［摘  要］ 文章首先阐明了类比推理的重要性以及勾股定理的三维推广，根据勾股定理三维推广中蕴含的类比推理，创新地给出以勾股定理的三维推广为主线的类比推理教学设计，为高中数学教师进行核心素养教学提供参考.

［关键词］ 类比推理；勾股定理；三维推广

类比推理的重要性

逻辑推理是高中数学核心素养之一，主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要是演绎. 类比是其中一种重要的推理形式.

类比推理具体的含义是指根据两个（或两类）对象之间的一些属性相同或相似，推测另一些属性亦相同或相似的推理方法.

类比推理对于发现数学事实、发现解题思路、实现数学创造具有重要作用.类比推理能够帮助学生自主构建新知识，快速到达相应知识的目标层次；同时，类比推理可以将碎片化的知识连线成网，使知识之间的内在逻辑关系清晰明了，实现对数学知识的系统化整理.

勾股定理三维推广的解析

立体图形中广泛使用的两点距離公式可以看作是二维勾股定理的两次叠加使用，实现从二维到三维的拓展.同样，空间中的距离问题可以转化为平面的距离问题，实现从平面到立体的拓展. 为此，1981年美国桑托将二维勾股定理推广至三维空间；德加于1783年向巴黎科学院提出了一个称为“德加定理”的勾股定理的推广定理，该定理即为现在熟知的三维面积勾股定理.

（1）勾股定理的推广定理1（记为“定理1”）：

定理1：直角三角形斜边上的一个直边形，其面积等于直角边上两个与之相似的直边形面积之和.

该定理出自欧几里得《几何原本》，这实际上是对勾股定理的一个证明. 虽然该证明只是停留于平面勾股定理，但是为勾股定理的推广提供了思路方法，许多空间勾股定理的来源正是这个推广定理.

（2）勾股定理的空间推广（记为“推论”）：

推论：空间中，以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和.

（3）三维空间的（面积）勾股定理（记为“定理2”）：

定理2：直角四面体的底面面积的平方，等于三个斜面的面积的平方之和.

勾股定理三维推广中的类比推理

？摇 从定理1到推论，其实是将一个直角三角形从二维平面放到三维空间的过程，需要将二维平面中的一些元素与三维空间中的一些元素进行合理类比得到，比如将二维平面中直边形的面积对应到三维空间中，应该是表面积而非体积.

从推论到定理2，是将空间中的直角三角形从一个到多个的变化，需要将三角形的特征与多个三角形组成的四面体的特征进行合理类比得到，比如三角形由三边组成，对应到三个直角三角形面围成的一个封闭立体图形.

勾股定理三维推广中蕴含着丰富的类比推理，对勾股定理的推广研究具有重要价值. 因此当学生学习完空间几何的有关知识后，让其了解勾股定理的三维推广，对培养学生的类比推理能力具有非常良好的效果.

勾股定理三维推广教学设计

本节课内容针对的是高二年级学习完立体几何、空间向量的学生，教材可参考人教版选修2-2的“合情推理”章节.

1. 教学目标

知识与技能目标：了解定理1，理解推论，掌握定理2的具体内容，会简单应用定理2，理解定理2的证明.？摇

过程与方法目标：通过了解数学史中定理1的内容和证明，类比推广得到推论的内容及球体情况的证明，经历从定理1和二维勾股定理的数量关系类比推理德加提出的定理2的过程，提高类比推理能力，体会类比推理思想方法.

情感态度与价值观目标：让学生了解欧几里得和《几何原本》，体会古代数学家的智慧；通过学生自己类比推理得到“德加定理”，让学生领悟数学类比思想的应用，感受数学思想的奇妙；同时，通过从二维平面的推广到三维空间的推广的几何直观，让学生体会数学定理的奇妙和简洁.

2. 教学重难点

重点：类比推理思想方法，两个定理和一个推论的内容.

难点：定理2的应用，以及类比推理的应用.

3. 教学过程

环节1：问题引入

（1）教师活动.

问题1：大家学习过的勾股定理公式是什么？有同学知道哪些古代数学家对勾股定理进行过证明吗？怎么证明的？

教师根据学生的回答，在黑板上写上数学家的名字，并说明证明勾股定理有许多方法.

问题2：同学们知道欧几里得是如何证明勾股定理的吗？

教师展示欧几里得是如何证明勾股定理的，并介绍欧几里得和《几何原本》.

问题3：欧几里得证明勾股定理的方法不是直接得到的，是通过什么间接得到的？能否将这种证明方法归纳为一句话：什么证明什么？

（2）学生活动.

学生思考并回答教师的三个问题，跟随教师的思路，认识欧几里得和《几何原本》，以及欧几里得证明勾股定理的方法，思考问题3并尝试自己写一句话来表达.

设计意图：三个问题启发并引导学生进行思考，在思考中带领学生跟随欧几里得的脚步，从二维勾股定理逐渐推广，为三维勾股定理的引出做铺垫；同时通过问题3归纳欧几里得证明勾股定理的方法的本质，有助于学生理解欧几里得定理的推广. 以欧几里得为主线，让学生了解数学史、体会古代数学家的智慧.

环节2：新知探究

第一部分——定理1：

（1）教师活动.

欧几里得的证明方法的特点是：用面积关系证明勾股定理的数量关系. 根据这两个关系的互相推导，欧几里得在《几何原本》中对勾股定理进行了推广：

定理1：直角三角形斜边上的一个直边形，其面积等于直角边上两个与它相似的直边形面积之和.

教师请学生归纳欧几里得的证明方法的特点，用一句话概括定理1的特征：什么推广什么？（特征：数量关系推广面积关系）？摇

（2）学生活动. 对照教师给出的特征与自己归纳的特征，体会欧几里得的证明方法的本质.

设计意图：通过让学生了解定理1的内容，自主归纳定理1的特征，使学生理解定理1的来源. 同时，让学生自主归纳定理1的特征，为推论的类比推理做好铺垫，让学生初步体会类比推理的过程.

第二部分——推论：

（1）教师活动.

得到定理1的特征后，教师给出符合定理1的一个特例——圆，虽然圆不属于直边形，但定理1依然成立. 教师给出以直角三角形三边长为直径的三个圆，并给出证明过程：

教师提问：“类比欧几里得的推广，将直角三角形放到空间考虑，将定理1中直边形或圆的面积关系推广到空间，那么此时图形的面积关系会变成什么呢？”让学生进行思考并完成下面的填空：

教师巡视并展示填空答案，重点讲解“面积”对应的空格为何是“表面积”而非“体积”；教师讲解“面积”对应“表面积”后，让学生根据这个类比框架，归纳从二维平面推广至三维空间的特征——从面积关系推广至表面积关系，让学生根据定理1的描述和三维空间的推广特征，自主得到推论：

推论：空间中，以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和.

同样仿照定理1中的特殊图形——圆，让学生自主证明推论中多面体变成球的情况，教师展示学生的答案并进行讲解.

（2）学生活动.

首先学习定理1中的特例——圆，理解证明过程. 思考并填空，填空过程中理解类比推理是如何进行的，听完教师讲解填空答案后了解类比推理的概念. 让学生自主思考后写出推论的内容，并根据定理1中圆的证明，类比证明推论中多面体变成球的情况. 在课后思考并写下以直角三角形三边为棱所作正方体表面积的关系的证明，对比它与球的区别.

设计意图：学习定理1的特例和证明，让学生体会定理1的证明思路，为推论的证明做好铺垫. 让学生填空，完成二维到三维的类比过程，填空过程中学习类比推理是怎样进行的，特别是由面积类比到表面积，让学生明白类比推理需要根据特征寻找合适的类比对象，真正理解并掌握类比推理思想方法.

让学生自主得到推论，加深学生对推论的理解和掌握. 同时，通过刚学习的以直角三角形三边为棱所作正方体表面积的关系的类比推理，深刻体会类比推理思想方法.

第三部分——定理2：

（1）教师活动.

教师：“推论从勾股定理出发，将以直角三角形的三边为棱所作多边形的面积关系推广到空间中的表面积关系.勾股定理表述的是直角三角形及其边长的数量关系，它有一个重要元素即直角三角形，立体空间中哪一类立体图形可以作为直角三角形的类比对象？”

教师以引导方式带领学生按照序号，完成下面的填空，让学生找到立体空间中适合作为直角三角形类比对象的立体图形——直角四面体.

在得到直角四面体的特征后，教师让学生类比勾股定理的结构猜想直角四面体的性质：“1783年，一位叫德加的人向巴黎科学院提出了一个定理——‘德加定理’. ‘德加定理’就是大家类比得到的关于直角四面體的勾股定理的推广定理. 大家尝试猜想一下，能否得到300多年前的这个定理呢？”

教师讲解直角四面体的性质，得到定理2，即三维空间的（面积）勾股定理，并用数学语言叙述定理2，给出严谨的板书：

定理2：直角四面体的底面面积的平方，等于三个斜面的面积的平方之和.？摇

（2）学生活动.

大胆猜想直角四面体的性质，抓住勾股定理三边关系的特征，尝试写出直角四面体底面与斜面的面积关系的式子. 理解定理2，在纸上记下定理2的数学语言描述.

设计意图：从另一个角度推广勾股定理，体会勾股定理三维推广的多角度的推广方法，同时自主运用类比推理的思想方法掌握其精髓，体会数学文化中类比思想的奇妙.

提问直角四面体的特征让学生注意到类比过程中寻找合适类比对象的重要性，猜想直角四面体的性质能够激发学生的创造性思维；同时通过介绍发现定理2的历史，让学生带有发现“数学家发现的定理”的一种成就心理. 学生理解定理2后，给出数学语言描述让学生明白数学语言的简洁和严谨.

环节3：新知应用

（1）教师活动.

教师给出以下例题，让学生应用定理2进行解答：已知三棱锥P-ABC的三个侧面互相垂直，它们的三个侧面面积都是2，求P到平面ABC的距离.

（2）学生活动.

？摇思考例题的解答方法，应用定理2自主解答例题.

设计意图：给出例题让学生巩固定理2，同时在学生解题过程中体会类比推理的过程.

环节4：课堂小结

（1）教师活动.

教师总结类比推理的流程：

教师以提问的形式，带领学生回顾从二维勾股定理推广到三维空间（面积）勾股定理的过程，帮助学生巩固、内化三个定理.

（2）学生活动.

根据流程图回顾类比推理的过程，同时根据教师的提问思考和回忆勾股定理三维空间的推广过程.

设计意图：通过课堂小结让学生回顾整个推广过程以及类比推理的过程，让学生更深刻地理解类比推理的含义、流程.

总结

“如何在课堂教学中培养核心素养”，一直是高中数学教学一个热议的话题，勾股定理的三维推广虽不属于最新版教材教学内容范围，但二维平面的勾股定理是学生非常熟悉的内容，从二维到三维的推广是类比推理思想非常明显的一个过程，因此当学生高二年级学习完空间立体几何后，教师进行勾股定理三维推广教学，能够帮助学生体悟类比推理思想方法，对于培养学生逻辑推理素养具有重要意义.

作者简介：黄雅萱（2000—），本科学历，研究方向：数学与应用数学（师范）.