王浩森，王树平，谢革英，师浩楠，范 虹

河北建筑工程学院理学院，河北 张家口 075000

物理是中学的重要课程，但是由于涉及大量的公式推导及计算而显得比较枯燥、乏味。针对这些问题，教师通常采用讲故事、利用生活用品做小实验等方法来改善教学效果。随着技术的进步，“微课”“慕课”“翻转课堂”等现代化手段被大量应用。“微课”短小精悍，强于讲解重点和难点，但是知识点过于细碎，难以形成系统的学习。“慕课”更适合大规模开放课程。在此基础上发展起来的“翻转课堂”变“先教后学”模式为“先学后教”模式，通过改变学习主体来提升学生的主动性。然而，在实际教学过程中，很多学生往往采取“刷课”（学生利用手机、电脑等播放教学视频的同时，干与学习无关的其他事情）的形式，导致教学效果达不到预期。

近年来，“智慧教育”逐渐走进了中学课堂。“智慧教育”在课堂中主要通过师生间的互动提高学生的注意力，同时通过大数据分析了解学生对授课内容的掌握程度，教学的针对性强。众所周知，很多物理概念、定理比较抽象，学生很难完全理解。现有的“智慧教育”手段是让学生通过各种图片、视频等教学资料来学习各知识点。但是，这些资料的内容有限，无法涵盖学生思考过程中的所有可能情况。新兴的“智慧教育”技术可以深入到物理教学中的具体知识点，提高具体知识点的教学效果。

电场和电势是静电场教学的重点和难点，由于其看不见摸不着，对于学生来说很抽象。教师通常采用演示实验或者看图片、视频等手段加深学生的理解。比如，利用电流和电场的相似性的模拟法描绘静电场。再比如，给学生展示一些电场和电势分布的图片。近年来，不少同行用Matlab等软件对静电场进行模拟，让学生直观地观察电场和电势的分布。然而，这些软件或是对点电荷等过于简单的场景直接模拟，或是使用成本很高的商业软件，很难推广应用。现在大部分教师已具备本科甚至研究生学历，已掌握一定的编程能力，很容易利用编程的方法模拟学生能想到的带电体电场和电势分布情形。但是，学生很难根据自己的想法修改这些程序。因此，这需要教师根据实际情况，利用编程定制针对性的教学辅助软件，实现互动式“智慧教育”的深层应用，提高教学效果。比如，学生在电脑或手机上通过改变带电体的形状、位置、电量等参数，观察电场和电势的三维分布，可以加深学生对复杂带电体电场和电势分布的理解，从而提高他们学习物理的兴趣。

下面，将详述静电场教学辅助软件的制作方法，并展示几种经常遇到的电荷分布情况（多个点电荷场景、多条均匀带电线段场景、多个均匀带电球体场景和多个带电球面场景）的电场和电势分布的模拟结果。利用编程思想和方法，教师可以根据实际需要定制教学辅助软件，实现物理教学中针对具体知识点讲解的智慧教育深层应用，从而提升教学效果。

1 教学辅助软件制作方法

基于数学、物理基础知识，通过高级语言C、Fortran或者数学软件Matlab、Mathematica等编程实现教学辅助软件的制作。然后，利用Gui图形化界面制作出可操作的交互界面。我们制作的软件已申请软件著作权，其交互界面如图1所示。它采用Fortran编程，可计算出三维空间中各种复杂带电体的电场和电势数据。把这些数据导入绘图软件后，很容易生成电场和电势的全空间分布图。下面介绍其具体制作方法。

图1 软件操作界面

制作三维模拟软件时，要确定模拟计算空间，并在其中划分三维网格（图2）。沿x，y和z三坐标轴方向确定划分均匀网格，网格节点分别为x（i），i=0，1，2，…，N；y（j），j=0，1，2，…，N；z（k），k=0，1，2，…，N。 可根据待模拟的物理模型自由选择均匀网格或渐进网格。其中，选用渐进网格模拟时，电场和电势变化迅速的区域网络更密，模拟结果更准确。而选用均匀网格时，网格间距都相同，更具普适性。为了模拟更有普适性的场景，这里选用均匀网格。在软件制作过程中，仅计算每个网格节点的电场和电势就可以描绘其全空间分布。

图2 网格划分示意图

2 不同场景模型计算结果展示

2.1 多个点电荷场景

2.1.1 场景设计原理

首先，计算每个点电荷在全空间的电场和电势分布。然后，根据电场和电势的叠加原理，计算其在多个点电荷场景中的分布。下面，模拟由N个带电量分别为 q（m）（m=1，2，…，N），位置坐标分别为[x'（m），y'（m），z'（m）]（m=1，2，…，N）的点电荷组成的全空间电场和电势。其中，第m个点电荷在网格节点[x（i），y（j），z（k）]（i=0，1，2，…，N；j=0，1，2，…，N；k=0，1，2，…，N）产生的电场为

式中，ε和ε分别为真空介电常数和相对介电常数。 r为从点电荷位置[x'（m），y'（m），z'（m）]到节点[x（i），y（j），z（k）]的向量。 根据电场叠加原理，可得N个点电荷在任意节点的电场为

2.1.2 场景应用实例

按照上述方法，可得多个点电荷场景的电场和电势全空间分布，结果如图3所示。该场景包含3个电荷量为1 C的点电荷，x，y和z方向的计算范围都是从-3 m至3 m，各方面的节点总数N，N，N都是 100 个，其坐标分别为（1，0，0），（-1，0，0）和（0，0，1）。 整个体系相对介电常数为 1。 图3（a）为xz平面的电场分布，箭头表示电场方向。电场对 lg[|E（i，j，k）|]的量值用不同颜色表示，从蓝色到红色逐渐增大。图3（b）是xz平面的电势分布。在教学过程中，学生往往凭空想象该场景的电场和电势分布。但是，通过该教学辅助软件，学生可以清晰地观察多电荷场景下电场和电势的空间分布，更容易理解点电荷之间的相互作用。

图3 多个点电荷场景

2.2 多条均匀带电线段场景

2.2.1 场景设计原理

首先，用微积分的思想，把带电线段看作一系列点电荷的叠加。然后，根据电场和电势的叠加原理，计算多个点电荷场景的分布。下面，模拟N个带电量分别为 q（m）（m=1，2，…，N）的均匀带电线段场景。线段在三维空间中的参数方程为

式中，[x'（m），y'（m），z'（m）]表示带电线段所在位置，x'（m），y'（m），z'（m），a（m），a（m），a（m）是参数方程的参数。 右边的 t（m）∈[t（m），t（m）]，其边界值t（m）和t（m）可以确定第m条线段的端点。

把第m条线段平均分为N（m）等份，每一份可以看作是一个点电荷，t（m）可取值为

2.2.2 场景应用实例

假设多条均匀带电线段场景中包含2条均匀带电线段，电荷量均为1 C，相对介电常数为1。x，y和z方向的计算范围都是从-3 m至3 m，节点总数 N，N，N都为 50 个。 2 条线段的 x'（m），y'（m），z'（m），a（m），a（m），a（m），t（m），t（m）参数分别是（0，0，0，1，1，-1，-1、1）和（1，0，0，1、1、1、0、1），其空间形态如图 4 所示。 图 5（a）和图5（b）为xy平面的电场分布和电势分布。这些模拟把枯燥的计算公式展现为形象的三维分布图，方便学生理解公式的内涵和重要性，最终明显提高了学生的学习兴趣。

图4 场景示意图

图5 多条均匀带电线段场景

2.3 多个均匀带电球体与球面场景

2.3.1 场景设计原理

首先，计算每个均匀带电球体在全空间的电场和电势分布。然后，根据电场和电势的叠加原理，计算其在多个均匀带电球体场景中的分布。下面，模拟由N个带电量和半径分别为q（m）和R（m=1，2，…，N），球心位置为[x'（m），y'（m），z'（m）]（m=1，2，…，N）的均匀带电球体组成的全空间电场和电势。由高斯定理，第m个均匀带电球体在网格节点[x（i），y（j），z（k）]产生的电场为

式中球心到网格节点的矢量r=[x（i）-x'(m)]e+[y（j）-y'（m）]e+[z（k）-z'（m）]e。 将式（8）代入式（2）可得该场景中电场分布。

第 m 个均匀带电球体在网格节点[x（i），y（j），z（k）]产生的电势为

将式（9）代入式（4）可得该场景中电势分布。

球面场景与球体类似，在这里不再阐述。

2.3.2 场景应用实例

多个均匀带电球体场景中，电场和电势的模拟结果如图6所示。该场景中包含2个电荷量均为1 C，半径为1 m的均匀带电球体，x，y和z方向的计算范围均是从-3 m至3 m，节点数均为100个。 球心坐标分别为（2，0，0）和（0，0，2），相对介电常数为1。图6（a）是xz平面的电场分布，颜色代表电场对数值 lg[|E（i，j，k）|]的大小，箭头表示电场方向。图6（b）为xz平面的电势分布。

图6 多个均匀带电球体场景

多个均匀带电球面场景中，电场和电势的三维模拟图如图7所示。该场景包含2个电荷量均为1 C、半径为1 m的均匀带电球面，x，y和z方向的计算范围均是从-3 m至3 m，节点数均为100个。球心坐标分别为（2，0，0）和（-2，0，0）。整个体系的相对介电常数为1。图7（a）为xy平面的电场分布，其中颜色代表电场对数值的大小，箭头表示电场方向。图7（b）为xy平面的电势分布。

图7 多个均匀带电球面场景

3 教学应用

现在，有不少学生特别重视物理问题的高分做题技巧，而往往忽略了物理问题的内涵。物理课教学的目的并非是做题或考试，而是让学生理解物理的概念、理论和方法，培养其形象思维、抽象思维和逻辑推理能力。同时，为学生学习后续专业课程和实际工作提供知识储备。文章探究内容对应人教版高中物理第九章第3节“电场和电场强度”和第十章第1节“电势能和电势”。因为两者编程类似，所以一起制作。学生在学习静电学时，可以利用教师制作的教学辅助软件，根据自己的想法模拟不同场景下电场和电势的三维分布情况，形成更准确的物理图像。

4 结论

提出了一种在物理教学中将“智慧教育”深入到具体知识点的教学方法，并以静电场分布为例详述了具体实施过程。在静电场教学中，根据学生情况制作教学辅助软件，模拟了四种场景下的静电场和电势的三维空间分布，使学生形成更准确的物理图像。文章详细阐述制作软件的方法，希望更多的老师结合每堂课的知识点和学生的实际情况灵活借鉴，并制作适合自己学生的应用软件。