戴洪宝,许继影,彭大珑

宿州学院 1.环境与测绘工程学院;2.资源与土木工程学院，安徽宿州，234000

河道治理项目需要高精度的地形图和土石方计算等资料，工程测量是获取这些资料的必要方法。近几年，全球导航卫星系统(GNSS)在测绘行业中应用广泛，其无须通视、全天候、实时性、精度高和直接获取三维坐标等优点，使得许多工程将GNSS测量作为首要测量选择。GNSS测量得到的三维坐标(X，Y，Z)和平面(X,Y)已经获得广泛的认可，精度评定也有相应的规范[1-4]。而GNSS测量的高程(H)是大地高，我国采用的则是正常高(Hg)系统，这就涉及两个高程基准面——参考椭球面和似大地水准面之间的高程异常问题，如何针对各类工程项目，解决高程异常问题，是当前亟待解决的一个问题。

GNSS高程拟合测量是当前解决这一问题的有效途径。GNSS测量获取的是以参考椭球面为基准的大地高，结合似大地水准面模型，通过数学转换运算，可将大地高转换为以似大地水准面为基准的正常高，就可以应用到我国现行的高程系统中，这种模式可大大提升工作效率[5-8]。

本文拟开展如下工作：首先，直接测量测区内所有GNSS点的大地高；然后，在测区内选择一定数量和点位分布均能满足高程拟合需要的GNSS点，用水准测量方法测量其正常高，并计算所有GNSS点的大地高与正常高之差(高程异常ζ)；接着以高程异常为基础利用三种高程拟合方法分别进行高程拟合计算，获得测区内其他GNSS点的正常高；最后，对三种方法进行相应的精度分析，研究针对河道治理工程，三种高程拟合方法的优缺点。

1 材料与方法

1.1 研究区概况

研究区位于淮北市烈山区，建设内容为河道疏浚等。项目治理起点为老拖山闸，终点是闸河与濉河交汇口，全长约16.9 km，属濉河支流。流域内土地表壤为沙土和沙壤土，土壤较肥沃，适宜种植小麦、玉米、黄豆和棉花等旱作物。

地形测绘作为设计和施工的基础资料，力求高精度，且项目工期紧，在保证质量的基础上，高效地完成测绘任务也是一个重要指标。本文就基于以上两个出发点，开展GNSS高程拟合在测绘河道工程的应用研究。图1为研究区概况图。

图1 研究区概况图

1.2 GNSS高程拟合常用方法

目前，国内外用于GNSS高程拟合的方法主要有：绘等值线图法、曲面拟合(包括平面拟合、多项式曲面拟合法、多面函数拟合法、曲面样条拟合法、非参数回归曲面拟合法和移动曲面法)和解析内插法(包括多项式曲线拟合法、样条函数拟合法和Akima法)等[9-12]。论文根据工程特点，选取多项式曲线拟合法、三次样条曲线拟合法和多项式曲面拟合法三种方案开展研究。

1.2.1 多项式曲线拟合法

设点ζ与任意点xi(或yi)(i=1,2,3,…,n)之间函数关系可以用下面m次多项式表示：

ζ(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm

(1)

1.2.2 三次样条曲线拟合法

三次样条曲线拟合法是针对大多数线路工程而提出的一种方法。

设过n个公共点，ζ和xi在区间[xi,xi+1](i=0,1,2,3…n-1)上有三次样条关系式：

ζi(x)=ζ(xi)+(x-xi)ζ(xi,xi+1)+(x-xi)(xi-xi+1)ζ(x,xi,xi+1)

(2)

其中，x是待定点坐标，xi、xi+1为待求点的两端点已知坐标，ζ(xi,xi+1)为一阶差商，ζ(xi,xi+1)=(ζi+1-ζi)/(xi+1-xi)；ζ(x,xi,xi+1)为二阶差商，ζ(x,xi,xi+1)=[ζ″(xi)+ζ″(x)+ζ″(xi+1)]/6，而ζ″(xi)(i=0,1,2,3…n-1)满足系数矩阵为对称三角阵的线性方程组(即连续方程式)：

用追赶法解方程组(3)，可求出ζ″(xi)和ζ(xi,xi+1)，从而得到:

ζ″(x)=ζ″(xi)+(x-xi)ζ″(xi,xi+1)

(4)

1.2.3 多项式曲面拟合法

地面上任一点的高程异常ζ所满足的函数关系式为

v=ζ-f(x,y)

(5)

其中,f(x,y)为ζ的函数，v为误差。

f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn

(6)

其中，a0,a1,a2,a3…an为待定系数，按最小二乘法求出各待定系数，将结果代回(5)式，即可得到高程异常值[17-18]。

当n为确定值时，可以将(5)式换成矩阵形式:

V=XB-ζ

(7)

(8)

再根据最小二乘原理，在∑v2最小的要求下，B=(XTX)-1XTζ，求出模型转换参数，进而计算出未知点的高程异常值[19-20]。

2 数据计算及精度分析

2.1 数据计算

根据河道治理工程的精度指标和后期施工的点数要求，以及本次研究的验证需求，在测区内布设了GNSS控制点33个，这些点均进行了高精度GNSS测量和四等水准测量，可以作为已知点使用，选取了其中17个点(图1中三角形)做拟合计算，另外16个点(图1中圆形)作为检核点。

针对研究区的情况，本文选取多项式曲线拟合法、三次样条曲线拟合法和多项式曲面拟合法三个方案进行计算，得到相应的高程拟合结果(表1和表2),以及拟合结果差值曲线(图2和图3)。

由表1和表2可知，在研究区内已知点高程异常从起点的6.677 m，到终点处为6.418 m，呈现出一种自北向南逐步减小的规律性变化，并且在距离相当的情况下，减少的数值也基本一致。

表1 拟合高程平差结果(参与拟合计算的17个点)

图2 拟合结果差值曲线(参与拟合计算的17个点)

表2 拟合高程平差结果(参与检核的16个点)

图3 拟合结果差值曲线(参与检核的16个点)

由图2分析，多项式曲线拟合在8和14点的偏差较大，多项式曲面拟合在8、14和16点的偏差较大，三次样条拟合基本上与已知高程异常一致。由图3分析，针对检核数据，多项式曲线拟合在JH9、JH12和JH13号点的偏差较大，多项式曲面拟合在JH4、JH9和JH12点的偏差较大，三次样条拟合基本上与已知高程异常一致。综合图2和图3的分析可知，三次样条拟合得到的值与实际的高程异常值具有最好的密合度。接下来采用内符合精度和外符合精度进行定量的分析评定。

2.2 内符合精度分析

(9)

其中，V为残差值，n为参与计算点个数。

利用表3和(9)式计算内符合精度，结果分别为：多项式曲线拟合精度±1.5 cm，三次样条曲线拟合精度±1.1 cm，多项式曲面拟合精度±1.8 cm。可知三次样条曲线拟合的内符合精度最高。

表3 已知数据(参与拟合计算的17个点)与>拟合数据的高程异常残差比较

由图4知，使用三种方法获得的已知数据(参与拟合计算的17个点)高程异常残差在单独的点处呈现不规律性，但在总体上看来，三次样条拟合最大差值较小，多数情况下处于三种差值较小的状态。

图4 已知数据(参与拟合计算的17个点)与>拟合数据的高程异常残差柱状分析图

2.3 外符合精度分析

(10)

其中，V为残差值，m为检核点的个数。

利用表4和(10)式计算外符合精度，结果分别为：多项式曲线拟合精度为±2.3 cm，三次样条曲线拟合精度±1.5 cm，多项式曲面拟合精度为±3.0 cm，可知三次样条曲线拟合的外符合精度最高。

表4 已知数据(参与检核的16个点)与>拟合数据的高程异常残差比较

由图5知，使用三种方法获得的已知数据(参与检核的16个点)高程异常残差，在总体上看来，呈现三次样条拟合相对较小规律性的状态，并且最大差值较小。

图5 已知数据(参与检核的16个点)与>拟合数据的高程异常残差柱状分析图

从内外符合精度可以看出，三次样条曲线拟合优于多项式曲面拟合和多项式曲线拟合。在计算内符合精度和外符合精度时，三次样条曲线拟合高程与实测高程最大相差为+2.4 cm和+3.2 cm，多项式曲线拟合高程与实测高程最大相差为+4.2 cm和+3.9 cm，多项式曲面拟合高程与实测高程最大相差为+4.1 cm和-4.2 cm，相对于另外两种方法，三次样条曲线拟合高程与实测高程之间的差值相对较小。

3 结 论

GNSS测量能应用于河道治理工程中的关键就是获得精准的高程异常值，结合本文的研究结果做出如下总结：

(1)不同的高程拟合方法应用到同一测区可以获得不同精度的结果，根据测区情况的不同，各种方法有各自存在的价值。通过本文的分析，可知在淮北平原河道治理工程中，采用三次样条曲线拟合法优于多项式曲面拟合法和多项式曲线拟合法。

(2)在淮北平原河道治理工程测量中，布设点位均匀、长度适中的GNSS控制网，结合三次样条曲线拟合法得到的正常高可以达到四等水准测量精度要求，能够满足河道治理工程施工测量的需要。

(3)在更高精度的工程应用需求下，如何提升GNSS测量应用于河道治理工程测量的应用水平，需要更深一步选择GNSS数据处理模式选取、高程拟合模型选取和测区地形对大地水准面的影响等因素。