缝合式夹芯结构宽频动力学响应特性研究

2022-11-21马文漪李彦斌程危危

振动与冲击 2022年21期

马文漪，陈强，李彦斌，程危危

(1.东南大学机械工程学院，南京 211189； 2.江苏省空天机械装备工程研究中心，南京 211189；3.北京空天技术研究所，北京 100074)

高速飞行器在服役过程中面临着复杂严酷的气动载荷环境，其中气动噪声激励的声压级可达165 dB以上，频率范围覆盖10～10 000 Hz，宽频高强的载荷环境对飞行器结构的完整性和可靠性提出了严峻挑战[1-2]。缝合式夹芯结构作为一种新型结构-功能一体化结构，近年来被广泛应用于航空航天领域中。该结构是一种由陶瓷基复合材料承载面板、气凝胶芯层和穿刺增强缝线组成的复合材料夹层结构，具有层间性能好、比刚度/强度高等优异力学性能。准确预示宽频高强载荷环境下缝合式夹芯结构的动力学响应是探究结构脱层破坏、疲劳损伤的重要基础[3-5]，其宽频动力学特性分析是飞行器结构设计的关键。

宽频载荷下缝合式夹芯结构在不同频率范围内呈现出差异化动力学响应特性，因此现有研究大多将结构宽频动力学特性分析问题划分为低频、中频、高频3个频段开展，不同的分析频段采用不同分析理论和预示方法[6]。结构低频段的模态稀疏，通常用振幅与相位表征并采用有限元法(finite element method, FEM)等离散化方法分析，但是对于宽频问题，由于FEM模型应满足每波长内最少6个单元，而高频段结构振动波长很小，需要划分非常细密的网格，导致计算成本骤增。结构高频段模态密集，通常用统计意义上的振动能量表征并采用统计能量分析为代表的能量化方法分析[7-8]，但此类统计学方法难以获取结构的局部动力学响应，无法满足缝合式夹芯结构宽频动力学响应需求。中频分析通常结合离散化方法和能量法特点，如有限元-统计能量分析[9-11]等，但这些方法大多存在分析流程复杂、仅适用于单一结构等问题。综上分析，由于缝合式夹芯结构服役的动力学环境覆盖宽频段范围，而传统振动响应分析方法不仅计算成本高、普适性较差，且难以实现中高频段局部响应精确预示，成为限制缝合式夹芯结构宽频动力学响应特性分析的瓶颈。因此，亟需发展适用于缝合式夹芯结构的高效统一宽频动力学响应分析方法。

为解决缝合式夹芯结构宽频动力学响应分析精度及效率问题，可从波传导和衰减的角度解析结构的振动特性，采用波的叠加来表征结构动力学响应。波传播法即从结构波的角度解析结构振动特性及结构动力学响应，具有较高的计算效率。但复杂结构的频散方程通常是超越的，因其难以求解而限制了波传播法在复杂结构中的应用。Mace等[12-13]将动态刚度法、传递矩阵法等方法结合，提出了波有限元法(wave finite element method，WFEM)并实现了简单波导结构动力学响应的高效准确预示。Droz等[14]研究了动态刚度矩阵惯性截断项及其约简基原则，Ichchou等[15]解决了求解过程中频率混叠效应问题，保证了WFEM计算稳定性和分析精度。WFEM已被应用于薄壁结构[16]、夹层复合结构[17]等结构动力学响应预示。波有限元理论兼具波传播法的高效准确性和有限元法的普适性，为具有典型的周期性几何特征的缝合式夹芯结构的低、中、高频段动力学响应高效统一预示提供了有效途径。

本文针对缝合式夹芯结构推导了基于波有限元的宽频动力学响应预示方法并系统开展其宽频动力学响应特性研究。首先，分析缝合式夹芯结构中自由波传播的频散特性，根据波模对偶原则识别不同频段内各类型波，评估其对结构振动响应的贡献情况，通过波域到物理域的转化，预示结构宽频动力学响应。进而，探讨缝合密度、夹芯层厚度等结构设计参数对其宽频动力学响应特性的影响规律，以期为缝合式夹芯结构的结构设计提供参考，并为复杂周期性结构宽频动力学响应特性系统分析提供思路。

1 缝合式夹芯结构宽频动力学响应预示方法

1.1 缝合式夹芯结构波传递原理

典型缝合式夹芯结构模型如图1所示，主要由上面板、夹芯层、下面板及缝合线组成。面板和芯层通过缝合线在厚度方向上以“几”字型缝合方式结合为一体，整体呈现出周期性的宏观几何特征。

图1 缝合式夹芯结构示意图Fig.1 Illustration of the stitched sandwich structure

为准确描述缝合式夹芯结构波传递规律，基于波有限元理论采用有限元模型描述结构胞元并结合波传播理论获取结构传递矩阵。首先，选取包含单个或多个“几”字缝合周期的夹芯结构特征胞元进行有限元建模，提取其刚度、阻尼及质量矩阵。然后，基于波在周期性结构中的传播特性，采用波导胞元动态刚度矩阵元素构建传递矩阵。

假定选取缝合式夹芯结构特征胞元长度为Δe，此时该部分的运动方程为

(1)

将缝合式夹芯结构单胞动态刚度矩阵包含自由度按胞元结构分解为左截面、右截面和内部自由度三部分，如图2所示。通过矩阵变换和动力缩聚消除内部自由度后得到的矩阵方程为

图2 结构各胞元传递关系Fig.2 Transfer relationship of each structural cell

(2)

式中,下标L和R分别为缝合式夹芯结构特征胞元的左右两侧截面。

对于周期性缝合结构而言，假设自由波传播过程中胞元n右截面和胞元n+1左截面间没有外力作用，其胞元n右截面和胞元n+1的左截面之间存在位移连续和力平衡关系，即

(3)

利用Flioquet定理，引入传递矩阵T将横截面n和n+1中的位移和力连接为[12]

(4)

由式(2)～式(4)可构建缝合式夹芯结构动态传递矩阵为

(5)

传递矩阵T为辛矩阵，其2N个特征值总是成对存在为λ和1/λ，分别对应正负向传播波的波基

ΨiTφj=λjΨiφj=λiΨiφj

(6)

且其存在正交关系为

Ψiφj=1

(7)

式中：Ψi和φj分别对应左右特征向量;λi和λj分别对应左右特征值。

1.2 自由波传播特性分析

基于缝合式夹芯结构特征胞元构建的传递矩阵，可将其内部自由波的传播用特征问题来描述，即有

(8)

式中,传递矩阵特征值λi=e-jkiΔe为某一波在其胞元长度方向的衰减及相位改变，ki为第i个波的波数。在无阻尼情况下，有T∈C2N×2N，此时波数k是纯实数或纯虚数，分别对应传播波或倏逝波；在有阻尼情况下，有T∈R2N×2N，此时特征值λ及波数k是复数，对应衰减波。

需注意的是对于具有大量自由度的二维横截面，直接使用式(8)求解时可能会由于传递矩阵的病态导致结果出现较大误差。为改善特征值的求解问题，可通过调整运算格式及矩阵条件数将特征问题写为[18]

(9)

通过求解不同频率对应特征值问题，可获得若干特征向量离散点。为呈现相同波形在不同频率下的演化规律，需基于模态置信准则(modal assurance criterion，MAC)将具有相似波形的点连接为同一曲线。MAC准则表达式为

(10)

通过波模对偶原则获取不同曲线对应缝合式夹芯结构特征波形，结合频散曲线评估各波形对结构振动响应贡献。

1.3 宽频动力学响应预示

波传播理论中由结构中自由波在波域的传播及变换分析确定振幅，然后转换回物理域获取振动响应。对于总长度为L的结构，设定计算响应和施加激励的位置分别为xe和xr。假设在激励点两侧传播波的振幅分别为a+和g-，无限波导的直接激发波的振幅为e±。由波传播特性如图3所示可知

图3 波振幅传递关系示意图Fig.3 Illustration of transfer relationships for wave amplitudes

(11)

首先，将物理域中的外力分解为波域，当外力施加于无限波导时，由位移和力平衡的连续性可导出其直接激发波振幅值为

(12)

为避免矩阵求逆产生的数值问题，可利用传递矩阵左右特征向量的正交性将等式改写为

(13)

即有

(14)

针对缝合式夹芯结构，直接激发波沿胞元传播并在到达结构不连续位置或边界处时发生反射。因此，考虑缝合式夹芯结构边界约束，波变化用反射系数矩阵R来表示

a-=Ra+

(15)

结合传递矩阵和反射系数矩阵，可将a±表示为

(16)

式中传播矩阵表示为

τ(l)=diag(e-jk1l,e-jk2l,…,e-jknl)

(17)

进而可由波传播矩阵描述缝合式夹芯结构任意位置处波的幅值为

(18)

则向物理域转化可得到结构任意一点处的响应值为

(19)

在实际应用中，由于快速衰减的波对缝合式夹芯结构整体响应影响极小，分析计算时通常保留|Re(k)|或|Im(k)|较小的前m阶波，即取

1/λCR≤|λ|≤λCR

(20)

式中,λCR为保留波的最大和最小传播常数的控制因子。

2 方法验证

为验证基于波有限元的宽频动力学响应预示方法的准确性，研究人员多采用典型梁、板等存在解析解的简单结构验证数值分析方法[19-21]。因此本章选用两端简支的梁结构开展动力学响应特性分析方法研究。首先对一个两端简支的梁结构开展宽频动力学响应分析，其杨氏模量为2×1011Pa，密度为7 800 kg/m3。结构总长度L=0.6 m，截面惯性矩I=8.33×10-10m4，截面积S=10-4m2。将结构沿波传播方向分成N=50个胞元，利用有限元理论获取胞元的刚度矩阵、质量矩阵等参数。当结构在其xe=3/5L位置处受到幅值为10 N的简谐激励F作用时，结构受力情况如图4所示。

图4 两端简支欧拉-伯努利梁Fig.4 A simply-supported Euler-Bernoulli beam

将基于波有限元的动力学响应预示结果与解析法[22]及全尺寸结构有限元法计算结果进行对比。图5为基于不同方法获取的结构在xr1=xe=3/5L处及xr2=4/5L处在10～10 000 Hz内的位移响应。

(a) xr1=3/5L

(b) xr2=4/5L图5 宽频振动位移响应Fig.5 Broadband dynamic vibration displacement response

由图5可知：基于波有限元理论的预示结果与解析法结果基本一致，说明其在宽频段具有较高的计算精度。而有限元法在3 000 Hz以上频段出现明显误差，且随频率升高误差效应愈加明显。同时，本文方法和有限元法的计算时间分别为4.51 s和204.55 s，说明波有限元有极高的计算效率。综上，在分析结构宽频动力学问题时，基于波有限元的预示方法在计算精度和分析效率上具有较大优势。

3 缝合式夹芯结构宽频动力学响应特性分析

3.1 研究对象

本文研究对象缝合式夹芯结构几何尺寸为300 mm×60 mm×8 mm，上面板、夹芯层和下面板的厚度分别为1 mm,5 mm和2 mm，采用直径为1 mm的高强纤维材料在厚度方向上将面板和芯层缝合。

在建立缝合式夹芯结构分析模型时，应注意选择满足周期性条件的胞元尺寸并建立其有限元模型。基于修正的Reissner夹层板理论，在建立有限元模型时，上下面板和芯层可采用六面体单元建模。而缝线横向拉压模量很低，可假设其不受横向应力，故采用杆单元对缝线建模。本研究分析最高频率为10 000 Hz，划分网格单元尺寸2.5 mm×2.5 mm×δ，其中δ为厚度方向尺寸。缝线在树脂固化之后形成承力柱，采用杆单元对其建模。工程应用中缝合式夹芯板一般黏结在金属承力板上表面使用，因此仿真分析时建立尺寸为300 mm×70 mm×2 mm的承力板模型以模拟其实际力学环境。

缝合式夹芯结构特征胞元及其结构波传递关系如图6所示。其各部分材料属性如表1和表2所示。

图6 缝合式夹芯结构胞元的传递关系Fig.6 The transfer relationship of the stitched sandwich structure cell

表1 面板及芯层材料属性Tab.1 Material properties of skin and core

表2 缝线及主承力板材料属性Tab.2 Material properties of stitches and load-bearing plate

3.2 缝合式夹芯结构的波传播特性分析

首先，对缝合式夹芯结构在10～10 000 Hz内沿长度方向自由波传播频散关系进行分析，并根据模态置信准则识别出结构部分主要作用波基，其对应频散曲线如图7所示。

(a)

(b)

图7 主要作用波基频散曲线及典型波形图Fig.7 Dispersion curves and wave shapes of main acting waves

分析图7所示的结构频散曲线可知：

(1) 波1、波3、波4、波5、波6在10～10 000 Hz内均为传播波，会对分析频段内的结构响应产生影响。

(2) 波2、波4、波8分别在2 440 Hz,6 280 Hz和2 780 Hz时由倏逝波转变为传播波，即此类波在变性结点前以近场波形式作用于结构局部位置，因此一般对边界或不连续位置影响较大；而从波数实部大于零的频率位置处到分析截止频率处会以全局形式参与并传递源振动，对结构整体响应产生影响。

(3) 代表波7和波9的两条频散曲线从2 600 Hz频率点位置发生分岔现象，并在高于此频率范围分别以传播和耗散两种形式对结构响应产生贡献。

(4) 波4与波11在260～660 Hz内存在频段合并及分离现象。这是由于两种变形间存在耦合效应，波在分岔区域周围波形相似，而在重合前后频段内又各自保留不同特征波形。即分别在结构上进行传递或衰弱，产生如波9在9 580 Hz时的性质转换或波11在1 840 Hz后持续衰弱至影响可忽略。

综上，在10～2 600 Hz内结构全局振动响应主要由波1、波3、波5、波6决定；在2 600～6 300 Hz内波1～波8对应典型波形均对该结构振动形态产生贡献；在9 600 Hz以上频段，波9开始影响结构整体振动响应；同时波2、波4、波8分别在其远、近场波特性转化以下范围以衰减形式作用，主要对结构边界或激励等奇异点位置产生小范围影响。

然后，通过波模匹配原则得到结构各类型波对应特征波形，以波1及波2为例列出不同频率对应波形如图7(c)～图7(h)所示。波1为沿结构长度方向的传播波，其在80 Hz,580 Hz和1 300 Hz频率时分别对应图7(c)、图7(d)、图7(e)所示阶次递增的变形，主要使结构产生沿其厚度方向的位移。波2同样贡献于结构厚度方向的振动，但其在6 200 Hz前出现如图7(f)所示的典型倏逝波波形，仅在单侧边界约束位置附近发生传播和反射并迅速衰减，因此在小于6 200 Hz频段内未对结构全局振动定位或变形产生显著影响。

在10～10 000 Hz内上述频散曲线中影响全局振动响应的典型远场传播波将对结构振动定位及受迫变形起主要贡献，以上类型的波在3 000 Hz时引起的双胞元变形情况如图8所示，坐标x,y,z轴分别对应缝合式夹芯结构宽度、长度及厚度方向。其中，波1为沿长度方向传播的弯曲波，其引发振动方向垂直于波传播方向并平行于结构厚度方向。波2和4为弯扭耦合波，同时对沿xz平面的弯曲变形和绕y轴的扭转变形产生贡献。波3为引起绕y轴变形的典型扭转波，在不同频段内将致使结构产生各阶扭转形态。波5与波1作用形式相近，二者均引发与波的传播方向垂直的变形，但其作用于整体结构的弯曲方向为沿x轴方向，其产生整体波形为平行于各缝合层的多阶弯曲变形。波6和波8为贡献于结构长度方向振动的纵波。波7为弯扭耦合波，同时引起沿x方向的弯曲变形和绕z轴的扭转变形。

图8 典型传播波引起的双胞元变形Fig.8 Deformed shapes of two cells due to typical propagating waves

3.3 缝合式夹芯结构的宽频动力学响应预示

针对如图1所示的缝合式复合材料夹芯结构开展研究，将结构两端固支，在上面板3/5长度位置设置幅值为10 N的简谐激励。不同频率点对应特征值数值范围及分布基本一致，以2 000 Hz为例，其特征值分布规律如图9所示。通过控制阈值方式来研究波基数与有效分析频率的关系。

图9 特征值数值统计直方图Fig.9 Histogram of numerical statistics of eigenvalues

针对本研究分析模型选取截断系数为1×103,1×104,1×106,1×107,1×109，分别计算结构上面板中心位置初在10～10 000 Hz内的位移响应，结果如图10所示。

图10 不同波基阈值对应的结构振动响应Fig.10 Comparison of vibration response obtained by different wavemode threshold

当设置λCR为1×103和1×104时，与算例中保留最大波基数结果相比，频响函数曲线分别在3 870 Hz和5 380 Hz频率点附近开始产生误差，响应曲线峰值点位置逐渐发生左偏，误差随频率增大而愈加显著；且在6 000～10 000 Hz内二者响应峰值点弱化，出现类似阻尼增大能量损耗增加的现象。设置λCR为1×106,1×107及1×109时，在10～10 000 Hz内求得响应峰值点位置对应频率基本一致且稳定。综合分析精度及计算稳定性因素，后续研究均采用截断系数为1×107进行结构振动响应计算。

3.4 结构参数对宽频动力学响应特性的影响研究

3.4.1 缝合密度的影响

为研究缝合密度对缝合式复合材料结构宽频动力学响应特性的影响，采用本文方法分别开展不同缝合参数夹芯结构的宽频动力学响应分析。缝合密度采用缝合步长来表征，即“针距×行距”。首先，在其他结构参数保持一致的情况下，对比无缝线及缝合密度为5 mm×5 mm的缝合式夹芯板上面板及主承力板中心点处位移响应如图11所示。图11所示的计算结果表明：相比于无缝线夹层结构，缝合式夹芯结构的宽频响应幅值及受激励模态密度显著降低，上面板与主承力板响应趋于一致。这表明缝线的存在使得结构上下面板与夹芯层的整体性显著提高。同时，缝线对上面板动力学响应的抑制效果强于对主承力板的动响应的抑制。这主要是由于上面板刚度比较小，缝线的刚度对其影响较大，而主承力板的刚度较大，缝线的刚度对其影响较小。缝线对缝合式夹芯结构约束性作用主要体现在3 500 Hz以上的中高频段范围，对低频响应的影响相对较小。

(a) 上面板中心点响应

(b) 主承力板中心点响应图11 缝线对结构振动响应的影响分析Fig.11 Comparison of vibration response obtained by typical sandwich structure and stitched sandwich structure

进而，对比缝合密度分别为10 mm×10 mm、5 mm×5 mm和2.5 mm×2.5 mm的缝合式夹芯结构，其上面板中心点处位移响应如图12所示。

图12 不同缝合密度结构振动响应对比Fig.12 Comparison of vibration response obtained by different stitch densities

分析图12可知：随着缝合式夹芯结构缝合步长的增大，上面板中心位置位移响应峰值向高频移动。这主要是因为缝合密度的增加导致结构整体刚度和质量增大，二者作用相互制约并引起缝合板固有频率变化。随着缝合密度增加，6 000～10 000 Hz模态密度显著降低。这表明缝线能够约束局部模态，提高缝合板结构的整体性；在缝合步长为2.5～10.0 mm内，缝线约束效果与其密度成正相关。

3.4.2 夹芯层厚度的影响

为研究缝合密度对缝合式复合材料结构宽频动力学响应特性的影响，采用本文方法分别开展4种不同夹芯层厚度缝合式结构的宽频动力学响应分析。夹芯层厚度分别设置为5 mm,8 mm,12 mm及18 mm，缝合密度均为5 mm×5 mm，得到上面板中心点处位移响应如图13所示。

(a)

(b)

(c)

(d)图13 不同夹芯层厚度结构振动响应对比Fig.13 Comparison of vibration response obtained by different thicknesses of the core layer

分析图13可知，随着缝合式夹芯结构芯层厚度的增加，结构宽频位移响应的幅值变化较小；结构位移响应峰值点对应频率向低频转移，且从低频到高频区域变化幅度逐渐增大。这是由于芯层自身刚度较小，其厚度变化对缝合板结构整体刚度影响不大，因此结构位移响应幅值基本处于同一数量级；芯层厚度变化不会改变结构沿其宽度及长度方向的几何形态，因此在起主要贡献的振动波一致，全局位移响应形式基本不变；由于缝合板芯层增厚结构质量大幅度增加，而结构整体刚度变化较小，因此结构易激励频率发生左移，且与低频相比高频段范围因累积效应敏感性提升。

同时，芯层厚度大于8 mm的缝合式夹芯结构在不同频段出现“密频”现象，且出现位置随厚度的增加而向低频处移动。这是芯层刚度远小于上下面板刚度，缝线通过面板对其振动进行约束，而约束效果在部分模态频率处发生失稳使得芯层与面板交接处产生局部变形，进而使得局部模态随结构整体模态向低频移动。因此，夹芯层厚度增加减弱缝线对上下面板及夹芯层的约束效果。