李文强

(甘肃省水文站，甘肃 兰州 730000)

0 引言

近些年，小波相关分析方法(WAVELETCROSS-CORRELATION，WCC)使用得到普及，该方法通过描述两个非稳定时间序列，由于BCC系统研究不够充分，理论分析方法描述不够具体直观，还需要建立相应的求解模型。仅用于经济、信号解算、临床医学等领域。为此，本文研究了适用于水文问题研究的小波相关分析理论和方法，并结合具体实例进行了简要分析，论证了小波相关分析对水文时序研究的适用性和优势。

1 小波互相关分析方法

1.1 传统互相关分析方法

传统互相关分析法主要通过建立模型进行变量之间的描述，建立的数学关系式如下：

(1)

上述关系式中：x、y变量分别为x(t)和y(t)的均值；σx、σy分别为序列x(t)和y(t)的均方差；rxy(k)为两时间序列在时滞k下的互相关系数；Cxy(k)为两时间序列在时滞(也称时移)k下的互协方差；n为时间序列的长度。理论数据分析结果在上述数学关系式中可以清晰的表示，但在非平稳时间序列间进行描述时，往往理论式便不再成立。

1.2 一种基于连续小波变换的互相关分析方法

当L2(R)为一个确定的函数空间时，则对于时间序列x(t)∈L2(R)，该连续变换可通过下列表达式描述：

(2)

(3)

上述关系式中：Wx(a，b)为x(t)经连续小波变换后的小波系数；ψ*(t)为ψ(t)的复共轭函数；其中变量a、b分别为时间尺度和位置因子。

(4)

小波变换的实质是利用可变尺寸、可移动窗口进行时序谱分析，从而满足了串行模式局部频率分析的要求。将收集的水文数据向小波变换，可以得到的小波系数，这是把实际的数据在不同的时域尺度上的投影，该特征可用于绘制和描述水文序列组成，及水文序列尺度变化的多时间特征。

1.2.1 基于CWT的小波互相关系数求解方法

本文根据传统时间序列确定小波协方差(waveletcross-covariance)。例如，对于使用Morret函数的小波变换等方法的特征系数计算是有效的，在分析模型中的两个重要变量中，不同时间段内的信号信息可以在实际区段内进行表示。根据数据分析可以得到下式，即为信号强度表达式。小波互协方差WCxy(a，k)为：

(5)

或

(6)

其中

Wcovxy(a，k)=E[Wx(a，b)Wy(a，b+k)]

(7)

上述关系式中：k代表时滞系数；Wx(a，b)和Wy(a，b)分别为时间序列x(t)和y(t)在尺度a下对应的连续小波变换系数；E[]为方括弧内结果的均值，WCxy(a，k)为序列x(t)和y(t)在尺度a和时滞k下对应的小波互协方差。

上述方法求得小波协方差，在此基础上利用小波变换局部互相关系数(waveletlocalcorrelationcoefficient，WLCC)对两个时间序列在时域和特定的时间位置进行互相关系的分析。

WLCCxy(a，b)=

(8)

(9)

或

(10)

1.2.2 时间序列小波互相关度

WCCD(waveletcross-correlationdegree，WCCD)方法主要用于分析两个时间序列在一定时间范围内和给定时间间隔内的关系。为了便于分析和描述一般时区内时间序列的相关程度，在此分析了一个概念，利用CWT的小波时序变换方法，用于确定整个时间空间之间的关联度。即：

以小波关系式为基础，进行相互关系式求和：

(11)

根据上述描述，我们可以总结归纳出WRxy(a，k)的权重系数，数据统计和分析得到如下关系式：

(12)

基于CWT的小波互相关系数和时间序列小波互相关度的总结和归纳，我们可以分析得到如下关系式：

(13)

上述关系式中：WCDDxy(k)代表着两时间序列在时滞K之间联系下的相互关系，其实根据相关时滞K加权期望值下的定义，是通过分析计算总结得到的计算结果，能够精确地反映出我们需要的数值，通过上述计算式，更加明确，精准的得到相关计算结果。WCDDxy(k)能够全面的反映出相关关系和分布情况两方面的数值，因此在应用方面也需要不断推广。在实际应用过程中，我们市场将WCDDxy(k)以图形的形式进行反映，能够更加全面、直观、准确的反映出相关变量之间的互相关关系，为数据理论分析和研究提供依据。

1.2.3 小波互相关系数等值线图

利用等价线构造图可以实现对小波序列在时域内的性质分析。本文提出了一种小波间等价线的构造方法，并利用等价图进行综合和局部定量分析了框架内不同时间尺度和时间间隔之间时间序列数的相关性，即实现时间序列相互关系的“时间频率综合分析”目标。

数值等价图对于描述和绘制时间序列之间的关系很重要。主要有：(1)垂直截断等效小波相关系数图，它允许分析两个序列在恒定时间滞后下根据时间尺度的相关性大小的变化；(2)用等值图进行水平剖面，可以根据时间分析两行关联度的变化；(3)根据时间尺度分析了值的正负相关性，可以在不同的时间尺度上发现两个级数相互关系的正负变化。

1.3 基于离散小波变换的小波分析方法

在实际使用中，实际环境下获取到的水文信息通常都是离散的，问了降低小波变换的信息复杂程度，在进行连续小波变换的同时常将连续波分解，然后转换成离散小波(Discrete WaveletTransform，DWT)离散小波可以使用下列表达式进行描述：

(14)

对于公式(14)中的时间尺度和位置尺度一般取a0=2，b0=1；对于同一类型(2)的值j和k对于a和b。

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通过对上文所述的DWT算法的改进，提出一些红新的计算思路，新的计算方法主要思路如下：(1)针对不同的小波函数，对小波分裂层数合理设置；(2)根据时间测量(Wavelet RE Construction)重建小波系数，将两个重构序列建立在适当的时间尺度上；(3)结合之前的相关分析方法(方案1)对构造后的序列进行相关性分析。

通过对各个时域尺度的序列进行重新构造，表达式如下：

(15)

式中：分子式指出了这种重建序列与原序列的协方差，它的分母是在时间延迟K下的原序列中的自相关。

公式(15)与传统解数关系的不同之处在于，这个分母只使用初级级数x(t)的自相关，这有助于在同一标准框架内将调整序列与主序列进行比较。

1.4 小波互相干性分析方法

在进行分析计算的过程中，通过分析总结归纳，得到如下关系式：

(16)

关系式中：时间序列为x(t)和y(t)；互方差谱密度为Sxy(ω)；互相关系数为rxy(τ)。

利用傅氏变换进行频谱相干性分析(spectral coherence)，具体公式如下：

(17)

小波谱(wavelet spectrum)的定义如下：

(18)

(19)

进行小波普定义式的计算中，经过分析总结，得到如下关系式：

(20)

关系式中：小波互相干系数为Wρ(a，τ)

根据波数与时间序列的相关性程度，用波段描述小波相干性分析，绘制水文序列之间的相互关系。

2 实例分析

下面通过对黄河河口和古岱站的数据为依托，通过数据和图形的结合，以不同时间尺度和不同时滞为研究突破点分析其紧五十多年的径流，从而分析黄河下游流经的特征。研究和分析能够更好的帮助我们了解黄河下游的水文特征，对生态环境的保护和水文信息的采集具有重要意义。

选用式(9)求解小波互相关系数WRxy(a，k)。利用CWT分析方法，对不同时间参数和两个不同延时中的河水径流序列之间的关系，并进行分析。

“Morlet”分析黄河某河口的径流量的数据步骤如下：(1)时间宽度范围取50 a，时间最大时滞取20 a，根据CWT计算出来的结果，确立小波互相关关系；(2)分别绘制时滞k=0、2和5时的WRxy(a，k)-a曲线(图1(a))，和时间尺度a=3、7、11和20时的WRxy(a，k)-a曲线(图1(b))。在进行分析计算的过程中，通过上述计算式，我们可以明确的得到我们想要的结果，能够为以后的计算总结经验，得到依据，为更加深入的进行研究提供可行性方案。将数据进行汇总得到的传统分析法如图2显示：从图中我们可以发现，小波互相关度系数的最大值为0.97。

图1 黄河贵德站和河口站年径流序列小波互相关系曲数

图2 贵德站和河口站小波互相关关系曲线

在进行上述分析研究的过程中，通过数据分析和绘制图像，我们研究得到了相关数据结果和理论分析结果。将结果和数据进行结合，得到以下归纳内容：

(1)垂直剖面上的等效小波相关系数方案，可以了解两个序列在恒定时间尺度上的关系滞后。在相同的时滞参数情况下。例如以k=5以4 a、8 a和50 a为例，分别计算出小波相关系数为0.58、0.95和0.88；然后将时间滞后K从0增加到5分别进行计算分析。

(2)小波相关系数等效水平剖面图，对两个时间序列的尺度关系进行客观的描述。图1(b)显示两个直径的相关值在同一时间范围内的任何时间点上都会发生变化且相关度有逐渐下降的趋势。以a=7为例，时滞k=0、4、9、14和19中的两个序列在0.94、0.88、0.78、0.59和0.58之间波动；两数值交替随时间变化的振荡周期逐渐增大。

(3)小波相互关系分析结果图2显示了两个连续时域在不同时间间隔内的不同程度的相关关系。在K=0时滞下，小波之间的相关度达到最大0.96，这与传统的相互关系分析结果一致。在任何时间滞后增加后，小波之间的相关度逐渐减小，在K=13度时，短波之间的相关性达到另一个最大值0.80。与相关系数曲线的对比表明，小波关系曲线更平滑、更显著。

3 结语

(1)前文通过对连续小波变换方法的介绍，将算法的特点做出介绍，理论分析方法描述不够具体直观，还需要建立相应的求解模型。仅用于经济、信号解算、临床医学等领域。为此，本文研究了适用于水文问题研究的小波相关分析理论和方法，并结合具体实例进行了简要分析，论证了小波相关分析对水文时序研究的适用性和优势。为了准确描述两个时间序列的相关特点，建立了小波互相关分析方法，小波变换的实质是利用可变尺寸、可移动窗口进行时序谱分析，从而满足了串行模式局部频率分析的要求。将收集的水文数据向小波变换，可以得到的小波系数，这是把实际的数据在不同的时域尺度上的投影，该特征可用于绘制和描述水文序列组成，及水文序列尺度变化的多时间特征。

(2)通过对上文所述的DWT算法的改进，提出一些红新的计算思路，针对不同的小波函数，对小波分裂层数合理设置，根据时间测量重建小波系数，将两个重构序列建立在适当的时间尺度上，结合之前的相关分析方法对构造后的序列进行相关性分析。