常 征，范瀚文，张聆晔

(大连海事大学 交通运输工程学院，辽宁 大连 116026)

0 引 言

随着海上贸易的不断发展，船舶交通流愈发复杂，船舶碰撞、搁浅、失火等突发事件屡见不鲜。以海上重大溢油事故为例，据ITOPF(international tanker owners pollution federation)2019年油轮溢油统计分析报告指出，虽然全球海上溢油事故数呈现逐年下降的趋势，但2010年—2018年总计发生溢油量超过7 t事故数超60余起。因此，在事故发生后，如何科学的响应应急需求，快速的送抵应急物资是应急救援的重中之重。为此，亟需解决在一定资源的约束下，实现对应急物资储备库的选址优化。

应急物资储备库选址问题属于设施选址问题的研究范畴，自1911年Weber提出单一仓库设施选址问题以来，国内外学者对设施选址问题展开了大量的研究，取得了丰硕的成果。丛雯婧等[1]综合考虑了选址决策中的风险、效率以及经济性的目标，求解了台风情境下的应急选址问题；张玲等[2]考虑了应急救援在不同阶段的需求变动并建立了选址-分配模型，利用情景松弛的迭代算法进行求解，证明了算法和模型的有效性；以上研究大多将选址模型应用在陆上选址中，也有相关学者针对海上应急物资储备库的建设问题进行研究。Y.F.AI等[3]考虑了政企联合存储的海上物资应急储备库选址-分配模型，并设计了两阶段启发式算法进行求解，通过算例证明了政企联合存储是稳定的双赢策略；张聆晔等[4]考虑了应急资源调度中及时性的要求，建立了风险不确定下海上应急物资储备库选址鲁棒优化模型。

多重能力(多等级)设施选址问题是设施选址问题的重要分支。国外相关学者已将多重能力等级选址模型应用在医疗救助、通讯网络、火灾防治、制造生产选址等方面[5-6]。K.HONORA等[7]将多重能力等级选址模型应用在发展中国家的贫困农村医疗设施选址问题中，在模型中考虑了时效性和公平性的要求，通过实例验证了模型和算法的有效性；J.MICHAEL等[8]从灾难发生后群众需求的差异性角度出发，设计了多重能力等级P-median模型，结合GIS系统以及空间优化布局理论，采用CPLEX方法进行模型求解；常征等[9]构造了带有多重能力等级的内陆港选址模型，并设计遗传算法进行求解，结果表明在考虑多重建设能力下的选址方案有效节约了投资成本；陆相林等[10]运用改进的多重能力选址模型优化了消防设施配置，对北京市房山区展开实证研究验证了模型和算法的有效性。

综上所述，以往针对于应急物资储备库选址问题的研究大多在固定备选点建设等级下展开，多应用于陆上设施选址问题。设施建设是一项系统工程，具有投资回收期长、投资金额巨大的特点。同时，建设海上应急物资储备库的选址设施模型中需要考虑高风险的水域的分布情况[11]。当应急需求产生时，不仅需要考虑应急物资储备库与应急需求点的空间距离，同时也要考虑应急物资储备库的服务能力。为了更准确地对应急需求点与应急物资储备库的互动关系、服务能力、空间距离等因素进行综合考量，笔者拟引入引力模型对传统选址模型进行改进。构建多等级应急物资储备库选址-分配模型，并设计改进蝙蝠算法进行求解。

1 问题描述

假设在某一海上事故高发的海域附近建立若干应急物资储备库，以满足应急救援需要。

备选应急物资储备库地理位置已知，具备不同的可选建设等级。建设级别越高，应急救援服务质量越好。若应急需求点与应急物资储备库的距离超过该建设等级下的最大服务半径，则该应急物资储备库无法针对该需求点提供有效的应急救援服务。

假定应急需求点的地理位置、应急物资需求、风险等级通过历史统计推理可获得。问题的目标是如何在有限的资金以及备选点的限制下确定建设应急物资储备库的位置以及等级，满足应急需求点的应急物资储备需求。

2 选址模型建立

2.1 引力模型

引力模型起源于牛顿万有引力定律，即任意两个质点之间的引力与空间距离的大小成反比，与质量大小成正比。引力模型作为经典模型的通用规律，已经在空间转移、贸易流通、人文地理、场站选址等方面取得了较为成熟的应用[12]。

考虑到海上事故的不可预知性、成因复杂性，海上应急救援往往要综合考虑应急救援力量与需求点之间的相互“吸引关系”。即应急物资储备库的建设等级越高(容量大小、应急救援船只数目、应急救援人员业务水平等)越高，则其对应急需求的服务水平越好。除此之外，海上应急物资储备库对应急需求点的吸引程度也存在“空间距离递远，吸引能力递减”的现象。

故笔者引入牛顿式基本引力模型，刻画应急物资储备库与应急需求点的“吸引力”为：

(1)

式中：Mi为应急物资储备库的“质量”，用于表征应急物资储备库的建设水平，即应急物资储备库的服务能力；Nj为需求点的“质量”，用于表征需求点的风险等级，即应急需求点的风险程度；dij为应急物资储备库与应急需求点的欧式距离；λ为万有引力常数，为了便于衡量应急物资储备库与应急需求点的“吸引力”，笔者取值为1；β为距离衰减系数，因笔者采用欧氏距离刻画两点之间的空间距离，故取值为1。

2.2 模型建立

建立海上多等级应急物资储备库选址-分配模型为：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

模型中式(2)和式(3)为目标函数，式(2)为最大化系统引力；式(3)为最小化系统费用，包括应急物资储备库的建设费用与应急物资存储过程中产生的存储费用；式(4)为所有应急物资储备库的建设成本约束；式(5)为所有应急需求点至少被覆盖一次，即应急需求点的全覆盖；式(6)为建设应急物资储备库不能超过规定的个数；式(7)为每个备选应急物资储备库有多个建设等级，但最多只能选择建设一种；式(8)为应急物资储备量不能超过k建设等级下的最高存储量限制；式(9)为满足应急需求点的应急物资需求；式(10)～式(11)为决策变量。

模型所涉及的参数以及决策变量如下所述：

1)参数集合：I为应急物资储备库集合；J为应急需求点集合；Dj为应急需求点的应急物资需求量；Tk为建设应急物资储备库建设规模等级集合k=1,2,3；Cik为应急物资储备库i在k建设等级下的建设成本；fik为应急物资储备库i在k建设等级下的单位存储成本；B为建设应急物资储备库的最大数量；Hj={I|dij≤rik}为应急物资储备库i在k建设等级下能够覆盖的应急需求点J集合；P为投资额限制；Rik为应急物资储备库i在k建设等级下的最大服务半径。

3 算法设计

蝙蝠算法是一种利用模拟自然界蝙蝠捕食过程的新型仿生智能算法。蝙蝠捕食的原理为：向环境发射超声波，当遇到猎物时，接受反射回来的回声，利用双耳效应以及回声的强度变化分析猎物的具体方位、大小、移动方向等，进而迅速的捕捉猎物。蝙蝠发出的恒定频率根据搜寻的目标大小而改变，一般持续时间为8～10 ms，频率为25～150 kHz，响度为110 dB。

蝙蝠算法具有强收敛性、搜索范围大、具有潜在分布式等优点，因此被广泛应用在多目标优化的问题中。求解的模型是NP-Hard问题。为了弥补蝙蝠算法初始种群随机生成，不具备覆盖整个解空间的缺陷，选用全局混沌蝙蝠优化算法对问题进行求解。

3.1 基于混沌映射的种群初始化

蝙蝠的个体以迭代的方式进行更新，种群内部的全局最优解是一个未知量，初始化种群的规模、范围、影响对后续求解的收敛速度、最优解的质量有巨大影响，因此初始化种群的覆盖范围很重要。有效的改进方法就是全面覆盖整个初始空间，对求解最优解的质量有推动意义。笔者采用混沌映射的方法对种群进行初始化操作，提升初始解空间的利用率。目前应用较为广泛的为logistic方法[13]，计算方法为:

(12)

(13)

式中：lw和uw为变量取值范围的最大值和最小值。

3.2 自适应网格密度估计

首先建立q维目标空间的自适应网络，将目标空间划分为D1×D2×…×Dq的网络，其中第w个目标的网络模长计算方式为：

(14)

外部档案成员的数量会随着外部存档中非占有解的个数变化而变化，因此目标空间的网格数量将会随之自适应变化。非占优解在自适应的空间位置为：

(15)

式中：mod(·)函数为比值后的整数部分，根据式(15)可以计算出每个网格内部包含的非占优解的数量，将一个网格内的非占优解的数量作为粒子的分布密度，粒子分布以及对应的分布密度如图1。

图1 种群密度估计Fig. 1 Population density estimation

3.3 全局最优解的选择策略

全局最优解是一组Pareto最优的解集，如果没有采取有效的选择策略，笔者采取自适应的网络密度和轮盘赌法进行全局最优解的选择，可以使每一代的全局最优解不完全相同，具体的算法为：

Step 1利用自适应网格法评估粒子的个体密度。

Step 2将个体的密度等级为一致的粒子统一放到集合中。

Step 3将个体的密度等级除以所有的个体密度等级之和，采用轮盘赌法来选择个体的密度等级。

Step 4在相应的个体密度等级集合中随机选择粒子作为全局的最优解。

4 算例仿真

假设在某事故高发海域附近建立应急物资储备库以满足该海域的应急救援需求。为有效实施选址优化，将算例中连续的水域单元离散化处理，抽象为互不重合的点。同时，采取一组正交的网格线将算例的求解区域进行分割。为验证算法的有效性，笔者在50×50平面上，随机生成8个拟定建立应急物资储备库的备选点、25个需求点以及对应的应急物资需求，见表1和表2。假定备选应急物资储备库在不同等级下的建设成本、单位存储成本、服务能力见表3。

表1 应急物资储备库备选点数据Table 1 Optional point data of emergency material reserve

表2 应急需求点数据Table 2 Emergency demand point data

表3 多重等级应急物资储备库建设参数Table 3 Multi-level emergency material reserve constructionparameters

采用MATLAB软件进行程序设计，初始化参数设置：蝙蝠数量为40，响度为0.1，脉冲发射率为0.85，最低频率为0.1，最高频率为0.85，最大迭代次数为200。计算得出118个解，考虑解的分布特点，笔者选出22个非劣解(表4)组成的帕累托前沿见图2。

图2 帕累托前沿Fig. 2 Pareto frontier

表4 改进蝙蝠算法求解帕累托解集Table 4 Pareto solution set achieved by improved bat algorithm

由图2可见，求解得到的帕累托前沿分布较为均匀，可以为决策者提供有效的决策参考。同时，系统费用与引力值存在正相关关系，即随着等级建设能力、应急物资储备量的增加，引力值随之增长。决策者可以根据自身偏好或者现实需求，选择满意解作为应急物资储备库的选址方案。为了保证选址结果的相对客观，笔者提出引力损失率和系统费用增长率指标，以辅助决策者针对帕累托前沿进行选择。分别用LF和LC来表示方案的引力损失率和系统费用增长率，计算公式为：

(16)

(17)

式中：max(LF)和min(LF)分别为系统引力值的最大值和最小值；max(LC)和min(LC)分别为系统费用的最大值和最小值；决策者可以根据对系统引力损失率以及对系统费用增长率的权衡来选择最终的选址方案。

决策者可以根据引力损失率以及系统费用增长率的偏好程度选择1个满意的求解方案。若决策者可以接受20%的引力损失，那么决策者需要在引力损失小于等于20%的方案中选择系统费用增长率最高的方案作为本身的满意解。其他分析方案同理。笔者仅给出了当引力损失率和系统费用增长率为20%、40%、60%的方案选择结果作为决策参考，结果如图2。

为了客观分析模型的实用性，笔者求解了固定设施等级下的选址结果。决策者在考虑最优解时，其实是一个多属性决策问题。为了便于比较，笔者采用逼近理想解法[14](technique for order preference by similarity to ideal solution，TOPSIS)计算备选方案与正理想方案、负理想方案的距离来判断最优方案，进而选出问题的最优解。比较结果见表5。

表5 固定等级下选址结果Table 5 Site selection results under a fixed level

结果分析：在固定最小建设等级下，备选应急物资储备库无法实现对应急需求的全面覆盖，不满足应急救援的实际需求，故引力值较小；在建设中等等级下，备选应急物资储备库无法实现对应急需求的有效覆盖，即部分应急需求点没有被全部满足应急物资的储备需求；在固定最高建设等级下，备选应急物资储备库实现了对应急需求的完全满足，但是耗费了大量的建设资金。相较于多重能力选址模型而言，引力值增加了8.49%，系统成本降低了19.94%。

综上所述，考虑了备选点多重能力等级的选址模型可以提升应急救援的效率，节省经济成本。最终确认多重等级设施选址求解结果见表6。

表6 应急物资储备库备选点与应急需求点分配Table 6 Location selection of emergency material reserve andallocation of emergency demand points

5 结 语

笔者研究了多重能力等级海上应急物资储备库选址问题。以最大化系统引力值和最小化系统成本作为目标，将同时反映应急救援能力和空间距离特征的引力模型结合全覆盖选址思想，建立了多目标混合整数规划模型，并设计改进蝙蝠算法取得帕累托解集。结果表明：系统引力值与系统费用之间呈现正相关的关系，通过引入引力损失率和系统费用增长率两个参数，可以为决策者提供不同偏好下的决策。

为了验证多重能力等级选址模型的优越性，笔者对比了固定能力等级下的选址结果。通过算例仿真验证在满足应急物资需求的前提下，多重能力等级选址模型可以有效的降低经济成本，提高应急物资储备库的运行效率。该方法可以为海上应急物资储备库选址提供一定的参考。