黄江博， 廖明夫， 程荣辉, 古远兴, 李 明

(1.西北工业大学 动力与能源学院，西安 200240；2.中国航空发动机集团 沈阳发动机设计研究所，沈阳 110015;3.中国航空发动机集团 中国燃气涡轮研究院，成都 610500)

涡喷与涡扇航空发动机普遍采用双转子结构。随着性能和推重比不断提升，发动机工作范围内存在若干阶转子系统振动模态，转子系统会频繁穿越多阶临界转速，甚至会在临界转速位置或邻域持续运行。这就要求发动机双转子系统的动力学设计从“避开共振”向“容忍共振”发展。为此，文献[1]对单转子系统，提出了“可容模态”设计理论，即如何保证转子能够“容忍共振”的设计理论。

双转子系统的动力学特性是转子系统“可容模态”设计的基础。在双转子系统建模方面，国内外学者也展开了一系列研究，具有重要的参考价值。陈果[2]利用有限元方法针对实际的双转子航空发动机,建立了航空发动机双转子-支承-机匣耦合动力学模型，采用数值积分分析动力学模型的非线性振动响应。廖明夫等[3-5]建立了考虑陀螺力矩以及中介轴承刚度的双转子模型，运用解析方法分析双转子的振动特性，并分析了转速比和相对旋转方向对双转子系统动力学特性的影响规律。张大义等[6]考虑转、静子之间的耦合机理，建立了整机动力学模型，并通过数值模拟分析了双转子涡扇发动机的动力学特性。路振勇等[7-8]建立了复杂离散动力学模型,对该模型进行结构降维,得到了两种简化动力学模型，通过对比临界转速和固有振动特性验证了缩减模型的准确性。高朋等[9]针对航空发动机双转子-中介轴承系统建立了简化动力学模型，考虑了中介轴承分数指数非线性、径向游隙和参数激励等因素，研究了中介轴承的本质非线性特性对双转子系统非线性振动特性的影响。李岩等[10]建立了考虑中介轴承的双转子动力学模型，推导了双转子发生“临界跟随”现象时参数之间的关系，分析了“临界跟随”状态下转子系统的动力学特性。Gupta等[11]应用传递矩阵法研究了支承刚度，转速比等参数对双转子系统动力学响应的影响。Hou等[12]提出了谐波平衡-交替频/时域方法来对双转子系统复杂激励下的共振进行分析，将获得的结果与直接数值模拟结果进行比较，显示出很好的一致性。Wang等[13]结合有限元法和固定接口模态综合法，考虑到挤压膜阻尼器和中间轴承的非线性力，研究并比较了在多个不平衡力作用下，同向和反向旋转转子系统的非线性动力响应特性。Wang等[14-15]利用ANSYS有限元商用软件和固定界面模态综合法对双转子系统建模进行了应用研究，不过在文中并未严格证明双转子系统的模态正交性。顾家柳[16]求解了柔性单转子系统的主振型函数，并证明了主振型函数之间的正交性，为模态动平衡奠定了基础。杨淋智[17]证明了航空发动机双转子系统模态正交性，得出在转速比恒定时双转子系统模态满足正交性的结论，但并未有数值结果进行验证。

双转子系统在运转时由于是双频激励(激励频率不同，比值则为转速比)，即高压激励与低压激励，由此在各自的激振频率上所产生的模态则称之为高压激励模态与低压激励模态。这两组模态的正交性是双转子系统动力学特性的核心要素，也是双转子系统响应分析、故障诊断和动平衡的理论基础。关于双转子系统模态正交性以及响应的模态分解理论，目前鲜见文献报道。

为此，本文以一离散双转子模型为对象，分析双转子系统模态的正交性。所取的模型包含了发动机双转子系统的典型结构，例如分叉结构和中介支承结构。利用复模态分析方法，本文证明了，当高压转速和低压转速之比恒定时，低压转子主激励的模态组是正交的，高压转子主激励的模态组也是正交的。但当转速比变化时，两组模态都不正交。即使转速比恒定，低压激励的模态组与高压激励的模态组之间不存在正交性。另外，双转子系统对低压转子不平衡的响应，可按照低压转子激励的模态分解；对高压转子不平衡的响应，可按高压激励的模态分解。经过模态分解，可得到不平衡响应的统一表达式。结果表明，低压转子激励的模态组与高压转子激励的模态组关于不平衡响应是正交的。从理论上给出了证明，双转子系统低压转子激励下的模态振动，只需对低压转子进行动平衡即可消除；高压转子激励下的模态振动，只需对高压转子进行动平衡即可控制。双转子的模态正交性理论为双转子模态动平衡奠定了基础，有助于模态动平衡的工况选取，以及后续延伸的双转子不平衡响应求解，对于双转子设计初期的动力学特性计算有重要意义。

1 双转子系统模态正交性

航空发动机双转子系统比单转子系统复杂得多，存在较多特殊结构，包括分叉结构和中介支承等，并且高、低压转子转速不同，转动方向也可能不同，不能再简单地等同单转子系统。因此，需从理论上证明双转子系统的模态正交性，并建立模态正交的条件。这是双转子系统动力学设计和模态动平衡的基础。

1.1 双转子运动方程与高、低压转子激励下的模态

利用有限元法对双转子系统进行离散化后，其稳态运动方程如下

(1)

式中:下标“L”为与低压转子相关的量；下标“h”为与高压转子相关的量;M,C分别为转子系统的质量和阻尼矩阵;K为转子系统刚度矩阵，包含了分叉结构和中介轴承的刚度；ΩL和Ωh分别为低压转子和高压转子的转速;q为转子系统的广义位移向量;GL为低压转子系统陀螺力矩矩阵;Gh为高压转子系统陀螺力矩矩阵;Q为作用在转子上的激振力。忽略阻尼和方程右端激振力项，可以得到如下的齐次方程，用以确定双转子系统的模态。

(2)

双转子航空发动机转速有两种控制模式。一种是，根据给定的高、低压转子转速控制律，在运行过程中，控制高、低压转子中一个转子的转速，而另一个转子的转速沿共同工作线随动;另一种模式为双参数控制，即通过调节燃油和尾喷管，依据高、低压转子转速控制律，同时控制高压转子与低压转子的转速。正在研制的变循环发动机以及未来的自适应双转子航空发动机，高、低压转速控制的灵活性和独立性会大幅增高。高、低压转子的转速不同，因而高、低压转子激振频率也不相同。在双转子航空发动机运行过程中，高压转子与低压转子都能激起整个转子系统的共振，共振时的转速都是转子系统的临界转速。当低压转子为主激励源时，低压转子正同步进动，即自转与公转同步，此时，若高、低压转子同转，则高压转子作非同步正进动，若反转则作非同步反进动。若高压转子为主激励源时，有对应的结果。

因此，双转子系统的模态按照主激励源频率的不同分为两种：一种由低压转子激振频率所激起，称为低压转子激励下的模态(low pressure rotor excitation,LPE)。此时，低压转速为公转转速；另一种由高压转子激振频率激起，称为高压转子激励下的模态(high pressure rotor excitation,HPE)。这时，高压转速为公转转速。当计算双转子模态时，需要先设定作为主激励的转速，然后根据转速比，确定另一个转速，利用方程式(2)所对应的特征方程，求解临界转速和振型。最终可以得到双转子临界转速图谱。图1给出了一个双转子临界转速图谱示例。其中，线a,b,c,d,e为实际共同工作转速线，与各阶激励转速线的交点即为转子各阶临界转速，a,b和d为高压激励下的临界转速(HPE)，c和e为低压激励临界转速(LPE)，各个交点对应的特征向量子向量即为双转子系统的振型向量。

图1 双转子临界转速图谱Fig.1 Map of critical speed for dual-rotor system

为进一步揭示双转子系统的动力学特性，需要证明：

(1) 高压转子激励的模态之间是否是正交的。例如图1中，a,b和d高压激励下的临界转速所对应的振型相互是否正交。

(2) 低压转子激励的模态之间是否也是正交的。例如图1中，c和e低压激励下的临界转速所对应的振型相互是否也正交。

(3) 高压转子激励的模态与低压转子激励的模态之间是否正交。即a,b和d点所对应的振型与c和e所对应的振型是否正交。

(4) 双转子系统的不平衡响应是否可按照模态分解和展开。

如果得到正交条件，一是可建立双转子不平衡响应的模态分解方法;二是可建立双转子模态动平衡方法。因此，揭示双转子系统模态正交性意义重大。

1.2 航空发动机双转子系统矩阵的共轭对称性

为证明航空发动机转子系统模态的正交性，须先讨论如方程式(2)所含的转子系统矩阵的共轭对称性。

对于双转子系统中的低压转子和高压转子的主干结构，其质量矩阵、陀螺效应矩阵和刚度矩阵均是共轭对称的。但需要特别证明的是双转子系统中两种特殊结构参数矩阵的共轭对称性：一是分叉结构；二是中介支承。

1.2.1 分叉结构

分叉结构在航空发动机双转子系统中比较常见，与传统直线的链式结构不同，图2表示了典型的分叉结构简图，(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)表示3个轴段，a,b,c,o表示4个节点。o点为3个轴段的交点，即分叉点。

图2 典型的分叉结构Fig.2 Typical furcated structure

根据分叉结构的位移协调条件和力平衡条件，可以推导出分叉结构的运动方程如下

(3)

式中,下标“br”为分叉结构单元；

利用有限元法进行转子的动力学分析时，分叉结构的运动方程不变，只需要在组装系统质量、陀螺、刚度矩阵时，按照方程式(2)各矩阵的组合形式进行组装即可。由式(3)可见，分叉结构的质量矩阵、陀螺效应矩阵和刚度矩阵均为共轭对称矩阵。

1.2.2 中介支承

为提高推重比，在双转子发动机中，常将高压转子的后支点设计成中介支承。假设中介支承具有线性刚度，其运动方程为

-Kinqin=Qin_ex

(4)

式中:下标“in”为中介支承元素；Kin为中介支承总刚度矩阵；Qin_ex为中介支承处所受外力。

双转子中介支承耦合结构的受力如图3所示。

图3 双转子中介支承耦合受力分析Fig.3 Inter-shaft bearing coupling force analysis of dual-rotor

图3中:(1)为低压转子;(2)为高压转子，i和k分别为中介轴承在低压转子和高压转子上的节点编号。在组成系统运动方程时，低、高压转子在中介轴承处所受左、右两端剪力Qi,L,Qi,R和Qk,L,Qk,R与相邻轴段的剪力相平衡;sin为中介轴承的刚度矩阵，Qi_ex和Qk_ex为高压转子和低压转子之间的相互作用力，它们满足Qi_ex+Qk_ex=0。由于在建立系统运动方程时，高、低压转子在中介轴承处的节点不相邻，故不能相互抵消，而应该分别按外力计算。Qi_ex可表示为

(5)

其中

由此可以得到

(6)

由于高、低压转子在中介轴承处的节点不相邻，将式(6)代入式(4)可以得到中介轴承总刚度矩阵Kin为

2i-1 2i2k-1 2k

(7)

式中，2i-1,2i,2k-1,2k均为Kin在转子系统刚度矩阵K中的位置。

由式(7)可以看出，考虑中介支承后转子系统刚度矩阵仍然为共轭对称矩阵。

1.3 双转子系统模态的正交性推导

根据1.1节的讨论，双转子系统在特定转速比(a=Ωh/ΩL，a≠0)下，转子系统存在来自高、低压转子不同激励的临界转速和振型。下面针对不同的激励方式，讨论双转子系统的模态正交性。在此，首先引入模态广义正交性的概念。所谓模态广义正交性是指，模态之间的正交性与转子转速无关。对于双转子系统，模态广义正交性是指，模态之间的正交性与转子转速以及转速比无关。

1.3.1 低压激励下双转子系统模态的正交性

(1) 转速比a=Ωh/ΩL恒定

低压转子为主激励源时，转子公转转速为低压转子转速，ΩL=ωL，Ωh=aωL。把第Li阶模态对应的解ωLi和qLi代入式(2)，约去时间项后得到

(8)

对于第Lk阶模态(ωLi≠ωLk)对应的解，同样有

(9)

(10)

(11)

由1.2节知，双转子系统惯量矩阵和刚度矩阵皆为共轭对称阵，则以下两式成立

(12)

式中，上标“H”为复共轭转置运算。对式(11)两边进行复共轭转置运算，并考虑式(12)的关系，可得

(13)

将式(13)与式(10)相减，可得

(14)

其中

(15)

式(15)为双转子系统低压转子主激励时的模态正交条件。由于存在陀螺力矩效应，振型向量为复向量。因此，不同阶的振型向量关于惯量矩阵和刚度矩阵复共轭广义正交。

特别值得注意的是，惯量矩阵中包含转速比a。a发生变化，模态也随之改变。在上述的推导中，假设a为常数。在这种情况下，所有低压转子激励的模态相互之间都是广义正交的，即对于振型向量qi和qk(i=1,2,…,N;k=1,2,…,N)，式(15)均成立。对于对转双转子，转速比a取负值，式(15)仍然成立。

当Li=Lk时，式(15)为

(16)

MLi为低压转子激励下的第Li阶模态质量。

(17)

KLi为低压转子激励下的第Li阶模态刚度。

低压转子激励下的第Li阶临界转速为

(18)

(2) 转速比a=Ωh/ΩL变化

当转速比a变化时，式(15)不再对所有低压转子激励的模态都成立。不妨取表1所列的转速和转速比，aLi和aLk(i=1,2,…,N；k=1,2,…,N)。

表1 低压转子激励下不同模态所对应的转速和转速比Tab.1 Critical speed and ratio of different modes under low pressure rotor excitation

第Li阶模态方程为

(19)

式中，参数和变量的定义与式(8)相同。对应低压转子激励下的第Li阶模态，转速比a=aLi。

对于第Lk阶模态(ωLi≠ωLk)，同样有

(20)

式中，对应低压转子激励下的第Lk阶模态，转速比a=aLk。

(21)

(22)

同样由于惯量矩阵和刚度矩阵的共轭对称性，有以下两式成立

(23)

对式(22)两边进行复共轭转置运算，并考虑式(23)的关系，得到

(24)

将式(24)与式(21)相减，可得

(25)

显见，当转速比aLi=aLk=a时，式(22)与式(15)相同。在式(25)中，当转速比a变化时，惯量矩阵中包含了临界转速ωLi和ωLk，以及对应的转速比aLi和aLk。这表明，式(25)仅对第Li阶模态和第Lk阶模态成立。除此之外的任一阶模态，例如，第Lh阶模态，与第Li阶模态，或与第Lk阶模态，则不会关于相同的惯量矩阵广义正交。由此可见，当转速比a变化时，低压转子激励下的模态之间不存在广义正交性。

1.3.2 高压激励下双转子系统模态的正交性

在高压转子主激励时，转子公转转速为高压转子转速，Ωh=ωh，ΩL=ωh/a(a≠0)。表2列出高压转子激励下不同模态所对应的转速和转速比ahi和ahk(i=1,2,…,N；k=1,2,…,N)。

表2 高压转子激励下不同模态所对应的转速和转速比Tab.2 Critical speed and ratio of different modes under high pressure rotor excitation

同式(8)和式(9)类似，第hi阶和第hk阶模态须分别满足如下的方程

(26)

(27)

(28)

(29)

同样，根据双转子系统惯量矩阵和刚度矩阵的共轭对称性，最后得到

(30)

式(30)即为双转子系统高压转子激励下的模态正交条件。与低压转子激励下的模态正交条件式(25)相比，系统惯量矩阵发生了变化。低压转子主激励时，转速比a的影响出现在高压转子惯量矩阵中；而高压转子主激励时，转速比a的影响出现在低压转子惯量矩阵中。这体现出双转子系统的惯性耦合特征。

式(30)表明，双转子系统高压激励模态的正交性同样与临界转速ωhi和ωhk，以及对应的转速比ahi和ahk有关。当转速比变化时，双转子系统的振型和临界转速会发生变化。第hi阶模态和第hk阶模态关于式(30)中的惯量矩阵正交，但除此之外的任一阶模态，例如，第hn阶模态，与第hi阶模态，或与第hk阶模态，则不会关于相同的惯量矩阵广义正交，即高压转子激励下的所有模态不会全部相互广义正交。

当转速比恒定时，即ahi=ahk=a时，式(30)中的惯量矩阵为常数，高压转子激励下的所有模态全部相互广义正交。

当hi=hk时，得到如下的模态参数

(31)

Mhi为高压转子激励下的第hi阶模态质量。

(32)

Khi为高压转子激励下的第hi阶模态刚度。

高压转子激励下的第hi阶临界转速则为

(33)

1.3.3 不同激励下双转子系统模态的正交性

本节将分析低压转子激励下的模态与高压转子激励下的模态之间的正交性。表3列出了所取的模态阶数、转速和转速比。

表3 高压转子和低压转子激励下不同模态所对应的转速和转速比Tab.3 Critical speed and ratio of different modes under different pressure rotor excitation

低压转子激励的第Li阶和高压转子激励的第hk阶模态分别满足如下的方程

(34)

(35)

采用1.3.1节与1.3.2节中的推导方法，最后得到如下的正交条件

(36)

式(36)就是不同激励下双转子系统模态正交的条件。由此可以看出，两阶振型关于惯量矩阵正交的条件与此时的转速比和两阶临界转速有关。特别地，当转速比为1时，即高、低压转子转速相同时，惯量矩阵为常数，转子所有模态关于惯量矩阵都是广义正交的。

一般情况下，由于高压转子转速与低压转子转速存在转速差，因此转速比不会为1。不论是转速比恒定时，即ahk=aLi=a，或变化时，式(36)的惯量矩阵中总包含临界转速ωhk和ωLi，因此，低压转子激励的模态与高压转子激励的模态只是在式(36)给出的条件下正交，不存在广义正交性。

2 双转子系统的不平衡响应

在转子系统模态正交特性的基础上，分析双转子系统的不平衡响应，建立不平衡响应的模态分解方法，得到转子达到临界峰值的条件，以及消除某阶模态响应的条件。分别假设只有低压转子存在不平衡和只有高压转子存在不平衡时，推导出转子的响应表达式，最后得到描述双转子不平衡响应的统一表达式，为建立双转子系统模态不平衡方法奠定基础。

2.1 低压转子单独存在质量不平衡

假设转速比aL为常数。不考虑初始斜度，取不平衡分布为{UL,0,0,0}T(UL为低压转子不平衡质量矩的分布)，并假设转子系统为经典阻尼系统，即阻尼矩阵关于振型向量广义正交。代入方程式(1)，可得

(37)

将转子不平衡响应用振型向量展开，即

(38)

式中：qL为低压转子不平衡所激起的振动；qLi为低压转子激励下的第i阶振型向量；αLi为转子系统在低压转子不平衡作用下的响应中，第i阶振型所占的比例。

将式(38)代入式(37)，化简后可得

(39)

(40)

由式(16)和式(17)知，低压转子激励下的第i阶模态质量和模态刚度如下

(41)

(42)

引入第i阶模态阻尼如下

(43)

则式(40)可化简为

(44)

由式(44)解得

(45)

其中

(46)

利用式(45)求得的αLi，代入式(38)，则转子的不平衡响应可表示为

(47)

式(47)即为模态基下双转子对低压转子不平衡的响应。形式上与单转子的振动表达式相似。其特点在于：

(1) 假设转速比aL为常数。在实际发动机中，转速比变化不大，或者转速控制律为分段线性函数，每段转速比近似为常数。可按照转速控制律，分段进行上述的分析和求解。

(2) 在低压转子不平衡激励下，对双转子系统不平衡响应的模态分解只需要考虑低压转子激励下的模态，而在计算模态不平衡量时，只计及模态振型中低压转子的振型。

(3) 当低压转子转速ΩL≈ωLi，且高压转子转速Ωh≈aLωLi时，双转子对低压转子不平衡的响应中，第i阶模态响应占优，即在第i阶临界转速处出现“共振”。

2.2 高压转子单独存在质量不平衡

当仅有高压转子不平衡激励时，采取类似的求解方法，同样可得双转子系统对高压转子不平衡的响应

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

式中,Uh为高压转子不平衡质量矩的分布。

值得注意的是，低压转子上的不平衡量不会激起高压转子主激励下的模态振动；反之依然，即高压转子上的不平衡量不会激起低压转子主激励下的模态振动。换句话说，高压转子激励的模态与低压转子上的不平衡激励是正交的；低压转子激励的模态与高压转子上的不平衡激励是正交的。

2.3 双转子系统不平衡响应的统一表达式

一般情况下，高、低压转子均会存在质量不平衡。如2.2节所述，高压转子的不平衡只会激起高压转子激励下模态的振动，而不会激起低压转子激励下模态的振动。同样的规律也适用于低压转子不平衡的激励作用。

在双转子系统各阶模态正交的情况下，转子的不平衡响应可以按高、低压转子激励模态展开成如下统一表达式

(53)

如式(36)所示的结果，虽然双转子系统低压转子主激励下的模态与高压转子主激励下的模态并不广义正交，但对于转子不平衡的响应却是正交的。可由式(53)看到，低压转子上分布的不平衡量只会激起双转子系统低压转子主激励下的模态振动。同样，高压转子上分布的不平衡量只会激起双转子系统高压转子主激励下的模态振动。

另外，如前面所述，转子在某一阶临界转速处发生共振，须同时满足如下3个条件：

(1) 转速与该阶临界转速相同，例如，Ωh≈ωhk；

(2) 转速比与该阶模态对应的转速比相同，例如，ΩL≈ωhk/ahk；

3 双转子系统模态正交性验证

3.1 双转子系统结构

为了验证第1章中双转子系统模态的正交性，选取某型发动机的双转子结构为研究对象，如图4所示。图4中的双转子系统包含了的中介轴承、分叉结构、多级轮盘等发动机常见的典型结构。图4中:L为转子系统轴向间距;m,Ip,Id分别为盘的质量、极转动惯量和直径转动惯量;s,d分别为各支点处的支承刚度和阻尼。E为转子材料的弹性模量，ρ为材料密度，参数数值如表1所示。采用离散有限元与状态向量相结合的方法，计算转子系统的模态。

(a) 某型航空发动机双转子试验系统结构图

(b) 双转子系统结构参数示意图图4 某型航空发动机双转子系统结构图Fig.4 Structure diagram of a certain type aero-engine dual-rotor system

3.2 双转子系统模态计算

如1.1节所述，双转子系统为双源激励，当转速比发生变化时，转子的模态也随之发生变化。因此，在计算双转子模态时需事先确定高压转子与低压转子的转速控制律。它分为定转速比与变转速比两种控制律。转速控制律也称为高、低压转子共同工作线。本文计算双转子模态时，采用如图5所示的转子转速控制律。图中，定转速比控制律可用式(54)表示，变转速比控制律则由式(55)表示的分段函数来表达。在双转子系统采用图5中定转速比控制律时，计算的双转子系统在高压转子与低压转子各自激励的前三阶临界转速如表5所示；低压激励的前三阶模态振型如图6所示；高压激励的前三阶模态振型如图7所示。

图5 双转子系统转速控制律Fig.5 Speed control law of dual-rotor system

(a) 一阶模态振型

(b) 二阶模态振型

(c) 三阶模态振型图6 定转速比下低压激励前三阶模态振型(转速比=1.3)Fig.6 The three-order mode shapes of low-voltage excitation at constant speed ratio

(a) 一阶模态振型

(b) 二阶模态振型

(c) 三阶模态振型图7 定转速比下高压激励前三阶模态振型(转速比=1.3)Fig.7 The three-order mode shapes of high-voltage excitation at constant speed ratio

表4 双转子系统的参数Tab.4 Parameters of dual-rotor system

表5 定转速比下双转子系统的临界转速Tab.5 Critical speed of dual-rotor system at constant speed ratio

Ωh=1.3ΩL

(54)

(55)

同时，为了验证第1章所述的关于变转速比条件下双转子系统模态之间的关系，选取图5中的变转速控制律，同样，假设高、低压转子反向旋转。计算双转子系统高压激励前三阶临界转速和低压激励前三阶临界转速，如表6所示，模态振型如图8和图9所示。

(a) 一阶模态振型

(b) 二阶模态振型

(c) 三阶模态振型图8 变转速比下低压激励前三阶模态振型Fig.8 The three-order mode shapes of low-voltage excitation at different speed ratio

(a) 一阶模态振型

(b) 二阶模态振型

(c) 三阶模态振型图9 变转速比下高压激励前两阶模态振型Fig.9 The two-order mode shapes of high-voltage excitation at different speed ratio

表6 变转速比下双转子系统的临界转速Tab.6 Critical speed of dual rotor system under different speed ratio

3.3 双转子系统模态正交性验证

在获得双转子系统的模态之后，对转子的振型向量进行无量纲处理，得到无量纲化的振型向量

(56)

式中:qk为转子系统的第k阶模态;H为刚度矩阵或者惯量矩阵。

模态的正交性可用如下的无量纲函数λ来检验

(57)

当第i阶模态qi与第k阶模态qk完全相似时，λ=1；当第i阶模态qi与第k阶模态qk正交时，λ=0。但在建模和数值计算中存在误差，qi与qk正交时，λ值会远小于1；qi与qk完全相似时，λ接近于1。因此，λ值应在[0，1]，值越小，表明正交性越强，值越大表明正交性越差。

当双转子系统转速控制律为定转速比且反转运行时，计算的λ值如表7所示。同时，计算了高压转子与低压转子同转时转子的模态，对应的λ值如表8所示。表中，qL1,qL2,qL3为低压激励的前三阶振型;qh1,qh2,qh3为高压激励的前三阶振型。

表7 定转速比反转时模态正交性检验Tab.7 Test of mode orthogonality under the reversed rotating with a constant speed ratio

表8 定转速比同转时模态正交性检验Tab.8 Test of mode orthogonality under the same rotating with a constant speed ratio

表7和表8中，H=K为检验振型关于刚度矩阵的正交性；H=M表示检验振型关于质量矩阵的正交性。从表7和表8中的检验结果可以看到，当双转子系统的转速比为一恒定值时，转子系统高压激励的三阶振型关于刚度矩阵与质量矩阵的正交性检验数值都接近于0；低压激励的三阶振型关于刚度矩阵与质量矩阵的正交性检验数值也都接近于0。这表明，在转速比保持为一恒定值时，双转子系统高压激励的模态之间是正交的；低压激励的模态之间也是正交的。这就验证了1.3.1节和1.3.2节中的正交性结论。对比表7和表8的模态正交性检验数值可见，转向对定转速比下的模态正交性无影响。

为了验证双转子系统不同激励下模态的正交性，计算不同激励下对转时模态的正交性检验值λ，如表9所示。同转时，正交性检验结果如表10所示。

表9 不同激励下反转时模态正交性检验Tab.9 Test of mode orthogonality under the reversed rotating with different excitations

表10 不同激励下同转时模态正交性检验Tab.10 Test of mode orthogonality under the same rotating with different excitations

由表9和表10可见，即使双转子系统的转速比保持为恒定值，不同激励下的模态之间关于刚度矩阵或者质量矩阵的正交性不成立，即高压激励模态与低压激励模态不存在正交性。这第1.3.3节中的结论是一致的。

为了检验变转速比控制律下双转子系统的模态正交性，选取图5中的变转速比控制律，计算转子模态的正交性检验值λ，结果如表11和表12所示。

表11 变转速比反转时模态正交性检验Tab.11 Test of mode orthogonality under the reversed rotating with a constant speed ratio

表12 变转速比同转时模态正交性检验Tab.12 Test of mode orthogonality under the same rotating with a constant speed ratio

对比表11与表7、表12与表8可看出，当高、低压转子的转速控制律为变转速比共同工作线时，双转子系统的模态关于刚度矩阵与质量矩阵的正交性检验值随之变大，并且关于质量矩阵的正交性检验值增大更明显。这是由于转速控制律的变化主要影响双转子的惯量耦合。这表明，转速控制律对双转子系统的模态正交性是有影响的，与1.3.1节中的结论一致。

4 结 论

本文对航空发动机双转子系统模态的正交性进行了理论分析和证明，利用模态的正交性推导出双转子系统不平衡响应的一般性表达式，并以某型航空发动机双转子系统为例，对其正交性进行了验证。本文结论如下：

(1) 转子系统惯量矩阵和刚度矩阵的复共轭对称性是转子系统模态正交的必要条件。惯量矩阵中包括陀螺效应矩阵，而刚度矩阵包括中介支承的影响。

(2) 在高压转子与低压转子转速比恒定的情况下，低压转子主激励的模态具有广义正交性，高压转子主激励下的模态也是广义正交的。但不论高压转子与低压转子转速比是否恒定，低压转子主激励下的模态与高压转子主激励下的模态相互之间都不具有正交性。

(3) 双转子系统对低压转子或高压转子上不平衡的响应均可利用模态正交性进行模态分解。对低压转子不平衡响应的分解，只需要低压转子主激励下的模态中低压转子的振型向量，对高压转子亦然。低压转子主激励下的模态与高压转子主激励下的模态对不平衡的响应具有正交性，即低压转子上的不平衡量只会激起低压转子主激励下的模态振动；高压转子上的不平衡量只会激起高压转子主激励下的模态振动。

(4) 转子在某一阶临界转速处发生“共振”的3个必要条件是：转速与该阶临界转速相同；转速比与该阶模态对应的转速比相同；转子不平衡量分布与该阶模态不正交。

(5) 发动机高压转子与低压转子的相对转向对其模态正交性无影响。