张胜杰，邢光军

（南京邮电大学 管理学院，江苏 南京 210003）

0 引言

当今世界资源短缺、环境污染等问题日益突出，因此可持续发展的观念逐渐深入人心。众所周知，闭环供应链对于可持续发展有着重要意义，这是由于闭环供应链中的再制造环节可以有效地缓解资源短缺和环境污染等问题，从而实现企业的可持续发展[1]。随着供应链的发展，绿色供应链管理逐渐进入人们的视线。绿色供应链就是在供应链的过程中尽可能多的考虑环境因素，比如在供应链中考虑产品的绿色度、消费者的绿色偏好、绿色技术以及减排低碳等因素。程发新，等[2]建立了差别权重补贴下考虑消费者绿色偏好的定价决策模型，同时还对闭环供应链进行了契约设计，结果表明，随着消费者绿色偏好度的增加，产品的零售价也会增加。梁喜，等[3]在双渠道的闭环供应链中考虑社会责任和消费者的绿色偏好，考虑原制造商利用原材料生产新产品，而产品的再制造由第三方制造商进行。研究发现随着原制造商承担社会责任的比例越大，产品的绿色度也会增加。Sinayi，等[4]在由制造商和零售商组成的双渠道闭环供应链中考虑绿色投资，发现集中决策时产品的零售价不低于分散决策下的零售价。曾蔚，等[5]在考虑消费者绿色偏好情形下，构建了两种不同情况下的再制造闭环供应链模型，然后对两种情况下的均衡解进行比较分析。Yang[6]考虑在回收不确定性的情形下，研究绿色供应链生产决策问题。吕宝龙，等[7]考虑了碳税和产品的绿色度，构建了闭环供应链网络博弈模型，得出政府可以根据绿色度水平等因素来引导企业设置合理的回收比例。在上述绿色闭环供应链的研究中，以往研究的闭环供应链都是静态的，没有考虑连续时间的闭环供应链，但在实际生活中，闭环供应链的运作都是在连续时间内发生的，因此静态的闭环供应链的研究结果可能与实际不相符。近年来，关于动态的供应链也有了不少的研究。程粟粟，等[8]对考虑绿色创新下绿色供应链的生产决策问题进行研究，并对模型进行了协调和改进。霍良安，等[9]利用动态演化博弈研究了再制造过程中的回收策略问题。于荣，等[10]对考虑绿色度和声誉的绿色食品供应链进行了研究，发现政府补贴和声誉有利于食品质量和供应链利润。叶欣，等[11]在双渠道的动态供应链中，研究了产品的定价以及减排策略等相关问题。Giovanni，等[12]对闭环供应链的激励机制进行了研究。Chutani[13]研究了供应链中产品的动态定价和广告促销等问题。林思良，等[14]采用微分博弈的方法研究了废旧电子产品在回收过程中政府和企业的协同策略。Xiang，等[15]在闭环供应链中对产品的广告投入策略和动态研发进行了研究。叶同，等[16]在低碳背景下的动态供应链中，研究了制造商的减排策略以及产品的广告策略。在这些研究中，有些动态供应链的研究不包含产品的回收和再制造过程，而有些则没有在绿色供应链的背景下进行研究。

根据上述研究，本文采用微分博弈的方法对绿色闭环供应链的生产决策问题进行研究，首先构建了以废旧品的回收率为状态变量的绿色微分博弈模型，考虑消费者对于绿色产品的偏好和不同的回收策略；然后利用最优控制理论求出不同回收策略下模型的均衡解，同时对制造商回收和零售商回收两种策略下的均衡解进行对比分析；最后利用maple软件分析了相关参数对于闭环供应链利润的影响。

1 问题描述和假设

在以往闭环供应链的研究中，人们常常是研究静态的闭环供应链，静态的研究只能为供应链系统在短时间内的决策提供指导，本文研究动态情境下的闭环供应链。为了更好的实现闭环供应链对于环境的保护，促进经济和环境协调发展，同时考虑顾客在消费过程中对于绿色产品的喜爱。假设制造商在生产过程中加入绿色材料生产绿色产品，从而引入产品的绿色度。首先构建了一个由制造商和零售商以及消费者组成的绿色闭环供应链系统，在供应链中，制造商利用原材料和回收的废旧品生产制造新产品，然后制造商将生产制造的产品以批发价w(t)出售给零售商，最后零售商以价格p(t)卖给最终的消费者。当产品报废后，制造商和零售商会对废旧品进行回收，然后利用回收的废旧品生产制造新产品。

假设1 t∈(0,∞)，利用经典的商誉模型[17]，在闭环供应链的回收过程中，废旧品的回收率为τ̇(t)=ρA(t)-δτ(t)，A(t)表示制造商或者零售商回收废旧品时的回收努力，δ表示回收率的衰减系数，ρ表示回收投入努力对于产品回收率的影响程度。

假设2假设新产品和再制造品无差异，利用原材料生产新产品的制造成本为cm，制造商利用回收的废旧品制造新产品的生产成本为cr，cm＞cr，且Δ=cm-cr,Δ＞b。

假设3假设新产品的需求函数为D=α-βp(t)+θg(t)，在这里产品的需求不仅受到产品自身价格的影响，还受到产品绿色度的影响[8]。θ，β代表消费者对于产品绿色度和价格的敏感系数，且α＞βp，同时制造商的绿色投资成本为，其中n为绿色成本系数[8]。

假设4与黄宗盛，等[18]假设相一致，假设回收商回收废旧品的回收成本与回收努力A(t)有关，那么回收商的回收成本为，且k为回收成本系数。

假设5假设无论是制造商还是零售商从消费者手中回收废旧品时的单位支付均为零，这并不会对模型结果造成影响[18]。同时当零售商回收时，每单位的废旧品制造商需支付费用b。

2 模型构建

制造商负责生产新产品以及对废旧品进行再制造，是博弈的领导者。零售商跟随制造商将产品卖给消费者。制造商可以选择是否回收废旧品，因此这里也就出现了制造商回收和零售商回收这两种策略。

2.1 制造商回收

在制造商回收策略下，闭环供应链中的主导者是制造商，因此制造商首先决定新产品的绿色度g1(t)、批发价格w1(t)和回收努力A1(t)，然后零售商决定自身产品的销售价格p1(t)。制造商和零售商的目标函数如下：

利用逆向归纳法求出销售价格p1(t)，首先构造零售商的现值汉密尔顿函数如下：

r表示贴现率，λr1(t)是零售商的当期值汉密尔顿乘子，且t∈[0,∞)。现值汉密尔顿函数最大化的一阶条件方程：

最优条件方程为：

当期乘子方程为：

状态方程为：

然后利用最优条件方程式（4）可以求得此时的销售价格p1(t)：

将式（7）代入制造商的现值汉密尔顿函数可得：

λm1(t)是当期值汉密尔顿乘子，且t∈[0,∞)。现值汉密尔顿函数最大化的一阶条件方程：

最优条件方程为：

当期乘子方程为：

即：

状态方程为：

然后利用最优条件方程式（9）—式（11）求得此时的g1(t)、w1(t)、A1(t)为：

这里假设4βn-θ2＞0，保证求得的解符合实际情况。然后将式（11）两边同时对t求导，即可得到最后根据式（11）和式（13）即可得到：

从而形成一个制造商的动态控制系统：

r11＞0,r12＜0。证明如下：

在这个系统中，利用雅克比矩阵的特征根来划分系统的均衡点，当两个根为异号实根时，此时的均衡点为鞍点。因为在此系统中r11＞0,r12＜0，所以均衡点为鞍点。

2.2 零售商回收

当零售商选择回收时，此时在闭环供应链系统中，制造商首先决定产品的批发价格和绿色度，零售商决定产品的销售价格和回收努力，制造商和零售商的目标函数如下：

利用逆向归纳法需要先求出销售价格和回收努力p2(t)、A2(t)，因此首先构造零售商的现值汉密尔顿函数如下：

r为贴现率，λr2(t)是零售商的当期值汉密尔顿乘子，且t∈[0,∞)。现值汉密尔顿函数最大化的一阶条件方程：

最优条件方程为：

当期乘子方程为：

状态方程为：

然后利用最优条件方程式（22）、式（23）可以求得此时的销售价格和回收努力p2(t)、A2(t)：

将式（26）代入制造商的现值汉密尔顿函数可得：

λm2(t)是当期值汉密尔顿乘子，且t∈[0,∞)。现值汉密尔顿函数最大化的一阶条件方程：

当期乘子方程：

状态方程为：

根据汉密尔顿函数的一阶最大化条件可求得制造商的批发价格w2(t)以及产品绿色度g2(t)：

然后将式（32）、式（33）代入p2(t)可得：

最后再将其代入式（24）可得：

从而形成了一个零售商的动态控制系统：

同理，r21＞0,r22＜0，证明过程和分散决策下相同，在系统中利用雅克比矩阵的特征根来划分系统的均衡点，当两个根为异号实根时，此时的均衡点为鞍点。因此在 此 系 统中r21＞0,r22＜0，所以均衡 点(A2*,τ2*)为鞍点。

2.3 均衡分析

推论1：制造商回收时，满足前提条件4βn-θ2＞0，且kδ( 4βn-θ2)(r+δ)＞Δ2β2nρ2，均衡解存在且均大于零，其中：

因此在前提条件下，4βn-θ2＞0，且α-βcm+因此同理可得均大于零。将τ1*代入可得：

推论2：制造商回收时，满足前提条件4βn-θ2＞0，且kδ( 4βn-θ2)(r+δ)＞Δbβ2nρ2，均衡解存在且均大于零，其中：

证明过程和制造商回收时类似，不再叙述。

注：两种情形下均衡解存在的条件为：

因为Δ＞b,所以Δ2β2nρ2＞Δbβ2nρ2。两种情形下均衡解存在的前提条件可化为：

推 论3：在 前 提 条 件4βn-θ2＞0，且kδ( 4βn-θ2)(r+δ)＞Δ2β2nρ2下，随着消费者对产品绿色度的敏感系数增加，两种回收下各个主体的均衡利润也随着增加。

证明：将回收率代入利润的均衡解再对其求偏导可得：

当供应链系统存在均衡解时，随着消费者对产品绿色度的敏感系数增加，产品价格和需求出现一定的增加，因此供应链主体的利润也随之增加。

2.4 制造商回收和零售商回收下稳态均衡解的对比分析

推论4在绿色闭环供应链中，当4βn-θ2＞0，且kδ( 4βn-θ2)(r+δ)＞Δ2β2nρ2时，两种回收策略下的回收率和回收努力满足以下关系式：A*2＜A*1,τ*2＜τ*1。

证明：

当4βn-θ2＞0，且kδ( 4βn-θ2)(r+δ)＞Δ2β2nρ2，同时4βn-θ2＞0，且kδ( 4βn-θ2)(r+δ)＞Δbβ2nρ2，两种策略下存在均衡解。首先根据2.3节中均衡解对两种情况下的回收努力作差，可得：

对两个式子进行比较，由于Δ＞b，所以同理可得：根据上面的式子可知，产品的回收努力和回收率受到消费者对于产品绿色度和价格的敏感程度以及绿色成本系数等很多因素的影响。废旧品的回收需要花费很长的时间，在这个回收过程中制造商积极主动的参与废旧品的回收，从而进行产品的再制造，与制造商相比，零售商回收积极性相对较低。因此，制造商在回收过程中的回收努力总是大于零售商回收时的回收努力，同时制造商的回收率也大于零售商的回收率。

推论5在绿色闭环供应链中，当4βn-θ2＞0，且kδ( 4βn-θ2)(r+δ)＞Δ2β2nρ2时，制造商回收和零售商回收下的产品批发价格、绿色度满足以下关系式：

然后根据求得的均衡解可知

对其化简可得：

根据不等式的性质，若x＞y,z＞0,则xz＞yz.

当0＜θ2＜2βn时，

当2βn＜θ2＜4βn时，无法具体判断。

当消费者对于产品绿色度和产品价格的敏感程度以及绿色成本系数在一定范围内，制造商回收下的产品绿色度大于零售商回收下产品的绿色度。根据绿色度的均衡解可知，在这个系统中产品绿色度和废旧品的回收率有关，回收率越大，制造商对绿色成本投入提升的空间越大，产品绿色度越大。零售商回收下产品的批发价格较大，这是因为零售商回收时制造商对于每单位回收的废旧品需要支付一定的费用，同时零售商回收下废旧品的回收率小，回收再利用的产品有限，从而制造商在再制造的过程中成本增加，因此零售商回收下产品批发价格较高。

推论6在绿色闭环供应链中，当4βn-θ2＞0，且kδ( 4βn-θ2)(r+δ)＞Δ2β2nρ2时，制造商回收和零售商回收下的产品零售价格满足以下关系式：

证明：

化简可得：

由推论5可知，当消费者对于产品绿色度和产品价格的敏感程度以及绿色成本系数在一定范围内，两种回收情形下产品批发价格和绿色度呈现不同的结果。由于零售商回收时产品的批发价格大，因此在一定范围内，零售商回收时产品的零售价格相对也比较大。但是随着消费者对绿色产品的认同，产品绿色度增加，制造商生产绿色产品的成本增加，因此在一定范围内，制造商回收下产品批发价格以及零售价格高于零售商回收下的产品批发价格以及零售价格。

推论7在闭环供应链中，当4βn-θ2＞0，且kδ( 4βn-θ2)(r+δ)＞Δ2β2nρ2时，两种回收方式下的制造商和零售商的利润满足以下关系式

证明过程如下：

两种回收策略下，制造商回收下零售商的利润最高。这是因为回收过程中有很多不确定因素，比如时间、人力、金钱的投入。零售商不太愿意主动承担这些，因此回收率较低，获得的利润也比较低。

3 数值分析

为了更好地对上述过程中的均衡解进行分析，利用maple进行数值分析，首先对相关参数进行赋值，赋值结果见表1。

（1）产品绿色度和价格敏感程度以及绿色成本系数对于均衡解的影响见表2。

表2 参数n,β,θ对均衡解的影响

在产品绿色度和价格敏感系数以及绿色成本系数的影响下，两种回收情形下产品价格和绿色度呈现不同的结果。算例分析的结果验证了上面的结论。当系统均衡解存在时，制造商回收率、回收努力以及绿色度总是大于零售商回收率、回收努力和绿色度。两种回收渠道下，制造商回收下零售商的利润较高，同时当参数在一定范围内，制造商回收时本身利润较高，但是超过一定范围，零售商回收时制造商的利润较大。最后发现随着消费者对产品绿色度的敏感性增加，产品的绿色度也随着变大。

（2）消费者对于产品绿色度的敏感系数对利润的影响。如图1和图2所示，随着消费者对于产品绿色度敏感系数的增加，在一定范围内，需求增加，产品价格上涨，因此两种情形下制造商和零售商的利润增加。但是制造商和零售商利润变动的幅度较小。同时结合图1和图2可知，随着产品绿色度敏感程度增加，制造商的利润总是高于零售商的利润。

图1 参数θ对两种回收策略下零售商利润的影响

图2 参数θ对两种回收策略下制造商利润的影响

（3）回收成本系数和绿色成本系数对于制造商回收下的各主体利润的影响。如图3和图4所示，在制造商回收情形下，无论是回收成本系数还是绿色成本系数，当它们逐渐增加时，制造商的利润总会减少，但回收成本系数对利润的变动影响不大。对于零售商而言，绿色成本系数增加，产品价格可能会上涨，从而造成需求减少，利润下降，此时零售商不直接参与回收过程，因此对零售商而言，回收成本系数的变化对于零售商利润没有变化。

图4 参数n,k对零售商回收策略下零售商利润的影响

4 结语

为了研究绿色闭环供应链的发展，本文在动态闭环供应链的基础上，考虑了消费者的绿色消费行为，在产品需求中考虑绿色度对其的影响。回收是一个长久的过程，因此回收过程中存在很大的不确定性。这里把产品的回收率当作状态变量，同时研究在制造商回收以及零售商回收下动态闭环供应链系统中产品的定价和绿色度，从而使供应链系统达到最优。最后研究供应链系统中的相关参数对闭环供应链的影响，可得：

（1）消费者对于产品绿色度的敏感性增加，促进了对绿色产品的消费，从而使得制造商和零售商的利润都随之增加。

（2）在回收过程中，零售商更愿意制造商进行废旧品的回收，因为这对于零售商是有利的，但是并不意味着对制造商有利。

（3）当制造商回收且闭环供应链系统存在均衡解时，废旧品的回收努力、回收率以及产品绿色度较高，而在一定范围内产品的批发价格和零售价格反而比较低。

本文假设制造商的回收价格为常数，接下来可以研究动态的回收价格，回收价格受时间因素的影响。其次这里的绿色闭环供应链是制造商或者零售商负责废旧品的回收，以后还可以研究多个回收渠道的闭环供应链。最后本文的研究背景是制造商主导下的Stackelberg博弈，在以后的研究中还可以考虑加入渠道权力，研究不同渠道权力下的动态闭环供应链等。