有办法实时关注所有学生的学习状态,且通常会存在网络延时的问题、偶尔会出现网络异常、家庭学习氛围不浓、同伴互助缺失等因素,线上学习期间,学生的听课、作业等情况都与线下授课有差异,而由此积累下来的学习习惯也对后续的线下学习产生一定的影响.由于学习环境不同导致学习效果存在一定的差异,学生推理能力的发展也存在着不同程度的差异.

借助“靶向教学”进行数学复习教学,能够给班级和学生提供个性化、针对性的指导,可以提升复习的效益.[1]基于此,笔者对前测调研数据进行了靶向分析,发现不少学生在几何解题书写的规范性、条件与结论之间的逻辑性分析方面还存在一些问题,亟需一节针对性较强的单元复习课以弥补不足,帮助学生解决难点、痛点问题,及时清理几何学习道路上的障碍.

(2)教学目标及重难点

教学目标 复习全等三角形的概念、性质和判定;建构全等三角形的知识网络,让学生初步体会几何学习的方法;通过自主设计、合作学习,让学生感悟数学的严谨性,初步形成逻辑表达与交流的习惯;培养学生通过独立思考获得证明的思路,注重遵循小步走、多层次的原则,由易到难、由浅入深地发展学生的演绎推理能力.

教学重点 掌握三角形全等的判定和性质,建构全等三角形的知识网络.

教学难点 规范解题书写,感悟数学的严谨性,初步形成逻辑表达与交流的习惯.

2 教学过程

教师展示三组三角形纸片(图1),分别是锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,叠合每组图形后均重合,自然引出本节课的复习内容,并帮助学生回忆全等三角形的定义.

图1

2.1 问题驱动,建构知识体系

问题1如图2,△ABC≌△DEF,你能得到哪些结论?

图2

师:任取其中一组三角形(图1(3)),如图2放置,你能得到哪些结论?

生1:AB=DE,CB=FE,AC=DF.(全等三角形的对应边相等)

生2:∠A=∠D,∠C=∠DFE,∠ABC=∠E.(全等三角形的对应角相等)

师:很好!这些都是全等三角形的性质.除此以外,你们还能得到其他结论吗?

生3:AC∥DF,AB∥DE.

师:依据是什么?

生3:同位角相等,两直线平行.

师:完全正确!还能得到什么结论?

生4:CF=BE.

师:它们为什么相等?

生4:因为CB=FE,同时减去BF,剩下的部分仍然相等.

师:依据是什么?

生4:等式的性质.

师:非常好!你不仅拥有一双善于发现的眼睛,还拥有一个积极思考的大脑.

设计意图问题1比较基础,意在帮助学生复习全等三角形的性质——全等三角形的对应边、对应角相等.除此以外,联系之前学过的几何知识,还有些结论需要转化才能得到,通过复习帮助学生建立新旧知识之间的关联.

问题2如图2,在△ABC和△DEF中,要说明△ABC≌△DEF,需要添加几个条件?

师:反过来,如果要说明△ABC≌△DEF,我们需要添加几个条件?

生:三个.

师:具体是哪三个条件呢?

生5:AB=DE,∠A=∠D,AC=DF.

师:判定的依据是什么?

生5:SAS.

师:表达得很正确.还有另外的判定方法吗?

生6:AB=DE,∠A=∠D,∠ABC=∠E.其实只要有两组对应的角相等,再加任意一组边即可.

师:判定的依据是什么?

生6:ASA或者AAS.

师:很好!描述清楚到位.

生7:还可以添加AB=DE,CB=FE,AC=DF,依据是SSS.

师:回答非常完整!同学们,如果我们当初的选择是一对直角三角形(图1(2))呢?

生7:只要加两个条件了,因为它自带一组直角.

师:非常好!你来试试.

生7:如果加两条直角边相等,那就是用SAS;如果加一组锐角相等,并且任意一组边相等,那就是用AAS或者ASA;如果加一组直角边相等,并且斜边也相等,那就是用HL.

师:总结得很好!对于直角三角形,一般三角形全等的判定仍然适用.当然,因为已知一组直角相等的缘故,SSS这一判定需要添加三个条件,显得有些“浪费资源”,是被舍弃的.同时也因为直角三角形的特殊性,与一般三角形相比,它还拥有一个特殊的判定方法(HL).如果我们把这两张钝角三角形纸片放置到另一特殊的位置(图3),此时需要添加几个条件呢?

图3

问题3如图3,在△ABC和△DEF中,要说明△ABC≌△DEF,需要添加几个条件?

生8:两个.因为它们有一组公共边,所以只要加两角、两边或者一角一边即可.

师:观察得很仔细,表达得也很清楚.我们把公共边这样的条件叫做隐含条件,善于挖掘隐含条件,会为我们解决问题提供很大的帮助.

设计意图问题2和问题3也属于非常基础的题目,目的是帮助学生复习全等三角形的判定,强化判断一组三角形全等需要三个条件,其中一组边相等是必备条件.问题3引导学生善于挖掘题目中的隐含条件——公共边、公共角、对顶角等,从而有助于问题的顺利解决.

从大容量习题的学案走向简约呈现、内涵丰富的问题驱动,可有效促进学生思维卷入高质量问题中,从而追求探索未知的有效教学.[2]在问题1~3的驱动下,学生从定义、性质、判定三个方面回忆了《全等三角形》这一章的知识点,这也是继续研究其他几何图形的策略.同时,图2和图3还可以看成由△ABC平移、翻折而来,让学生感悟图形的运动变化是研究几何的重要手段之一.

2.2 例题示范,规范解题格式

例1如图2,已知AC∥DF,AC=DF,CF=BE.求证:AB∥DE.

例2如图3,在△ABC和△DBC中,AC=DC,AB=DB,连结AD,试说明CB与AD的位置关系.

在原有图2和图3的基础上进行命题,通过学生板书、师生合作点评,帮助学生梳理逻辑关系,明确几何解题的规范,同时巩固了位置关系和数量关系、间接条件和直接条件之间的相互转化等知识点.因使用原图,学生接受情况良好,节省了重新审题的时间,可以把更多的精力转移到规范书写上来.

例题过后设计一个开放的变式,如把钝角三角形替换成锐角三角形或者直角三角形、把平移和翻折结合起来或者加上旋转均可,这一选择由学生自己来决定,师生合作完成.有了前期问题的铺垫,学生进而会思考这两张三角形纸片还可以如何放置,一般放置到某一特定位置,一定会生成一些新的特殊图形,这是一个命题者极容易捕捉到的信息,根据这一信息,可以命制出一些新的题目来.

2.3 自主设计,落实四基四能

课程目标以学生发展为本,以核心素养为导向,进一步强调学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验,发展运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力,形成正确的情感、态度和价值观[3].

例题是教师命题学生做,最后教师把命题解题的自主权交给学生.学生利用手中的全等三角形,围绕本节课的主题来设计图形,继而发现和提出问题,并能够分析和解决问题.在此活动过程中,学生拼搭出很多作品,并在此基础上尝试命题解题.

学生部分作品如下:

作品1 将两个全等三角形如图4放置,∠A=75°,∠DBC=40°,求∠DCB的度数.

作品2 如图5,已知△ABC≌△CDA,求证:AB∥DC,AD∥BC.

图4 图5

作品3 在Rt△ABC和Rt△CDE中,∠B=∠D=90°,将两个全等的直角三角形如图6放置,B,C,D三点在同一条直线上,求证:∠ACE=90°.

图6 图7

作品4 将三个全等的三角形如图7放置,若∠ABC=18°,∠ACB=29°,求∠DAE的度数.

不少学生经历了近30分钟的学习后,有些疲惫和懈怠,通过这一活动环节,自主设计图形、自主或者互相命题、独立或者合作解决问题,不仅能帮助学生巩固本章知识,还能拓宽学生思维,同时调动了学生学习的积极性,增进同伴互助,提高课堂实效.当然,因为条件的限制,本节课生成出的作品大都是直接使用拼搭的图形本身,已知三角形全等,求边求角的问题.课后教师还可以引导学生利用拼搭好的图形,逐步添加线条,使得图形更加丰富;也可以反过来通过添加合适的条件,转而证明三角形全等.

2.4 课堂小结,布置作业(略)

3 回顾与反思

3.1 分析学情,定位精准

学生刚刚恢复线下学习,学习的状态和以往相比还是略有不同,处于线上线下学习的过渡期.学生刚刚学完《全等三角形》这一章,许多知识点还有待进一步巩固提高,通过本节课的复习帮助学生串联全等的相关知识,初步建构全等三角形的知识体系,感悟几何学习的方法.

在选题设计方面充分考虑学情,选择的图形简洁清晰.课堂中出现的所有图形都是由两个全等的三角形构成,学生比较容易厘清边、角之间的数量关系,帮助学生建立解题自信;同时注重基本图形的变化,让学生感知复杂图形可以由简单图形运动变化获得,逐步帮助学生完成从简单图形到复杂图形的过渡;在学生完全掌握了基本知识,积累一定的解题基本经验后,再逐步接触比较复杂的图形,从而减少学生学习数学的畏难情绪.

3.2 动手设计,自主命题

通过学生访谈,了解到他们也不是故意不听课,有些时候听着听着就走神了,等到回过神来的时候已然听不懂了,长此以往学生也就慢慢失去了数学课堂的参与能力.基于此,把课堂还给学生,把命题解题的自主权交给学生,让他们利用两张全等的三角形纸片进行拼搭,设计图形—提出问题—分析问题—解决问题,通过这个活动,让学生过了一把当老师的瘾,学习劲头就上来了.从简单的拼搭开始,慢慢添加线条,图形越来越复杂,学生能解决的问题越来越多,自信和兴趣便随之增多.

在“做”数学的活动中,要时刻关注学生是否能在教师的引导下,积极主动进行操作、探索、归纳;能否有条理地思考和表达;能否有意识地反思探索的过程,获得分析问题的经验.此外,教师不仅要关注学生参与操作、探索、归纳活动的程度,而且要关注

学生能否通过独立思考获得证明的思路,能否运用规范的数学语言表述论证的过程.

活动的顺利进行基于小组合作,如果学生只会拼搭图形,但解决问题的能力偏弱些,组内的成员们会帮助他一起解决,同时其本人也会更加专注别人解决问题的方法,更有针对性地去关注自己当时的难点,为下一次自己能够独立解决问题奠定基础.

3.3 适当放手,留有余地

学生是学习的主体,教师是学习的组织者、引导者和合作者,作为教师应该把更多的时间和空间留给学生自己,而不是急于表达教师想表达的,应当多关注学生学习的过程,给予更多学生表达自己的机会.有了轻松民主的课堂氛围,学生思维的火花就能精彩频出.

课后一位学生分享了他的思考.他认为使用三角形纸片不妥,他拿出自己使用毛根(一种可弯曲定型的手工材料)制作的三角形,很认真地说,这才是三角形,而且叠合时前面的三角形也挡不住后面的.确实如此,他的想法是正确的,笔者大力表扬了他勤于动手、善于观察、专于思考、敢于发问.然后解释,用他的道具更好,只是不太常见,同学们不容易找到,解题时不能及时应急,纸片虽然不够严谨,但是能表达清楚题目意图,关键是它随时可取,在必要的时候能够帮助我们解决问题.不过纸片三角形也好,毛根三角形也罢,它们都只是协助我们思考的“脚手架”,当我们能够顺利解决问题时,也可以无需通过道具就能解决问题,但是毋庸置疑,这些道具在帮助我们设计图形、分析问题时发挥了极其重要的作用.

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