贾智琪，张忠海，周 林，苏婷婷，梁 旭，何广平

(1.北方工业大学 机械与材料工程学院， 北京 100144； 2.北京航天测控技术有限公司， 北京 100041)

1 引言

自然或人工环境中，因不同设施表面的材料性质不同、表面形貌各异，给攀爬机器人的稳定可靠攀附和移动作业，提出了很大的技术挑战。为了提高攀爬机器人的攀附移动能力，已经提出了较多不同攀爬机器人的设计方案。以往相关研究通常针对特定表面介质，对特定生物的攀附方式进行模仿和迁移。然而目前攀附类机器人的攀附力学性能、机构运动灵巧性、机器人自治运动能效性等，还需要集中优势力量进一步协同探索研究。

本研究中提出了一种铰链连接式可变体履带攀附机器人机构设计方案。如图1所示，该机器人的攀附机构主要由法向吸附履带和钩刺履带铰接，其中法向吸附履带应用磁吸附原理。不同于传统的攀爬原理，机器人整体采用左右对称分布的攀附机构布局，实现钩刺履带切向摩擦力向攀附力的转化，从而丰富攀爬机器人攀附力的生成来源。通过同步推拉机构，一方面实现两侧钩刺履带切向摩擦力在左右方向的平衡，另一方面通过推拉机构的拮抗内力调节，实现两侧钩刺履带转角的调节，达到优化衍生攀附力与运动摩擦阻力的目的。

图1 铰链连接式可变体履带攀附机器人机构示意图Fig.1 Hook-and-spike variant mechanism

从机器人控制的角度来看，阻抗控制更适合于具有耦合力-位置约束的操作任务。将钩刺变体机构的位置和作用力双控制目标转换为描述作用力与机器人运动之间动态关系的动态系统，即可稳定的实现给定的具有耦合力-位置约束的操作任务。迄今为止，阻抗控制在传统的工业机械臂领域得到了广泛的研究，特别是对定阻抗控制技术进行了较为深入的讨论。只是近些年来，变阻抗控制技术越来越受到重视。在文献[15]中，采用有限状态机控制策略，提出了一种基于时变阻抗主动踝足矫形器，从而导致阻抗变化不平滑，系统稳定性未进行分析。在文献[16]中，对时变阻抗控制进行了简要综述，提出了一种基于时变阻尼和质量特性的机器人时变阻抗控制方法，并通过实验确定了时变阻抗控制系统的稳定区域。与时变阻抗控制密切相关的是，在文献[17]中，提出了时变阻抗控制的状态无关稳定条件。

2 钩刺变体机构的建模

2.1 钩刺变体机构

如图1所示，本研究的实验对象是攀爬机器人的钩刺变体机构。机器人整体为对称结构，法向吸附履带组件张紧于同步带轮；钩刺履带组件与机器人主体同步转动，同时每侧有3组连接杆，两组承重连杆，一组主动推拉连杆，通过涡轮蜗杆传动装置，实现钩刺履带组件运动。如图2所示，由电机驱动推杆运动控制钩刺伸出和缩回。

图2 钩刺履带组件示意图Fig.2 Hook-and-spike track

单侧钩刺变体机构的推拉杆件可简化为四杆机构模型，其中机器人本体两侧的法向吸附履带机构作为固定件，使钩刺机构相对机器人本体运动；与蜗杆相连杆件作为原动件；钩刺履带组件整体简化为执行构件，通过推拉连杆与固定件组成四杆机构。这种结构可以使得在关节空间实现阻抗控制。

2.2 钩刺变体机构运动学建模

图3 钩刺机构示意图Fig.3 Four-bar mechanism

其中，

变体机构速度运动学模型为

(1)

(2)

通过式(2)对时间求导，可以得到如下的加速度关系

(3)

2.3 钩刺变体机构动力学建模

假设连杆的质量和惯量远远大于连杆和的质量和惯量，因此忽略连杆和的质量和惯量。假设连杆绕B点的转动惯量为，连杆的质量为，机构的摩擦阻尼系数为，连杆关于铰链的有效重力矩为()，其中为机器人本体的俯仰角(如图4)。则该四杆机构的动力学模型可表示为

图4 机器人本体示意图Fig.4 Climbing robot force state

(4)

其中：为连杆的角位置(0≤≤10)；为作用于铰链的等价驱动力矩；为地面通过钩刺作用于连杆的外力矩；为机构的不确定阻尼系数，实际中可取0<<05。

根据虚功原理，即原动件的瞬时输出功率与连杆的瞬时输出功率相等，即

(5)

将式(2)代入，得到

(6)

即

=或=-

(7)

假设连杆为均质杆，则其绕轴B的转动惯量可表示为

(8)

作用于铰链B的重力矩为

(9)

其中，为机器人本体的俯仰角。

3 钩刺变体机构的阻抗控制

3.1 定阻抗控制器

给定钩刺变体机构期望的位置和力，建立动力学系统的稳定方程，仿真其稳定性。该机构的真实动力学模型为式(4)，实际应用中，期望其闭环动力学为

(10)

(11)

即

(12)

(13)

把式(13)代入式(12)得到

(14)

整理后为

(15)

3.2 时变阻抗控制器

对比定阻抗控制，可以给出期望的时变动力学系统

(16)

其中：()为时变刚度；()为时变阻尼；假设期望的惯量是常数。

()(-)=

(17)

因此连杆的输出特性应表现为具有期望刚度阻尼特性的弹簧。

由式(7)可得外力与具有如下关系

=

(18)

钩刺变体机构的操作刚度可以计算为

(19)

式(19)的右边项可以称为“主动”刚度，因为操作刚度可以通过得到更大范围的控制。在本文中讨论的钩刺变体机构的攀爬机器人，可以通过调整“主动”刚度来控制钩刺变体机构的操作刚度。

联立式(4)、式(13)和式(16)，可以得到

(20)

该式即为钩刺变体机构的时变阻抗闭环控制器。通过给定刚度()，使得钩刺变体机构的闭环刚度具有期望的特性。同时需要设计阻尼()使得闭环动力学式(16)是全局一致渐近稳定(=0)稳定(≠0)。

3.3 阻尼D(t)设计方法

要使闭环动力学式(16)稳定，设计的阻尼需要满足一定条件。该稳定性条件需要通过基于类似Lyapunov稳定性分析的方法来获得。由于该闭环系统式(16)是时变系统，因此分析其稳定性需要基于Barbalat引理。

取正定函数

(21)

其中，>0为常数，()为待定时变函数。对该正定函数对时间求导数

(22)

由式(16)和假设=0得到

(23)

把式(23)代入式(22)有

(24)

令该式中方程右边中间交叉耦合项的系数为零，即

()=()+()-

(25)

其中为常数，因此，式(25)的时间导数为

(26)

把式(25)、式(26)代入式(24)并整理，有

(27)

要使式(21)为正定二次型，应满足条件

(28)

要使式(27)为负定二次型，应满足条件

(29)

通过分析不等式组式(28)、式(29)，满足该不等式组的一个简单解为

()=+

(30)

其中>0为小常数，>0为常数，>0为闭环动力学惯量，可取为常数。

1在>0 的条件下，不等式组式(28)与式(29)可以简化为

(31)

由于假设()>0，如果第一个不等式<()得到满足，那么第二个不等式()+()>自动得到满足。因此，不等式组(31)可以进一步简化为

(32)

为了解决来自不等式组式(32)的阻尼()，将式(32)化简，以使其更加清晰

(33)

()=+,≥0

(34)

3变阻抗控制中控制律是闭环位置反馈系统(20)，这样可以减少钩刺变体机构的硬件成本，以及可以避免在钩刺变体机构的机械结构中安装传感器的困难。为了从位置反馈中获得速度和加速度误差信号，可以利用多种观测器或估计器。

4 数值仿真和实验

钩刺变体机构的结构参数如表1所示。

表1 钩刺变体机构结构参数Table 1 Structure parameters of the hook-and-spike variant mechanism

连杆为机构的固定件且为最长杆，连杆为原动件且为最短杆，由四杆机构的杆长之和条件判断可知

+≥+

(35)

该四杆机构中不包含整转副，即为双摇杆机构。曲柄的行程范围为∈[00°,533°)，摇杆的行程范围为∈[56°,144°]。摇杆的摆动幅度有88°，满足实际攀爬情况。

4.1 定阻抗的数值仿真

参考31节，可以得到钩刺变体机构原动力学模型式(4)。利用设计控制律式(15)，使闭环动力学式(10)具有期望的稳定动态特性。在定阻抗控制律式(15)的作用下，闭环系统的数值仿真结果如图5—图8。具体参数如表2所示。

图5 定阻抗控制下闭环系统状态的时间响应曲线Fig.5 Time responses of the state of the closed-loop system in invariant impedance control

图6 定阻抗控制下闭环系统的输出力曲线Fig.6 The output forces of the closed-loop system in invariant impedance control

图7 定阻抗控制中钩刺变体机构原动件L1摆动的角度曲线Fig.7 The angle of L1 in invariant impedance control

图8 定阻抗控制中钩刺变体机构原动件L1的驱动力曲线Fig.8 The actuation forces of L1 in invariant impedance control

表2 定阻抗控制的初始状态和相关参数Table 2 Initial state of invariant impedance control and related parameters

可以观察到，对于任意给定的交互力=124 N，闭环系统的状态(见图5)是稳定的，输出的交互力也渐近稳定到期望的值124 N。与之相对应，在控制任务中，如图8所示的驱动力是稳定的，且方向不变(始终大于零)。因此曲柄不会出现在反方向。从图7中还可以看出，执行构件角度变化较大。其原因是曲柄的长度远远小于执行构件的长度，使得曲柄角度较大的变化只能驱动执行构件较小的角度变化，这样的好处是曲柄所受到的作用力较小(见图8)，可以降低驱动机构的功率。

4.2 时变阻抗的数值仿真

表3 时变阻抗控制参数Table 3 Variable impedance control parameters

图9 时变阻抗控制下闭环系统状态的时间响应曲线Fig.9 Time responses of the state of the closed-loop system in variable impedance control

图10 时变阻抗控制下闭环系统的输出力曲线Fig.10 The output forces of the closed-loop system in variable impedance control

图11 时变阻抗控制中钩刺变体机构原动件L1摆动的角度曲线Fig.11 The angle of L1 in variable impedance control

图12 时变阻抗控制中钩刺变体机构原动件L1的驱动力曲线Fig.12 The actuation forces of L1 in variable impedance control

由图10可以看出，执行构件输出的力稳定到目标=1.24 N，如图9所示，被控系统的状态也稳定。图9中的波动是由所需的时变刚度()引起的。当操作刚度发生变化时，钩刺变体机构必须调整其位置，以保证输出操作力的稳定性。执行构件的摆动角度波动相对较小(见图9)，但是原动件摆动的角度变化较大(见图11)。因为操作所需的时变刚度()，驱动力(见图12)显示出相当的波动。然而，这恰恰证明了式(9)的“主动”刚度项在钩刺变体机构操作刚度调节中的应用。也就是说，通过采用第3节中提出的变阻抗控制器设计方法，通过主动调节闭环操作刚度，四杆机构驱动的钩刺变体机构能够稳定地完成给定的耦合力-位置约束任务。

通过比较定阻抗控制系统和变阻抗控制系统的数值仿真结果，可以看出2种不同闭环系统的位置误差响应都是稳定的(见图5和图9)。钩刺变体机构期望的相互作用力稳定到给定值(见图6和图10)。通过对比图7和图11，也发现在这2种阻抗控制任务中，推拉机构的执行构件的角度变化都在合理的范围内。然而，由于期望的操作刚度不同，2种阻抗控制任务的驱动力轨迹完全不同(见图8和图12)。这正好证明了3.2节的理论分析，即利用式(9)中的主动刚度项可以将钩刺推拉机构的操作刚度在更大范围内调整。

4.3 实验

在攀爬机器人实验平台上进行实验，以测试所提出的时变阻抗控制器的可行性。将机器人的单侧钩刺变体机构等效为期望的阻抗控制特性后，可实现与机器人“推拉”的效果，如图13所示，给出了阻抗控制下机器人的钩刺变体机构在阻抗控制方法下的实验过程，可验证钩刺变体机构阻抗控制的有效性。

图13 钩刺变体机构阻抗控制运动过程示意图Fig.13 Hook-and-spike variant mechanism impedance control motion

在与仿真实验相同的设置条件下，在钩刺变体机构外侧施加恒定的接触力，分别改变、、值，得到位置误差的响应曲线，如图14—图16，其中相互作用力和位置误差由传感器测量所得。由图可知，实验结果与理论研究相符合。注意，当外部负载()=0时，即使当所需的刚度()是时变矩阵，机器人的位置和交互力都是稳定的。

图14 参数H的影响曲线(实验值)Fig.14 The effect of H by experiment

图15 参数α的影响曲线(实验值)Fig.15 The effect of α by experiment

图16 参数K的影响曲线Fig.16 The effect of K by experiment

在与42节相同的参数设置下，得到钩刺变体机构接触力的变化如图17所示。图17中可以观察到，钩刺与介质表面发生接触，接触力逐渐增大，达到峰值1.9 N左右后逐渐下降，并在约2 s时趋于稳定1.2 N。这也证明了实验结果和仿真结果是符合的，证明了所提出的钩刺变体机构时变阻抗控制方案的可行性。

图17 钩刺变体机构的接触力曲线(实验值)Fig.17 The output forces of the closed-loop system by experiment

此外，还分别在钩刺伸出状态和收缩状态下的攀爬实验。如图18所示，在软木材质表面，使用钩刺变体机构进行攀爬时，最大攀爬角度为45°左右；钩刺收缩时，同等条件下最大攀爬角度最大仅为30°。在实验过程中，攀爬机器人的钩刺变体机构增强了在一类特殊表面下的攀爬能力，但钩刺机构也会对攀爬表面产生一定的破坏性，需要在不介意破坏工作表面的环境下进行。多角度攀爬实验也证明了应用时变阻抗控制方法的可行性，以及钩刺变体机构对机器人在复杂表面中攀爬能力的提升。

图18 钩刺伸出(45°)、收缩(30°)时攀爬示意图Fig.18 Maximum climbing angle when the hook extends (45°) and contracts (30°)

5 结论

研究了攀爬机器人钩刺变体机构的变阻抗控制问题。应用一种新形式的Lyapunov函数，提出了一种关节空间变阻抗控制方法和闭环系统状态无关的稳定条件。为了简化控制参数的选择，将求解一组不等式问题转化为选择唯一标量参数。在刚体模型的基础上，基本掌握了四杆机构驱动的钩刺变体机构的关节空间动力学特征，以实现时变阻抗控制。通过数值仿真和实验证明了时变阻抗控制律的有效性。通过多角度攀爬实验说明了应用时变阻抗控制方法的可行性以及钩刺变体机构对机器人在复杂表面中攀爬能力的提升。