林玉芬

（福建省泉州市丰泽区丰盛实验小学）

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出，小学阶段，核心素养主要表现为：数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识、创新意识。在核心素养观念下，通过运算律的教学可以培养学生的模型意识和推理意识，发展数感。教学中，教师不能只关注运算律的表象特征，还应关注运算律的内涵和教学价值。运算律不仅运用在简便的运算中，还渗透在整个小学数学学习的过程中，如多位数的乘法是以乘法分配律作为有效支撑、多位数加法是以加法结合律作为重要支撑、加法交换律和乘法交换律是验算的依据等。在教学运算律时，教师要让学生亲历建模的一般过程：先通过观察和比较大量的例子，初步发现规律，建立模型；再联系已学知识或生活实例解释模型，运用不完全归纳法验证规律成立后表述模型；最后，应用模型解决实际问题。下面以北师大版《义务教育教科书·数学》四年级上册“乘法分配律”为例，探讨如何关注建模过程，培育核心素养。

一、实施前测，确定教学路径

乘法分配律的学习是学生在学习了乘法的意义、四则运算、加法交换和结合律、乘法交换和结合律的基础上进行的，乘法分配律是简算的依据，对提高学生的计算能力有着重要的作用。在上本节课之前，学生对乘法分配律已经有了一定的感知，如教科书从二年级学习的乘法口诀开始渗透乘法分配律，三年级用点子图探索一位数乘两位数或三位数、两位数乘两位数计算方法的过程，长方形的周长、相遇问题等，这都是在借助图形直观，使学生体会基于乘法分配律的算理。为了优化教学过程，我进行了前测，出示题目：求出 4 个 25 与 4 个 75 的和。结果有10%的学生用连加，有75%的学生用25×4+75×4，只有 15%的学生用(25+75) ×4 进行计算，他们用的是凑整法，并未提到用乘法分配律简算。这说明，学生已掌握了乘法的意义，但对乘法分配律的结构并未认知，缺乏简算意识。因此，教学中教师应利用学生已有的类比、迁移、抽象、建模、符号化思想等经验，促进学生建构乘法分配律模型，并重视对算理表述及简算价值的渗透，帮助学生由感性认识上升为理性认识。基于此，我确定本课的教学目标是：让学生经历乘法分配律的探索过程，会用字母表示；让学生初步学会用观察、比较、归纳等方法进行意义建构，积累数学活动经验；在探索活动中，培养学生团结合作、积极交流的习惯。我确定本课的教学重点是：让学生发现乘法分配律，并用字母表示；确定本节课的教学难点是：乘法分配律的意义建构。

“双减”政策要求“提质增效”，课程标准则要求“在数学课程中，要帮助学生建立数感、符号意识，发展运算能力和推理能力，初步形成模型思想。在小学阶段，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”因此，这节课我需要让学生经历建模的全过程，将“事理”上升为“数理”，为培养学生的数学模型思想提供载体。

二、观察比较，初步建立模型

这个环节解决的是第一个核心问题：对比每个等式两边，你发现了什么？首先，我让学生通过算一算，根据计算结果把6 个算式分成3 个等式。其次，我让学生在围绕这个核心问题独立思考后，根据以下四点要求自主探究：轮流说想法，重复的不说；认真倾听，及时补充；交流完后，把组内一致的想法整理在学习单上；展示、辨析学习单。我预设学生可能的发现有：两边得数一样，但是运算顺序不同，一个先算加法，另一个先算乘法；等式两边都有乘法和加法两种运算，一种是两步计算，另一种是三步计算；一边是两个数的和乘以一个数，一边是两个乘法式子相加，两个乘法式子相加时有相同的因数；个别学生还可能发现算式两边意义相同：都是求相同的几个几相加的和是多少，如（10+4）×25=10×25+4×25，这个等式的左右两边都表示14 个25 相加的和是多少。最后，我引导学生概括出这些等式两边的相同点是都有两级运算，得数相等，意义也相同；不同点是运算顺序不同，结构不同。

这样设计的目的是为了了解学生学习乘法分配律的难点在哪里，如对其本质不理解、对其结构不熟悉、无法体现其简便性、乘法结合律的负迁移等。针对这些难点，我精选题目，让学生分类计算，意在抓住学生学习乘法分配律的“最近发展区”，也就是基于数的运算，同时渗透简算意识。再启发学生通过横向对比，直接指向乘法分配律的表象特征，消除乘法结合律的负迁移：乘法结合律只有一级运算，而乘法分配律有两级运算，根据结构不同，一边是两步计算，一边是三步计算，目的是减少（10+4）×25=10×25+4 这种错误。我引导学生在横、纵向对比中发现乘法分配律的本质：每个等式左右两边结构虽然不同，意义却相同，都是求相同的几个几，所以每个等式的两边相等。通过引领学生聚焦算式，观察特点，感受等值变形，他们建立了清晰的乘法分配律雏形，初步发现了规律：两个数的和与一个数相乘，等于这两个加数分别与这个数相乘，再相加。

三、多元表征，解释表述模型

大部分学生在学完第一个环节后，仍对“等式两边的意义相同”这个认知存在困惑，因此我提出了第二个核心问题：你能解释算式左右两边相等的道理吗？我先让学生独立仿写算式、探究算理，完成学习单，再展示并辨析学习单。我预设学生的第一种方法是联系已学知识（如多位数笔算乘法）来解释。学生可以举生活实例：1 件上衣35 元，1 条裤子25 元，3 套共多少元？学生可以先合起来算出1套衣服的钱数再乘以3 套，也可以分开算出3 件上衣的钱数、3 件裤子的钱数，再合起来。这样，不管分开算还是合在一起算，都是在算3 套衣服的总钱数，所以可以列出算式：(35+25)×3 = 35×3+25×3。我预设学生的第二种方法是借助画图来解释。如白色正方形的个数是3 个4 相加，红色正方形是5 个4 相加，一共是 8 个 4 相加；也可以先求一列有 8 个正方形，再乘以 4 列，即（3+5）×4，一共也是 8 个 4 相加，所以3×4+5×4=（3+5）×4；还可以直接用乘法的意义解释：4×8+6×8，4×8 表示 4 个 4 相加，6×8表示6 个8 它们合起来一共有10 个8，也就是（4+6）×8，所以（4+6）×8=4×8+6×8。

在辨析完学习单后，我引导学生概括出“算式左右两边结构不同，意义相同，都是求相同的几个几相加的和是多少”。然后，让学生讨论发现，这种等式的共同特点是两个数的和乘第三个数，等于这两个数分别乘第三个数再相加。学生质疑：这样的等式能写完吗？学生猜测写不完后，我再通过一道题引导学生进行验证：小红家的果园原来长60 米，宽20米，扩建后，长增加了30 米，现在果园的面积是多少平方米？学生根据题意想象画图、独立解答，结合课件讲算理。在学生借助图形自主决定增加长的数量之后，我引导学生在一、二、三、四位数……范围内举例，列出等式并验证，借助不完全归纳法，使学生发现：找不到反例，从而得出有无数种。学生再次质疑：能用一个等式概括出前面所有的等式吗？我引导学生思考创造，用图形、文字、字母表示后揭题：（a+b）×c=a×c+b×c是一个运算定律，叫做乘法分配律，即两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再相加，结果不变。最后，我组织学生讨论：怎样能快速记住乘法分配律？学生讨论后认为可借助几何直观理解记忆：小红家的果园原来长a米，宽b米，扩建后，长增加了c米，现在果园的面积是几平方米？学生通过尝试、验证、交流简化模型，经历从具体到抽象，从个别到一般的建模过程，再次深层次领悟了乘法分配律的内涵。

本环节是这节课的“灵魂”，学生通过联系已学知识，借助情境，数形结合，最终回归乘法分配律本质：运用乘法的意义解释，明确每个等式左右两边结构不同，意义相同，都是求相同的几个几相加的和是多少。这样，就让学生从关注规律的“形”到重新审视规律的“意”，以内在不变的“理”，理解外在变化的“形”，突显意义建构，领悟数形结合思想、无限思想、合情推理、演绎推理、归纳推理及模型思想的魅力，同时培养学生的探索精神。

四、沟通联系，整体架构知识

整体架构知识指的是基于数学知识的内在系统关联和学生的已有认知基础，通过结构化教学，帮助学生完善认知体系，发展思维能力，培育数学素养，进而促进学生更好地理解数学、爱上数学、学好数学，逐步学会学习并成为学习的主人。《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出，教学内容是落实教学目标、发展学生核心素养的载体。教师要重视对教学内容的分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化数学知识体系。为此，我提出了两个问题：我们之前学过哪些运算律？有用过乘法分配律吗？第一个问题提出的目的是架构加法交换、结合律，乘法交换、结合、分配律这5 个运算律的框架；第二个问题提出的目的是丰富乘法分配律的背景，使学生学会多位数的口算，如要求 16×3 的积，可以把 10×3 与 6×3 的积相加；再如，笔算乘法145×12，可以先算2 个145，再算10 个145，最后把两个积相加；又如，相遇问题：张小东和王小红同时从大桥的两端相对走来，张小东每分钟走60米，王小红每分钟走50米，经过5分钟后两人相遇。这座大桥全长多少米？这样，在数学教学中，教师站在学生的立场，用结构化的观点指导教学，引导学生对已学的相关数学知识进行统合，驱动学生思维的深度参与；教师引领学生对本质相通的相关教学内容进行整体建构，以帮助学生理清数学知识之间的逻辑关系以及内在知识结构；这样，就使学生建立了数学知识之间的联系，有效实现了“从直观到抽象、从抽象到具体”的教学目标，使学生真正深入理解了乘法分配律的意义本质，完善了知识体系。在此过程中，学生的认知也不断得到深化，实现了对数学知识的类化理解与认知结构的重构。

五、深化应用，反思质疑总结

亚里士多德说：“思维是从疑问和惊奇开始的。”常有疑点，常有问题，才常有思考、常有创新。弗赖登塔尔也指出：“反思是数学活动的核心和动力。”数学教学中，如果没有反思、质疑、总结，学生的理解就很难从一个水平上升到更高的水平。因此，在本环节，我首先以问题引领学生的学习：我们是怎么发现乘法分配律的？你有什么收获？还有什么问题？其次，我充分发挥评价的激励性作用，引发学生质疑：有除法分配律吗？两个数的差、三个数的和、四个数的和，甚至更多个数的和乘以一个数，有这样的规律吗？这样可以促进学生深度学习，培养问题意识。同时，还可以促使学生在反思回顾中提炼建模的一般过程——建立模型、解释模型、表述模型和应用模型。最后，我还让学生自己设计一个需要运用乘法分配律解决的问题。

总之，本节课紧扣数学本质，以核心问题和学习单统领“说理”课堂，通过在“计算中感知模型”“在合作中梳理模型”“在解释中表述模型”“在辨析中巩固模型”，凸显意义建构。本课中，学生根据自身的知识经验，分别从问题的实际意义和数学运算的意义两个层面来解释，从中进一步发展演绎推理能力和模型意识，丰富认知，提升数学核心素养。同时，本课注重数学思想方法的渗透，关注学生个性发展，沟通新旧知识的联系，实现了结构化教学。