夏国锋，向凤红

(昆明理工大学 信息工程与自动化学院， 昆明 650500)

1 引言

板球系统(ball and plate system，B&P system)，是一个具有非线性、强耦合、参数不确定性和未知扰动的二维控制对象，涉及到运动控制、机器视觉、智能控制算法等多个研究领域。多场融合的特性使球板系统的研究具有挑战性。其被许多学者作为学习和研究各种控制算法的实验装置，常用来检验各种控制策略的有效性。其研究涉及到动力学模型和视觉伺服模型。对其动力学特性研究成果对非线性控制理论、机器人动力学、伺服控制等研究具有指导意义。对其视觉伺服模型的研究，目前研究较少，比如位置跟踪、避障运动控制包括静态障碍物和动态障碍物的研究，这将带动人工智能领域的发展，比如图像识别与定位、路径规划、无人驾驶、航空航天等领域具有非常实用的价值。它是从事机器人动力学、非线性控制理论、视觉伺服控制等研究领域较为典型的实验研究平台，具有重要的理论与实际意义。

在过去的20年里，板球系统的复杂特性、集总不确定性和噪声扰动给研究人员带来了严峻的挑战。经典的控制策略，如PID控制、模糊控制、滑模控制、LQR控制等已普遍被使用。尽管PID和智能控制理论在板球应用中都取得了显著的进步，但在高非线性、各种不确定性和干扰的情况下，如何成功地控制板球系统复杂的高度非线性和多变量动力学，并完美地跟踪所期望的轨迹，仍然是一个相对具有挑战性的问题。这主要是因为这些经典的控制方法通常考虑板球系统的一个简化数学模型，该模型具有未知扰动和不确定性，包含未知或可变的外部负载扰动、摩擦力、交叉耦合和噪声扰动等。在许多情况下，现有的数学模型无法描述实际系统的所有动态行为，动态特性的未表达部分称为未建模动态。然而，在板球系统应用中，忽略模型的不确定性和噪声扰动极大地影响了板球系统的控制精度。被控系统的复杂性使得控制器的设计、分析和实现需要一些实际的考虑。通常，板球系统模型中存在的扰动和较大的不确定性会影响闭环稳定性，并显著降低跟踪精度和速度方面的性能。同时考虑未建模动力学和噪声扰动约束的不确定非线性板球系统目前尚未得到广泛研究，为此，发展先进的板球系统控制设计策略已成为近年来的迫切研究课题。

本文中对存在噪声扰动的板球系统控制进行综述：首先，分析归纳了板球系统现有控制研究情况；根据系统控制信息的来源，从动力学模型和视觉伺服模型进行综述和控制方法归纳；其次，考虑到控制策略和补偿方法有机结合的特点，总结了一些先进的干扰观测器和滤波补偿技术；最后，结合小波神经网络在非线性系统控制领域突出效果以及板球控制系统存在的主要问题进行了探讨并对其后续发展进行了展望。

2 国内外研究现状

文献[1,6]介绍了从20世纪80年代末TQ公司设计的CE151板球系统到至今的深圳元创新科技公司开发的视觉板球系统(如图1所示)和深圳固高科技公司设计的适合各高校使用的板球实验平台的GPB2001型板球系统(如图2所示)，对板球系统的国内外发展史作了系统的介绍。关于板球系统实物发展历程的相关综述已有较多文献报道。然而，目前对于板球系统的控制方法综述还较为少见，因此本文接下来将着重介绍板球系统现有的控制研究。目前，对于板球系统的控制研究，主要可以分为以下两类。

图1 元创新科技板板球系统实物图Fig.1 Yuan Chuang new technology physical map of B&P system

图2 GPB2001板球系统实物图Fig.2 GPB2001 physical map of B&P system

第一类是在不考虑B&P system精确数学模型的情况下，采用PID控制或模糊控制等方法，这里将这类研究细化为3种情况进行介绍。第一种情况是采用传统的PID控制方法进行控制，如文献[8-11]。其中，Mochizuki等在反馈回路中加入了低通滤波过程，以减小测量噪声的影响，并且其利用GKYP引理设计I-PD控制器可以抑制因跟踪信号变化过大造成的控制器饱和现象，然而由于其模型进行了太多简化和低通滤波器的特性跟踪实验并不理想。Galvan等为了克服板球系统的非线性因素采用了带补偿的双PD控制方案，在PD控制基础上设计了非线性补偿，其响应和调节时间虽有提升却加大超调。Pinagapani等在较多外部扰动下实施干扰观测器(DOB)来抑制扰动，采用DOB增强型PD控制器在稳态误差、超调百分比和稳定时间上得到极大改善。PID方法作为适用范围较广的控制策略，其设计过程中的一个重要阶段就是控制器参数的选取。因此，第二种情况便是结合一系列的优化方法来整定PID控制器的参数，具体可见文献[5,12-14]。这些控制方法相较于PID而言，可以改善超调。在保证B&P system快速性的同时，获得更好的收敛性。对于跟踪问题，由于这类方法可以在线高效修正控制器参数，因此跟踪精度和快速性得到了较大改善。第三种情况则是采用模糊控制器来实现板球系统的控制，如文[15-18]。其中，为了保证闭环系统的稳定性和跟踪误差趋于零领域内的收敛性，韩京元等设计间接模糊控制器和自适应律，不管增益矩阵是否可逆系统均收敛，还能提高控制效果，证明了该控制方法能应用难以建模的不确定多变量系统和控制矩阵不可逆的非线性对象中。高永新等提出变论域模糊控制算法，能够提高控制算法的执行效率和降低功耗，还能改善系统动态品质因素。Zheng等针对视觉部分将模糊控制器和PID结合共同作用，与PID相比，该方案具有更好的稳定性、跟踪误差小等特点。Singh等设计了神经集成模糊控制器(NiF)混合控制方法，采用环境自动调整激活函数，能减少错误形成的模糊，与其设计的神经集成模PID(NiF-P)、PID相比，NiF具有适应性强、控制性能优良、鲁棒性强、球平衡器系统峰值超调和稳态误差低的特点，使系统易于进行适当的平衡。

第二类是基于复杂数学模型进行的控制器设计研究，通过设计控制器对系统存在的不确定性、未知扰动和噪声进行补偿，进而达到高精度控制的效果。在非线性系统控制的研究中，诸如滑模控制、鲁棒控制、LQR控制、神经网络控制、自抗扰控制，他们大都结合干扰补偿和滤波器，无须被控对象的精确数学模型，既能对不确定性和扰动进行补偿，又能对系统进行精跟踪控制，因此得到了快速发展。徐峰系统综述了滑模控制的国内外研究现状及在板球系统中的应用。在线性滑模控制、终端滑模控制以及趋近律的理论中，仍存在着一些问题和缺陷，例如:滑模控制的开关特性应用中会导致高频抖振现象和控制器设计中要求系统阶次对滑模面的相对阶为1等。针对以上滑模控制的不足，李江峰等提出了新型幂趋近律滑模控制，Fallaha提出了新型指数趋近律，李江峰等将文献[20]和[21]结合得到了最优组合滑模控制，有效地降低了抖振。Li等对滑模变结构控制的逼近速度慢和抖动问题，设计RBF神经网络逼近板球非线性未知部分来降低模糊增益，相较于文献[4]该策略响应速度快，控制精度高，有效减弱了控制输入的抖动。韩光信等在输入受限情况下结合微分平坦方法设计滚动LQR控制器，对比滑模抗饱和控制具有更强的抗干扰能力。李小华等综合考虑了各种扰动、随机激励因素与控制器饱和现象建立的随机数学模型,采用RBF设计的全状态约束控制器，可以保证跟踪误差在指定时间内收敛，然而其响应较慢。文献[27-28]提出自抗扰控制器解决不确定性和扰动，该方法依赖于系统的一个模型通过设计ESO估计系统不确定性和扰动，利用ESO构造合适的控制律，使系统从作用于被控对象的扰动中解耦，有效地解决了摩擦力、噪声扰动的影响。Ho等设计输入-输出反馈线性方法，采用DSP来实现控制算法和复杂的计算，近似线性化非线性系统，球位置的确定基于透视针孔相机模型，其实验证明了该方法的有效性。通过以上两类控制方法的综述，总结了这些控制方法的优缺点,如表1。

表1 现有控制方法的优缺点Table 1 Advantages and disadvantages of existing control methods

针对以上分析可以看出，这些控制策略有的结合滤波器补偿，有的结合干扰补偿，他们的有机结合能够有效地降低干扰、提高控制精度，如文献[2,9,11,27-28]，但是这些噪声扰动补偿技术相对较落后，面对板球这样的高度不确定性和多扰动模型急需一些高效的噪声扰动补偿技术。另外，神经网络大多是与其他理论结合共同作用的，如文献[2,12,14,22,25-26,34]，他们都使用RBF神经网络来进行调节和控制。神经网络都有一个共性，即其具有很强的非线性拟合能力，可映射任意复杂的非线性关系，且学习规则简单；具有很强的鲁棒性、记忆能力、非线性映射能力以及强大的自学习能力。然而，RBF神经网络的性能主要体现在其基函数上，而基函数的特性主要由基函数的中心确定，RBF往往是从数据点中任意选取中心构造基函数，这样构造的基函数在许多情况下难以反映出系统真正的输入输出关系，并且初始中心点数太多，另外优选过程会出现数据病态现象。不仅如此，RBF常使用高斯核函数，但该内核在计算过程中遇到更复杂的信号时，无法适当接近目标。有一些文献还表明，RBF网络和SVM中的高斯核不能通过平移在子空间中理想地生成一组完整的基。与RBF不同的是，小波神经网络(wavelet neural network，WNN)结合小波理论吸收了小波的多分辨率和神经网络的优点，具有局部特性和全局特性。一些潜在的小波函数可以转化为核函数，它们可以通过拉伸和平移在空间中产生一组完整的基。因其有限支持性和自相似性的内在性质，适用于具有局部和快速变化的未知非线性函数的逼近，被广泛应用于非线性系统的辨识和控制中。WNN控制的主要强度与实时自适应学习能力有关，这本质上使WNN控制技术在不能充分了解被控对象动力学的情况下更适合。换句话说，WNN有能力处理广泛的不确定性和干扰，并且独立于系统的精确数学描述。除了概念上的唯一性和实际实现的简单性外，它还适用于多机电力系统、机器人、无人机、开关系统、卫星等领域，在这些领域都取得了相当丰硕的成果。因此，面对板球系统这样的非线性不确定系统，小波神经网络具有更广阔的应用价值。

3 数学模型

系统的控制可以通过摄像头采集的图像信息和角度编码器采集的电机位置信号为反馈信息，采用视觉反馈和编码器反馈相结合的传感方式得到系统的反馈，并以此为依据进行控制，通过转动平板，来控制小球的实际位置和运动轨迹。为了对板球系统进行精确控制，就要对其进行精确地建模。然而，板球系统中存在的不确定性扰动、板与球间的摩擦力以及向心力项和耦合项，不确定性和外部干扰项,主要包括变量的耦合、小球与平板之间的滚动摩擦和传动机构的变化等。这些不确定性扰动给板球系统的建模和控制带来了严峻的挑战。随着控制领域的发展，对控制系统的性能和精度提出了更高的要求。

3.1 动力学模型

板球系统的动力学模型如图3所示。球的位置可分解为轴和轴方向。

图3 板球系统动力学模型示意图Fig.3 Schematic diagram of the dynamic model of B&P system

板球系统基于能量的拉格朗日方程推导，依据式：

(1)

应用欧拉-拉格朗日方程，给出了球板系统的数学模型：

(2)

此外，如果忽略耦合项和摩擦力，一般情况下，小球运动速度很低，和很小不超过15°可做近似处理sin()≈、sin()≈,将系统分解成方向和方向2个解耦后的子系统。它的模型便可以写成如下：

(3)

3.2 电气模型

电机轴的位置通过电机附带的编码器进行检测，但是角度和电机轴存在一个减速比，编码器输出脉冲信号，并反馈给驱动器，驱动器接收增量式编码器的信号。电机的电气关系如下：

(4)

转矩平衡方程为：

(5)

则电机位置和误差信号的传递函数为：

(6)

式中：、、、为转矩常数；为电机轴转矩；为摩擦力；为转速比。

3.3 视觉摄像机位置标定

基于视觉传感的板球系统依靠摄像机采集到在板上运动的小球的图像，识别出小球的质心位置；控制系统通过坐标变换计算出小球在板上的真实坐标，并对小球的位置进行控制。在进行控制之前，对摄像机内外参数标定是进行坐标变换的关键。球位置的确定基于透视针孔相机模型，由下式给出：

=

(7)

(8)

这里，(,)是图像坐标系上的主要点，以像素为单位；是单位长度的大小，以水平像素为单位；是垂直像素单位长度的大小，是像素的偏斜。 选择世界坐标系，轴垂直向上，原点位于板的中心。外部相机参数由如下的矩阵表示：

(9)

其中是世界坐标系原点到相机坐标系原点的距离。=-，其中是球的半径。因此可以求出球的位置：

(10)

通过以上模型的建立可知，电机和传感器都存在摩擦力和噪声，来自相机的球位置数据包含也会降低稳态响应的测量噪声。动力学模型和视觉伺服模型都涉及到不确定性、摩擦力以及测量过程中存在的噪声等扰动，他们的存在增加了系统控制难度。然而，在大多数情况下，未建模的动力学会扰乱系统，使其无法达到最优控制目标，从而导致系统不稳定。因此，如何解决这些问题就成为非线性系统控制器设计的必然。文献[36-37]将系统模型线性化，正如式(3)的模型，并未考虑非线性耦合，外部干扰等问题，实物仿真稳定性差，表现出严重扰动。Singh等将平板偏转角度折合到电机上同时也忽略了摩擦力耦合项等因素，利用改进的蚁群优化PID在平台上运行，对比传统PID其稳定性虽有改善但扰动没有很好地抑制。Pinagapani等因系统作了大量简化又增加了系统阶次，引入DOB来消除不确定和扰动。Borah等忽略了耦合项但考虑了球和板间的转动惯量，设计了元启发式技术优化FOPD参数，相较于人工整定FOPD具有更强的稳定性和跟踪精度。Xu等也是在简化模型上设计滑模控制解决抖振问题，其仿真虽能削弱抖振现象可惜却没在实物平台运行。韩光信等为了获得在输入受限情况下的轨迹跟踪性能，设计滚动LQR控制器，实现了板球系统在输入约束范围内精准的轨迹跟踪控制。系统的模型简化或采用一些假设，这样系统的精确控制是很难保证。因此，对于板球非线性系统而言，需要进一步考虑输入约束问题。

由于执行器的物理限制和机械设计制造的限制，实际控制系统中不可避免地存在外部干扰、摩擦力等约束。它们的存在会降低控制系统的性能，甚至导致系统不稳定。因此，近年来，具有这种约束的非线性动态系统越来越受到人们的关注，并取得了大量的研究成果。Wang等针对未知摩擦力的非严格反馈形式，提出了自适应RBF神经网络控制很好的抑制了摩擦扰动。李小华等综合考虑了各种扰动、随机激励因素与控制器饱和现象建立的随机数学模型,设计的全状态约束控制器，可以保证跟踪误差在指定时间内收敛。Wang等针对板球系统摩擦补偿问题，提出了一种基于降阶扩展状态观测器的线性控制律。通过设计合适的噪声扰动补偿策略可以有效降低不确定性扰动。

通过动力学模型和视觉伺服模型的建立和分析，归纳了2种模型的控制方案，如表2所示。

表2 2种模型控制方案Table 2 Two model control schemes

4 干扰补偿和噪声补偿

如第二部分所述，板球系统具有未知动力学、外部负载扰动、噪声扰动、交叉耦合干扰和摩擦力等扰动。即便是像式(2)的模型考虑了耦合项和摩擦力的非线性动态模型，然而对于外界干扰、未知动力学、噪声扰动等的不确定扰动，没有考虑系统运行中传感器的测量噪声和电机的过程噪声的影响，使得电机在实时控制中随机振荡，不利于系统的定位控制，系统仍无法准确的建立数学模型。这给板球系统的控制带来了严峻的挑战。因此，有必要对系统的未知扰动和噪声干扰进行估计补偿。

4.1 干扰观测器

当干扰可量时，众所周知，前馈控制可以削弱或消除干扰。然而，通常情况下，外部干扰无法直接测量或者测量成本太高。所以一个直观想法是采用估计策略，从可测量的变量中估计扰动，然后根据估计值采取有效控制从而可以实现扰动补偿。这个基本思想可以直观地扩展到处理不确定性，其中不确定性或未建模动态的影响可以被视为干扰的一部分。因此，采用这种方法可以抑制或消除不确定性的影响，并且可以提高系统鲁棒性。在这种情况下，扰动不仅指来自控制系统外部环境的扰动，还指受控系统的不确定性，包括未建模的动力学和参数扰动。目前，一种有效抑制干扰的方法是基于干扰观测器的控制(DOBC)电路，如图4所示。

图4 基于干扰观测器的控制 (DOBC)电路图Fig.4 Control schematic based disturbance observer(DOBC)

如图4所示，由于内环未激活，因此在没有不确定性的情况下保留了标称性能，因此它简化为带有控制器C(s)的经典反馈回路。但是，由于存在不确定性，内部循环被激活，因此可以抑制不确定性的影响。自1960年代以来，已经提出了许多干扰补偿技术，例如扰动观测器、扩展状态观测器(ESO)，不确定性和干扰估计器(UDE),干扰观测器(DOB)，非线性干扰观测器(NDO)。在这些干扰估计方法中，DOB、NDO和ESO得到了最广泛的研究和应用。

DOB是Ohnishi和他的同事在1980年代初期主动提出的，旨在通过估计负载扭矩来改善扭矩和速度控制。DOB的集总扰动的估计由下式给出：

(11)

ESO是Han在1990年代首次提出的，他致力于开发一种替代经典PID的实用控制方法。不确定性和外部扰动组成的集总不确定扰动，可通过设计开发ESO来估计。其设计如下：

(12)

很明显，ESO估计了模型动力学和外部扰动的影响。在ESO设计中只需要考虑系统的相对程度。因此，ESO的显著特点是它需要关于动态系统的最少信息，扩张状态观测器估计低频扰动、内模观测器估计齿槽转矩的串联形式具有更优的扰动观测效果。已经进行了各种扩展以将基本的ESO设计扩展到更广泛的动态系统。为放宽外部扰动和不确定性影响由未知常数扰动建模的限制，针对一类受外部系统支配的扰动的仿射非线性系统，通过在文献[53]中构建非线性观测器，提出了一种以指数收敛速率估计扰动的非线性干扰观测器(NDO)。Mohammadi等除了干扰抑制外，干扰观测器还可用于力的控制，对机器人非线性扰动观测器NDO设计如下：

(13)

(14)

所提出的NDO的收敛性和性能已经在中针对缓慢时变扰动证明。Yang等将NDO用于受时变环境干扰和输入饱和影响的动态定位船，有效地估计未知扰动和不确定性。这表明该NDO的广泛应用，特别是用于估计不确定性的影响。

4.2 滤波器

状态估计，也称为滤波，是控制系统理论中的一个基本主题。该问题包括从一组测量中估计动态系统的状态。非线性动态系统的状态估计问题在车辆导航、信号处理、雷达跟踪、自动控制等众多科学和工程领域有着广泛的应用。鉴于其重要性，状态估计在过去的几十年中得到了广泛的研究，特别是在1960年代初之后，当著名的卡尔曼滤波器首次被引入时。由于其简单性，卡尔曼滤波器自问世以来一直是最受欢迎和使用最广泛的方法之一。它通过最小化估计误差方差来运行。然而，它是建立在以下假设之上的，即底层系统的精确状态空间模型可用，这在实践中很少成立。此外，由于传统卡尔曼滤波只能对线性系统进行滤波，而对于非线性系统其应用极大受限。通常板球系统是非高斯系统，从而使得KF的效果受到了限制。而粒子滤波算法不受限于模型与噪声的类别，正好弥补了这个缺陷。另外，又有人提出了扩展卡尔曼滤波(EKF)。EKF是卡尔曼滤波的一个非线性版本，是最常用的非线性滤波方法，与KF相比具有许多优点。目前，对于扩展卡尔曼滤波的研究，已经存在相当多的文献。Valipour等设计EKF，用于处理非零平均过程不确定性估计。Zhang等构建了EKF，来估计和补偿系统集总扰动，以在存在模型不确定性和测量噪声的情况下估计系统状态和干扰。

无迹卡尔曼滤波器(UKF)由于其计算过程简单，在高非线性系统中性能优越，是一种非线性动态系统状态估计方法。UKF利用无迹变换(UT)估计传播的均值和协方差，它是UKF滤波的密钥，它使用特殊排列的点进行非线性变换，估计均值和协方差的更新，与卡尔曼滤波的扩展卡尔曼滤波器相比具有更高的效率和精度。这2种方法在[65]中作了比较。考虑到近似概率分布比任何其他非线性变换容易得多，UKF直接用无迹变换逼近状态分布的概率密度，克服了EKF中所涉及的线性化误差，因此UKF可以逼近任意高斯随机变量在三阶精度上的后验均值和协方差。

容积卡尔曼滤波器(CKF)与UKF相比，CKF由于使用了最少的采样点，可以在保持估计精度的同时减少计算时间。EKF是最著名的 KF 非线性近似。然而，EKF中非线性系统的线性化会导致近似误差和繁琐的计算。相比之下，UKF由于其线性化和无导数具有更多的优势，并且与UKF相比，CKF的理论推导更加严格，其稳定性更好，尤其是在高阶系统中。表3归纳了扰动补偿和噪声补偿技术的优缺点。

表3 扰动补偿和噪声补偿的优缺点Table 3 Disturbance compensation and noise compensation

5 结论

板球系统作为国内外学者学习和研究控制的理想平台，常用来检验控制策略的效果，对其开发有助于理解基于多学科机电一体化设计原理对各种系统参数的不同控制设计。这也可以集成到工业机械、车辆、航空航天和国防系统等关键装备组件上，其准确的动力学特征和视觉伺服特征将为机械电力设计动静性能优化和图像采集定位设计及优化控制提供重要的理论基础。然而板球系统的影响因素众多、作用机理复杂，并且具有很强的非线性、强耦合、不确定性，需要从未知动力学、外部负载扰动、交叉耦合干扰、摩擦力和噪声扰动等多个方面描述其模型机理。本文基于板球系统噪声扰动特点梳理总结了关键技术问题，从现有控制研究策略、动力学建模和视觉伺服建模、干扰补偿和噪声补偿技术等3个方面，对控制建模技术现状和存在难点进行了归纳和总结，介绍了后续研究的新技术和新方法。现有研究存在如下问题：

1) 现有研究多采用理想化模型，模型简单或采用一些假设，对未知不确定性、强耦合干扰，外部扰动、摩擦力和噪声等相关考虑较少，这样系统的精确控制很难保证，有必要建立系统精确模型。

2) 目前的研究大多停留在动力学模型，对视觉伺服系统研究较少。对视觉部分的研究涉及到图像采集和处理、机器视觉，由于欠驱动未知动力学特性使得这部分的研究困难。应精确采集和定位小球位置，实现精确跟踪控制。

3) 已有的方法大多采用PID或PID与优化算法结合、模糊控制算法或滑模控制算法进行镇定或轨迹跟踪控制，因此针对未知不确定、多扰动下的板球系统控制还需更高效的算法支撑。近年来，小波神经网络在辨识优化和自适应控制上显示出优越的性能，将WNN应用在未知扰动不确定系统中，可获得良好的效果。基于WNN理论有效控制板球是未来重要的研究方向。

4) 现有板球系统的模型存在局限性。对板球系统的扰动并未细致的分析设计，如不可测量的摩擦力、外部扰动并未建立合理的摩擦力模型和干扰补偿描述系统的摩擦干扰特性，应进一步探究对过程噪声和测量噪声进行合理的滤波补偿，在模型中综合考虑不确定、未知扰动，提高控制的精确性。

因此，应该充分利用干扰观测器和滤波补偿技术估计系统状态和干扰准确的优势，协同利用先进控制技术的强跟踪控制特性，尽量做到进一步利用和开发WNN响应快、逼近性好等优势，争取在解决不确定性、 强耦合、多扰动下的非线性系统控制方面有所突破。