叶红玲， 王秀华， 王伟伟， 王振祺

(北京工业大学材料与制造学部， 北京 100124)

双稳态结构是一种具有2种不同稳定状态，并在一定驱动条件(机械驱动、智能材料驱动等)下稳定状态可相互转变的结构. 因其具有质量轻、力学性能优异及空间利用率高等优点，已被广泛地应用于可变形机翼[1]、能量吸收机构[2]、变形结构[3]及智能装置[4]等方面. 根据组成成分不同，双稳态结构主要分为以下2类：复合材料双稳态结构与混合材料双稳态结构.

其中复合材料双稳态结构根据铺层方式分为正交铺设层合板(例[0°n/90°n])和反对称圆柱壳结构(例[αn/-αn])，两者在不同稳定状态下均具有规则的圆柱状外轮廓，但前者2种稳态构型下的曲率方向相反，后者曲率方向相同. 针对正交铺设层合板，Hyer[5]首先对该类壳结构力学特性进行了理论分析和实验研究. 在此基础上，Wang等[6]设计出了新型实验装置，通过一点加载法捕获了正交铺设层合板的稳态转变过程，获得了载荷- 位移曲线，并对其第二稳态构型进行数值仿真验证. Tawfik等[7]通过实验与数值仿真研究了不同初始构型对正交铺设层合板双稳态特性的影响规律. 针对反对称圆柱壳结构，Daton-Lovett[8]发现反对称层合圆柱壳结构具有2种稳定状态，且均有规则的圆柱状外轮廓. Zhang等[9-10]基于最小势能原理建立了双稳态理论模型，得到了稳态特性理论表达式，通过两点加载法捕获稳态转变过程，并通过数值仿真进行验证. 张淑杰等[11]探讨了稳态转变过程圆柱壳结构应力分布随加载时间的变化趋势. 在此基础上，Zhang等[12]以双稳态壳结构几何参数为设计变量，以稳态转变载荷最大为目标进行优化设计以提高壳结构的承载力.

与复合材料双稳态结构相比，含金属层的混合材料双稳态结构具有更大的稳态转变载荷，能够提供更高的承载力. 目前混合材料双稳态结构主要分为混合材料正交铺设层合板与混合材料对称铺设层合板. 对于混合材料正交铺设层合板，Daynes等[13]受复合材料正交铺设层合板启发，制备了多种混合材料铺设层合板[0°3/metal/90°3]试件，通过实验方法探讨了不同金属层材料对稳态转变载荷及构型的影响. 李昊等[14]对混杂双稳定层合板 [0°/A1/90°]试件稳态转变之间的负刚度特性进行了研究，并利用其制备了准零刚度隔振装置. 对于混合材料对称铺设层合板，Li等[15]提出了一种[90°n/Al/90°n]T∪[90°n/0°m/90°n]T∪[90°n/Al/90°n]T新型混合对称层合板，通过理论模型、实验及数值仿真分析了结构几何参数对其双稳态力学性能的影响规律. 在此基础上，Mukherjee等[16]提出了具有悬臂边界构型的混合材料对称铺设层合板模型，预测了其稳态构型和转变过程. 通过计算可以发现以上2种混合材料双稳态结构第二稳态构型都有规则的圆柱状外轮廓，但第一稳态曲率与第二稳态曲率方向均相反. 随后Dai等[17]设计了特殊铺层的混合材料层合板[0°/90°/metal]来获取2种稳态曲率方向相同的结构，但发现稳态构型均为扭曲的圆柱形.

国内外学者主要对混合材料双稳态结构稳态转变过程力学性能进行分析，但对2种稳定状态既具有规则圆柱状轮廓，同时曲率方向又相同的混合材料双稳态结构力学性能及优化设计研究较少. 为了弥补这一不足，本文设计了一种新型混合材料双稳态壳结构，对其稳态转变过程进行数值仿真分析；研究壳结构各几何参数对力学性能的影响规律；通过参数主次影响分析方法确定对力学性能具有重要影响的几何参数；基于试验设计方法和响应面方法建立优化模型，采用序列二次规划算法对优化设计进行求解分析. 研究结果对于提高双稳态结构力学性能和优化构型设计具有理论参考意义.

1 混合材料双稳态壳结构模型建立

1.1 几何模型

图1 混合材料双稳态壳结构模型Fig.1 Model of bistable hybrid shell

混合材料双稳态壳结构([θ°/-θ°/Metal/θ°/-θ°)是一种开口薄壁圆柱壳结构，其几何模型如图1所示. 结构几何参数为: 轴向长度L=100 mm，初始横截面半径R=25 mm，铺层角θ=45°，中间金属层厚度T=0.14 mm. 材料分别选用碳纤维增强复合材料T700/3234与弹簧钢，其材料参数如表1所示.

表1 材料参数

1.2 有限元模型

本文利用有限元软件ABAQUS建立了混合材料双稳态壳结构加载有限元模型，如图2所示，其中包括压头、支撑板和混合材料双稳态壳结构. 在混合材料双稳态壳结构稳态转变仿真时，底部支撑板固定不动，在压头中间横截面圆心处建立了参考点RF，并通过刚体约束Rigid body与压头连接，同时在压头与壳结构、壳结构与夹具之间设置接触. 为提高计算效率并获得较好的收敛性，网格选用S4R单元，采用静力/通用求解器进行求解.

图2 有限元模型Fig.2 Finite element model

图3 混合材料双稳态壳结构稳定状态Fig.3 Stable states of bistable hybrid shells

在稳态转变过程中创建了2个阶段. 1)加载阶段：对压头施加沿Z轴方向位移载荷，向混合材料双稳态壳体边缘施加载荷，产生驱动力矩来实现稳态转变过程. 2)卸载阶段：压头回到初始位置，得到双稳态壳体的第二稳定状态. 图3为混合材料双稳态壳结构2种稳定状态，从中可以看出初始稳态半径R与第二稳态卷曲半径r曲率大小不同，在初始稳定状态时初始曲率kx=0,ky=1/R，而第二稳态曲率kx=1/r，ky=0，但两构型曲率均在同一方向. 第二稳态Mises应力大致呈点对称分布，其最大应力σmax=347.8 MPa出现在对角线顶点处，为避免壳结构失效，应当避免应力过大.

2 混合材料双稳态壳结构性能研究

2.1 稳态转变过程仿真分析

基于数值仿真对相同厚度的反对称圆柱壳结构[45°/-45°/0°/45°/-45°]与混合材料圆柱壳结构[45°/-45°/steel/45°/-45°]力学性能进行研究，得到力学性能随加载过程的变化规律. 图4(a)为2种双稳态壳结构稳态转变过程中载荷- 位移曲线. 从中发现：载荷随着压头位移增加而上升，达到峰值力后(即稳态转变载荷F)又缓慢下降到0，这表明壳结构从第一种稳态转变为第二种稳态. 其中稳态转变载荷F代表了双稳态壳结构的承载能力，其值越大表明承载能力越高，因此混合材料双稳态壳结构的承载性能高于复合材料双稳态壳结构. 图4(b)为2种双稳态壳结构稳态转变过程应变能- 时间曲线，2种壳结构应变能E前期均随着加载时间增加而上升至峰值，之后发生突变快速下降，最后收敛到第二稳定状态应变能. 混合材料双稳态壳结构第二稳态应变能高于复合材料双稳态壳结构，需更多能量进行驱动，其承载性能更优异.

图4 力学性能的变化曲线Fig.4 Curve of mechanical properties

2.2 网格收敛性分析

网格尺寸对数值仿真结果和计算效率具有重要的作用. 为避免其对仿真结果的影响，采用了4种网格尺寸进行分析. 网格尺寸分别设置为1 mm(7 979个节点，7 800个网格)、2 mm(2 091个节点，2 000个网格)、4 mm(567个节点，520个网格)和6 mm(255个节点，224个网格)，其力学性能如表2所示. 结果表明：任意2种网格尺寸的有限元模型各力学性能指标相对偏差均小于5%，说明该4种网格尺寸均能够保证足够的精度. 随着网格数量的增加，计算时间急剧上升，因此考虑计算成本，本文选择2 mm的网格尺寸进行计算.

表2 不同网格尺寸下的力学性能

3 双稳态壳结构参数影响规律分析

为获得各几何参数对混合材料双稳态壳结构力学性能的影响规律，采用单一变量法分别研究壳结构金属层厚度、铺层角度、初始横截面半径和轴向长度对双稳态力学性能的影响规律.

3.1 金属层厚度对壳结构力学性能的影响

保持几何参数θ=45°、R=25 mm、L=100 mm不变，研究单一参数金属层厚度T对混合材料双稳态壳结构力学性能的影响规律. 中间金属层厚度从0.10 mm增加到0.20 mm，间隔为0.02 mm，其对力学性能影响规律如图5所示. 随着金属层厚度增加，第二稳态卷曲半径、最大应力、第二稳态应变能和稳态转变载荷分别增长了5.10%、32.66%、67.09%和86.59%. 从中看出金属层厚度对第二稳态卷曲半径影响不大，但对稳态转变载荷、第二稳态应变能影响较大. 稳态转变载荷大幅度上升，表明增加金属厚度可使混合双稳态壳结构具有更大的承载能力.

图5 金属层厚度对力学性能的影响规律Fig.5 Effects of the metal thickness on mechanical properties

3.2 铺层角度对壳结构力学性能的影响

混合材料双稳态壳结构初始横截面半径R=25 mm、金属层厚度T=0.14 mm、轴向长度L=100 mm，改变层合板铺层角度θ，研究其对混合材料双稳态壳结构力学性能的影响规律，如图6所示. 随着铺层角度的增加，第二稳态卷曲半径从88.56 mm下降到22.91 mm，第二稳态应力呈先下降后上升趋势，最小值在铺层角度40°处，而稳态转变载荷和第二稳态应变能则大幅度上升.

图6 铺层角度对力学性能的影响规律Fig.6 Effects of the ply angle on mechanical properties

3.3 横截面半径对壳结构力学性能的影响

采用控制变量法研究初始横截面半径R对混合材料双稳态壳结构力学性能的影响规律，如图7所示. 从中可以发现初始横截面半径对双稳态性能的影响规律与层合板铺层角度对双稳态壳结构力学性能的影响规律大致相反. 第二稳态卷曲半径与初始横截面半径近似呈线性上升变化；而稳态转变载荷、第二稳态应变能及应力随初始横截面半径的增加而下降，这表明壳结构初始横截面半径与承载性能之间为负相关关系.

图7 初始半径对力学性能的影响规律Fig.7 Effects of the initial radius on mechanical properties

3.4 轴向长度对壳结构力学性能的影响

在设计参数T=0.14 mm、R=25 mm、θ=45°保持不变的条件下，通过调整混合双稳态壳结构轴向长度L的大小分析其对壳结构力学性能的影响规律，轴向长度L从70 mm增加到120 mm，间隔为10 mm，如图8所示. 结果表明:轴向长度对第二稳态应力和卷曲半径影响不大；相反稳态转变载荷和第二稳态应变能受轴向长度影响较大. 随着长度的增加，稳态转变载荷从147.220 N增加到220.061 N，应变能从1 942.32 mJ增加到3 343.32 mJ，表明增加轴向长度会提高混合材料双稳态壳结构承载能力.

图8 轴向长度对力学性能的影响规律Fig.8 Effects of the axial length on mechanical properties

4 参数主次影响分析

基于多元线性回归方程对力学响应进行主次影响分析，探讨各力学性能指标对几何参数的敏感程度，以得到具有显著影响的几何参数.

线性回归方程：

y=b0+b1x1+…+bm-1xm-1

(1)

由于受变量单位取值的影响，偏回归系数b1,b2,…,bm-1自身数值大小不能很好地反映各变量对力学响应的重要程度. 为解决此问题，需对偏回归系数进行标准化处理，得到标准化系数Pj(j=1,2,…,m-1)，Pj的计算式[18]为

(2)

实际工程中混合材料双稳态壳结构需要具有一定的承载能力以及可靠性，故主要分析稳态转变载荷及第二稳态卷曲应力等力学响应对几何尺寸的敏感程度. 基于最优拉丁超立方实验设计方法，获得16组样本点及力学响应，如表3所示. 根据式(2)计算得到各参数下的标准化系数及顺序，如表4所示.

从表4中各标准化系数可知：第二稳态卷曲应力受几何参数影响程度由大到小依次为横截面半径、铺层角度、金属层厚度、轴向长度；4个几何参数对稳态转变载荷影响程度由大到小依次为横截面半径、铺层角度、金属层厚度、轴向长度，其中轴向长度对卷曲应力的影响程度远远小于其他几何参数. 为提高响应面精度，需剔除对力学性能影响较小的无关变量. 因此，综合各几何参数对力学性能主次影响因素分析结果，选择几何参数中影响程度较大的铺层角度、横截面半径及金属层厚度作为优化设计变量.

5 混合材料壳结构参数优化设计

5.1 优化模型

根据工程实际需要，应当提高壳结构稳态转变载荷以便获得更优异的承载性能，降低第二稳态卷曲应力来保证壳结构可靠性与安全性. 因此考虑在应力约束下，选择以稳态转变载荷最大作为优化目标进行壳结构最优几何设计，提高力学性能. 其优化模型为

表3 样本点设计及响应

表4 标准化系数

(3)

5.2 基于响应面方法的多项式拟合

本文采取三因子三水平实验方法得到样本点. 设计区域选择：铺层角度θ从30°增大到55°，间距为5°；初始横截面半径R从20 mm增加到45 mm，间隔为5 mm；金属层厚度T从0.10 mm到0.18 mm，间隔为0.02 mm. 基于数值仿真获得样本点壳结构力学性能，包括第二稳态卷曲应力、稳态转变载荷. 27个样本点及力学性能如表5所示.

采用MATLAB对混合材料双稳态壳结构稳态转变载荷与第二稳态应力进行二次多项式拟合，最终得到稳态转变载荷与最大应力函数表达式为

F(R,θ,T)=0.186R2+0.041θ2+2 894.569T2- 0.102Rθ-41.307RT+28.633Tθ-9.011R+ 1.717θ+6.393T+173.026

(4)

σmax(R,θ,T)=0.429R2+1.565θ2+ 2 788.194T2-0.507Rθ-38.208RT+ 34.938Tθ-10.821R-117.146θ- 46.215T+2 903.951

(5)

5.3 响应面拟合检验

表5 样本点设计及响应

(6)

(7)

式中：yi为真实值；i为估计值；为真实平均值；n为样本点个数；k为拟合函数中非常数项个数.

为测试代理模型是否能满足其他数据点精度需求，在设计区间内选取6个测试点，基于数值仿真进行重构. 有限元结果与响应面结果误差如表7所示，最大误差为9.6%，因此多项式拟合函数在设计区间内是准确的.

表6 精度检验

表7 测试点误差分析

5.4 单目标优化求解

采用NLPQL算法求解优化模型，进行如下设置：收敛精度和最大迭代次数分别为0.001和40. 设计变量空间壳结构初始横截面半径R、铺层角度θ及金属层厚度T求解区域上限为[35,55,0.18]，下限为[25,35,0.10]，初始设计点Initial design取中心点[30,45,0.14]. 为避免混合材料双稳态壳结构第二稳态存在应力过大、降低壳结构可靠性等问题，给定最大应力约束上限为300 MPa.

计算得到优化结果：初始横截面半径为31.59 mm，铺层角度为43.69°，金属层厚度为0.18 mm. 表8中给出了初始设计和优化设计结果的比较，在应力σmax从289.2 MPa上升到300.0 MPa(满足约束条件)时，稳态转变载荷F从155.964 N增加到170.520 N，上升约为9.3%，其承载能力得到有效提高. 同时为了验证优化设计结果的准确性，将其进行有限元重新建模，得到数值仿真结果稳态转变载荷F=164.499 N、最大应力σmax=285.5 MPa. 优化结果与有限元结果力学性能指标之间的误差最大为4.8%，验证了优化模型求解的准确性. 最终得到混合材料双稳态壳结构在满足应力约束条件下，力学性能最佳的参数优化设计结果为初始横截面R=31.59 mm，铺层角度θ=43.69°，金属层厚度T=0.18 mm.

表8 初始设计与优化设计参数比较

6 结论

本文基于数值仿真方法对混合材料双稳态壳结构稳态转变过程力学性能进行分析，获得了该过程中双稳态壳结构几何参数对其力学性能的影响规律. 基于实验设计方法和响应面方法建立优化模型，采用NLPQL算法求解优化设计问题，并得到以下结论：

1) 获得了混合材料双稳态壳结构在不同金属层厚度、横截面半径、铺层角度、轴向长度下，其稳态转变载荷与稳态构型性能的变化规律. 金属层厚度的上升使各力学性能指标均增高；横截面半径与铺层角度对各力学性能的影响规律相反；轴向长度的增加对第二稳态卷曲半径与应力几乎没有影响，但提高了稳态转变载荷与第二稳态应变能.

2) 基于最优拉丁超立方实验设计方法得到样本点与力学响应，通过主次因素影响分析方法得到各力学响应对几何参数的敏感性，获得了对力学性能指标影响较大的几何参数——金属层厚度、铺层角度及初始横截面半径.

3) 基于三因子三水平实验设计方法与响应面方法，建立了以混合材料双稳态壳结构稳态转变载荷最大为目标的优化模型，并通过序列二次规划算法进行求解，得到最优几何参数初始横截面R=31.59 mm，铺层角度θ=43.69°，金属层厚度T=0.18 mm. 通过有限元建模验证了优化结果的有效性和可行性.