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利用导数研究复杂不等式问题的方法探究

2022-10-26

高中数理化 2022年19期
关键词:凹凸增函数同构

李 虎

(广东省中山市第一中学)

本文收集了一学年以来,在历次考试和作业中,学生出现问题较严重或反复问的重难点问题,主要以导数研究复杂的不等式问题为契机展开,分享给将要学习这一块或高三复习这一块内容的学生.这一块内容一直是学生比较害怕的,得分率也比较低,但从最近几年的高考看,这块内容的分值占比还比较大,因而需要学生在复习备考中,沉下心来,多梳理总结,发现规律.

1 方法探究

1.1 隐零点法

当导函数的零点无法求解时,可以借助单调性和零点存在性定理确定零点的大致范围,此时需要注意导函数等于零这一条件的应用,因为它往往起到化简的作用.

1.2 切线放缩法

切线放缩法即对于一个函数来说,取其某点的切线,如果函数图像在切线的一侧,则可以得到一个不等式,这个不等式即为切线放缩不等式.

1.3 凹凸反转

凹凸反转法是指一个函数如果本身没有最小值(或最大值),但是除以一个比自己增长速度慢(或速度快)的函数后有最小值(或最大值),则其具有凹凸性,常用它证明不等式.

例3已知函数f(x)=axeax+(a+b)x,g(x)=(1+x)lnx.

(1)当a=-b=1时,证明:f(x)>g(x)在(0,+∞)上恒成立;

(2)若∀x∈(0,+∞),都∃b∈[-1,0],使f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.

证明(1)证法1(切线放缩法) 由于ex>x+1,故在x>0上,xex>x(x+1)>(x+1)lnx.

1.4 同构式

同构式法是指将结构相同的代数式分离出来,再构造函数利用函数的单调性进行研究.这里经常用到如下两个恒等式:

下面用同构式法求解例3的第(2)问.

解析因为∃b∈[-1,0],使f(x)≥g(x)恒成立,令φ(b)=axeax+(a+b)x,则只需要φ(b)max≥g(x),即axeax+ax≥(1+x)lnx在x∈(0,+∞)上恒成立,整理得

设F(x)=x(ex+1),则F′(x)=ex(x+1)+1,又F″(x)=ex(x+2),所以当x>-2时,F″(x)>0,F′(x)单调递增;当x<-2时,F″(x)<0,F′(x)单调递减,故当x=-2时,F′(x)有最小值F′(-2)=,所以F(x)在R 上单调递增,式①即F(ax)≥F(lnx),所以ax≥lnx,即

1.5 构造辅助函数

构造辅助函数的关键是将各个值中共同的量用变量替换,再利用函数的单调性比较大小.

例4(2021年全国乙卷理12)设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=-1,则( ).

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

综上,b<c<a,故选B.

1.6 定义域分段研究

如果导数题目中含有三角函数,因三角函数本身固有的周期性、有界性、单调性,故需对函数的定义域进行分段研究,更好地利用三角函数的性质.

例5已知函数f(x)=ex+cosx-2,f′(x)为f(x)的导函数.

(1)当x≥0时,求f′(x)的最小值;

(2)当x≥-时,xex+xcosx-ax2-2x≥0恒成立,求a的取值范围.

解析(1)由题得f′(x)=ex-sinx,f″(x)=excosx.当x∈[0,π)时,f″(x)为增函数,且f″(x)≥f″(0)=0;当x∈[π,+∞)时,f″(x)≥eπ+1>0.故当x≥0时,f″(x)≥0,故f′(x)为[0,+∞)的增函数,即f′(x)的最小值为f′(0)=1-0=1.

若a>1,则由(1)知,h′(x)=ex-sinx-a在[0,+∞)上单调递增,且

h′(0)=1-a<0,h′(1+a)≥e1+a-1-a>0,故存在唯一x2∈(0,+∞),使h(x2)=0,当x∈(0,x2)时,h(x)单调递减,h(x)<h(0)=0,此时xh(x)<0,矛盾.

综上,a≤1.

1.7 变方程为不等式

有些方程的根无法解出时,可以借助代换法,将其整体代换,再结合不等式求其值.

2 小结

导数只是研究函数的一个工具,其主要作用是将研究函数的单调性、极值、最值问题转化为研究导函数的符号.不等式问题有时会与最值、极值问题综合考查.这两年的考题有涉及二阶导函数甚至三阶导函数,需要学生梳理导数的知识脉络.条理清晰是解答导数题目的关键,学生平时要多总结一些解题技巧和方法,尤其是熟悉新教材的例题和课后题的结论.

(完)

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