骆仁松， 汪 涛， 李 琳， 刘 任， 袁 轩， 虞晓阳

(1.南京南瑞继保电气有限公司，江苏 南京 211102；2.新能源电力系统国家重点实验室(华北电力大学)，北京 102206)

0 引 言

随着特高压交直流输电、智能电网、微电网的不断发展，以及持续扩大水能、风能、太阳能等新能源并入电网的规模，对电能处理和转换单元提出了小型化、轻量化和灵活控制等严格的要求[1]。在这种背景下，性能优异的电力电子变压器(也称固态变压器)在近些年来得到了全球工业界和学术界的广泛关注[2]。高频变压器相比于传统的工频变压器具有体积小、重量轻等优势，是电力电子变压器内部的核心元件，其运行特性直接决定了整个电能转换系统单元的电能传输质量。然而，随着激励频率的提升，高频变压器的集肤和邻近效应将会明显增大，从而它的绕组损耗也会必可避免地增大，进而带来严重的温升和散热问题[3，4]。通过对高频变压器的材料和结构进行全局优化设计，可有效降低绕组损耗，而提出一种准确且高效的高频变压器绕组损耗计算方法是实现这一目标的基本前提。

目前，通常选用股径较小、集肤效应较弱的利兹线作为高压大容量高频变压器的绕组[5，6]。根据围成形状的不同，利兹线可分为矩形利兹线和圆形利兹线[7，8]。由于圆形利兹线更易于缠绕，使得它在实际工程中的应用更多[2,7-9]。高频变压器绕组损耗计算方法分为数值算法[9]和解析算法[11，12]。其中，数值算法虽然求解精度更高，但是仿真时间较长，并不适用于高频变压器的全局优化设计；而解析算法计算效率较高，与高频变压器的全局优化设计更兼容。最早用于高频变压器绕组损耗计算的解析算法是1966年提出的Dowell公式[11]。该公式是基于箔式绕组和1维电磁场理论模型推导的，具有简洁、优雅、易用等优点，并通过直流电阻不变的原则也推广至了实心圆导线等绕组结构的损耗计算当中，是目前求解高频变压器绕组损耗最常用的计算公式[13，14]。在1994年，Ferreira发现了单根实心圆导线模型电磁场的集肤效应与邻近效应相互正交，并根据这一原则提出了Ferreira公式，但仅针对的是实心圆导线绕组结构，到目前还未得到广泛的应用[14]。而在2001年，Tourkhani[9]根据集肤效应与邻近效应相互正交的原则和圆形利兹线独有的结构特征，推导并提出了一种专门也是目前唯一针对圆形利兹线绕组损耗计算的解析公式(简称Tourkhani公式)，并在圆形利兹线高频变压器的全局优化设计中得到了应用[8]。然而，不管是Tourkhani本人[9]亦或是运用该公式的其他学者[8,13]，均未对其精度进行实验验证，因而它的适用性和适用范围还有待商榷。

为此，本文首先分析了推导Tourkhani公式所用的基本假设和原理，其次设计并制作了两台圆形利兹线高频变压器样机(股径分别为0.1 mm、0.2 mm)，测量了它们在宽频激励下的绕组损耗，并将该测量值与基于Tourkhani公式、Dowell公式的计算值分别进行了对比，从而首次利用实验的方式对Tourkhani公式的求解精度进行了客观真实的评价，指出了该公式存在的问题，也给出了其所适用的范围，为圆形利兹线高频变压器绕组损耗的计算及其全局优化设计提供了有益参考。

1 求解圆形利兹线损耗的Tourkhani公式

1.1 磁场分布

如图1所示，高频变压器任意一匝圆形利兹线内部任意一点的磁场强度H包含了两个分量：内部股线产生的磁场强度Hint、其他绕组产生的外部磁场强度Hext。其中，假设外部磁场强度Hext沿z轴方向服从1维分布。内部磁场强度Hint包含x、z两个分量。

图1 漏磁场在利兹线绕组的分布情况Fig. 1 Leakage magnetic field distribution in a Litz wire winding

因此，高频变压器圆形利兹线绕组任意一点总的磁场强度矢量H可表示为

H=Hext+Hint=(Hext+Hintcosθ)·ez-

Hintsinθ·ex

(1)

式中：ex、ez分别表示x、z轴方向的单位向量。

如图1所示，根据圆形利兹线在高频变压器窗口的分布情况可知，第k层利兹线绕组任意一点(Δx)的外部磁场强度Hext标量值为

(2)

式中：n为每层利兹线匝数；I为利兹线电流幅值；hw为利兹线绕组高度；dLitz为利兹线绕组的直径；Δx为利兹线绕组任意一点距离其最左侧点的水平距离。

为方便计算，可将外部磁场强度Hext表示成极坐标的形式。根据极坐标的定义，利兹线绕组内部任意一点距离其最左侧点的水平距离Δx表示为

Δx=rLitz+rcosθ

(3)

式中：r为利兹线内部任意一点具体距离其中心的距离；rLitz为利兹线绕组的半径。

因此，第k层利兹线绕组任意一点(r,θ)的外部磁场强度Hext标量值为

(4)

另外，由图1可知，利兹线内部任意一点(r,θ)的内部磁场强度Hint可表示为

(5)

从而根据式(1)、(4)、(5)，可得第k层利兹线任意一点(r,θ)总的磁场强度矢量H为

(6)

1.2 Tourkhani公式

在推导出高频变压器窗口内圆形利兹线绕组的磁场表达式(6)后，利用相关电场能量积分的方法即可推导出圆形利兹线绕组损耗的解析公式[9]。该公式通常被称为Tourkhani公式[13]。

根据附录A的推导结果，位于第k层第t匝利兹线内部单根股线的涡流损耗表达式为

(7)

式中：ρ为利兹线绕组的电阻率。

利用上式(7)结果，可得第k层第t匝利兹线内部平均的涡流损耗密度为

(8)

式中：β为利兹线的填充因数；H为利兹线内部任意一点(r,θ)的漏磁场大小，其大小的平方可根据式(6)求模值而得：

(9)

对上式(8)进行积分，并利用上式(9)的结果，可到第k层第t匝利兹线单位长度的功率损耗为

(10)

式中：N0为单根利兹线内的细导线股数。

从而，高频变压器圆形利兹线绕组单位长度的功率损耗P为

(11)

根据上式(11)的推导结果，可得高频变压器圆形利兹线绕组单位长度的交流电阻为

(12)

高频变压器圆形利兹线绕组单位长度的直流电阻表达式为

(13)

最后，Tourkhani提出的圆形利兹线绕组交流电阻系数表达式为

(14)

在原文献[9]中，Tourkhani在其给出的交流电阻系数表达式(文献[9]的式(23))的分母中漏写了一个2。本文给出了正确完整的高频变压器圆形利兹线交流电阻系数的表达式(14)。

2 Tourkhani公式精度的实验验证与理论分析

图2为圆形利兹线高频变压器样机绕组损耗测量的实验布置图。在实验中，采用Agilent 4294A精密阻抗分析仪测量样机的交流电阻。样机初级侧与阻抗分析仪夹具电极相连，次级侧短路，这样可使磁心损耗为零，排除磁心对测量结果的影响。测量前进行开短路校准，提高测量结果的准确性，测量过程中施加低电平电流，以确保变压器工作在线性区[15，16]。Agilent4294A精密阻抗分析仪是一种可以对元件和电路进行高效率阻抗测量和分析的综合测试仪器，凭借自动平衡电桥技术，在其所覆盖的测试频率范围内(40 Hz～110 MHz)基本阻抗精度可达到±0.08%。它拥有出色的高Q/低D精度，适于对低损耗元件进行分析，较宽的信号电平范围也能在实际工作条件下对器件作出准确评估。在测量高频变压器样机绕组损耗之前，测试了其寄生电容随频率的变化规律，发现寄生电容较小，且几乎不随频率而变化，因此可寄生电容对高频变压器样机绕组损耗的影响。

图2 实验布置图Fig. 2 Experimental setup

2个样机结构参数表1所示，归算至初级侧的交流电阻测量结果如图3所示，并在图中分别给出了Tourkhani公式、Dowell公式的计算结果。图4给出了两种公式在两个高频变压器样机绕组损耗求解中的计算误差。

表1 2个圆形利兹线高频变压器样机的结构参数Tab.1 Structure related parameters of the two prototyped high frequency transformer with round Litz wires

从图3和图4的对比结果中可以看出：

图3 高频变压器样机绕组损耗的测量值与计算值Fig. 3 Measured and calculated winding losses of the prototyped high frequency transformers

图4 两种绕组损耗求解方法的计算误差Fig. 4 Errors of the two windingloss calculation methods

1)对于样机1(ds=0.1 mm)而言，Tourkhani公式的绝对误差首先随着频率提升而逐渐增大，在36 kHz附近达到最大值63.1%；当频率超过36 kHz时，Tourkhani公式的计算误差随着频率的提升而逐渐减小，在200 kHz下达到最小值22.5%。

2)对于样机2(ds=0.2 mm)而言，Tourkhani公式的绝对误差也首先随着频率提升而逐渐增大，在12 kHz附近达到极大值43.2%；当频率超过12 kHz时，Tourkhani公式的计算误差随着频率的提升而逐渐减小，在27 kHz下达到最小值0.009%；而当频率超过27 kHz时，Tourkhani公式的计算误差随着频率的提升而逐渐上升，在200 kHz达到最大值59.3%。

3)在低频率范围内(对样机1而言为f= 0～14 kHz、对样机2而言为f= 0～26 kHz)，Tourkhani公式与Dowell公式的绕组计算值基本重合；但在高频范围内(对样机1而言为f>14 kHz、对样机2而言为f>26 kHz)，Tourkhani公式与Dowell公式的绕组计算值不再重合，而是Tourkhani公式的绕组损耗计算误差较大，Dowell公式的绕组计算误差较小。因而从整个宽频范围内看，Dowell公式的综合性能优于Tourkhani公式。

Tourkhani公式出现上述误差的主要原因在于：文献[8]在推导圆形利兹线绕组损耗公式的过程中，假设了任意一匝利兹线内部磁场强度或磁通密度在x轴方向上的贡献仅来源于该利兹线自身，而利兹线在高频下表现得更为显著的邻近效应仅在z轴方向上对利兹线内部磁场产生贡献。而通常在高频激励下，圆形利兹线高频变压器绕组的磁场分布不在严格服从上述假设，而是利兹线绕组显著的邻近效应不仅在y轴方向产生磁场贡献，而且也会在x轴、z轴其他方向产生较大磁场贡献[17]。此外，Tourkhani在推导圆形利兹线交流电阻系数解析表达式的过程中，做了多次近似处理。例如，其认为单根股线涡流功率损耗的平均值即为利兹线的涡流功率损耗密度，如公式(8)所示；同时，Tourkhani简单了利用利兹线的填充因数考虑利兹线内部空隙部分的漏磁场；也假设了磁芯内绕组窗口中的磁场强度与磁芯外绕组窗口中的磁场强度一致，且也认为高频变压器轴向场强的磁路长度等于利兹线绕组的高度，然而这并不符合实际情况。以上近似处理均会使Tourkhani公式求解高频变压器圆形利兹线绕组损耗的精度降低。

综上所述，还需提出精度更高的圆形利兹线绕组损耗的解析公式，使其适用于较高频率范围内的圆形利兹线高频变压器绕组损耗的准确计算。

3 结 论

圆形利兹线凭借其灵活的绕线形式而在高频变压器绕组中有着较为广泛的应用，而目前专门用于圆形利兹线高频变压器绕组损耗计算的解析公式仅为Tourkhani公式，且该公式已用于高频变压器绕组的全局优化设计当中。然而，尚未有人对其精度进行客观的实验验证。通过相关研究，得到以下结论：

(1)本文设计并制作了两台圆形利兹线高频变压器样机，首次利用实验验证了Tourkhani公式的精度，发现它的最大误差可达到63.1%。其根本原因在于该公式内在的基本假设并不符合实际高频变压器圆形利兹线绕组的磁场分布情况。此外，推导过程中的多处近似处理也是使其精度降低的原因。

(2)从宽频范围的绕组损耗结算结果可以看出，Tourkhani公式与Dowell公式的计算结果仅在低频范围内重合，但在高频范围内，Tourkhani公式与Dowell公式的计算结果不再吻合，而是Tourkhani公式呈现较大误差。因此，Dowell公式的整体综合性能优于Tourkhani公式，建议在圆形利兹线高频变压器绕组损耗的计算中选用Dowell公式。

(3)Tourkhani公式与Dowell公式均不能在宽频范围内较为准确地计算圆形利兹线高频变压器绕组损耗，提出更为精确的圆形利兹线高频变压器绕组交流损耗解析计算方法还需国内外学者的共同努力和更为深度的研究。