◎王丽萍 张万龙

(首钢工学院基础学院，北京 100144)

本讨论中用到了极值思想.极值问题是经典微积分学中最成功的应用，无论在科学研究，还是在实际工程中、运筹规划方面，将问题转化为求解某种极值是十分常见的.

一、定体积圆台表面积极值

再将上述表达式代入表面积公式S中，得到表面积表达式为

(1)

(2)

又因为圆锥的表面积为

S=πR2+πRl.

(3)

(4)

将(4)式两边平方，然后化简得:

2Sx2-S2x+9V2π=0,

S=2πR2+2πRh

二、定体积球缺表面积极值

S=π(2Rh+R2-(R-h)2)=π(4Rh-h2).

(5)

(6)

三、定体积长方体表面积极值

(7)

下面通过两种方法求其表面积公式(7)的极值.

(一)初等方法

即

因此，当长方体的表面积取得最小值时，正是同体积下正方体的表面积.

(二)极值法

分别对(7)式中的x,y求偏导得下面的偏导公式：

(8)

(9)

令(8)(9)两式为0，得到以下偏导方程组：

(10)

四、定体积锥球结合体的最小表面积

(11)

通过计算组合体的表面积，得到表面积公式为：

s=πrl+2πr2.

(12)

将斜高公式代入组合体的表面积公式，得

(13)

对f(k)求导可得到

化简可得到

五、结束语

通过对定体积圆台、球缺、长方体表面积极值的讨论，我们可以发现：定体积圆台取得最大表面积时为圆锥，取得最小表面积时为圆柱；定体积球缺取得最小表面积时为球体；定体积长方体取得最小表面积时为正方体.本文通过比较几何体表面积的极值，发现了36π<54π<216<72π，因此对于体积一定的几何体，最小表面积从小到大的排列顺序为球体、圆柱体、正方体、圆锥体，同时，也能得到体积相等的立体图形，越接近球，表面积越小的结论.