用相容的Riccati方程展开法构造的KdV方程的相互作用解*①

2022-08-25谭志云

南宁师范大学学报(自然科学版) 2022年2期

刘宇，谭志云

(1.贵州师范大学物理与电子科学学院，贵州贵阳 550001；2.遵义师范学院物理与电子科学学院，贵州遵义 563006)

0 引言

非线性波动方程是描述非线性现象的数学模型，在物理学、数学、化学和生物学等领域有广泛的应用，寻找其精确解一直是非线性科学中的一个研究热点[1].一般情况下，使用线性叠加原理无法求出非线性波动方程的一般解，只能得到其中一类或者几类方程的特解.到目前为止，研究者提出了Bäcklund变换法[2]、Darboux变换法[3]、Hirota双线性算子法[4]、Panlevé截断法[5]、Jacobi椭圆函数展开法[6]、平衡截断法[7]、Tanh函数展开法[8]等方法求解非线性波动方程的精确解.

KdV方程是一类基本的非线性波动方程，它是荷兰科学家特韦格(Korteweg)和德弗里斯(de Vries)在研究浅水波运动时提出的一种偏微分方程[9].近年来，许多学者都对该方程的求解进行了研究，并且得到了较为丰富的行波解[10-15].文献[15]运用相容的Riccati方程展开法构造了正向展开的形式解进行求解，但漏掉了一些特解.本文运用CRE方法，通过齐次平衡法构造了KdV方程含有Riccati函数正负展开项的形式解.通过符号计算，我们得到了四种情况下KdV方程的单孤子解、孤立波和椭圆周期波相互作用解.当选取恰当的参数时，KdV方程会出现新的精确解形式，这些解有助于研究KdV方程孤立波和椭圆周期波的相互作用结构以及它们的动力学演化行为.

1 CRE方法

2015年楼森岳提出了相容的Riccati方程展开法，即CRE方法[16].该方法是基于Riccati方程的孤立波解，构造相容性方程并进行求解，由此得到孤子波与其他形式的波的相互作用.

考虑非线性波动方程

P(t,x1,x2,…,xn,u)=0.

(1)

设它的形式解为

(2)

其中u和ω均为关于x,t的函数；N为正整数，其值由平衡最高阶导数项和非线性项决定；R(ω)满足Riccati方程

(3)

其中σ，p，q为任意常数.将(2)和(3)代入方程(1)，可以得到一个关于R(ω)的方程.令R(ω)的各次幂的系数为0，可解出ui的关系式，将ui代入(2)中便可得到方程(1)的解.在令R(ω)的各次幂的系数为0的过程中，往往会出现方程的个数多于未知数个数的情况，即代数方程组是一个超定方程组，这样便产生了方程(1)的相容性条件

F(ω)=0.

(4)

如果方程(4)有解ω(x,t),将它代入(2)，便能得到方程(1)的解.

2 KdV方程的相互作用解

考虑如下的KdV方程[16]：

ut-6u2ux+uxxx=0.

(5)

通过平衡方程(5)的最高阶导数项和非线性项可得N=1.

设方程(5)的截断解为

(6)

将(6)代入(5)并结合式(3)，得到方程E(详见附录).

由E可以看出，正负展开后，指数互为相反数的两项的系数之间存在关联.要令各项系数为0，则正负展开相对应的项须同时为0，因此所需要的限定条件比文献[9,16]中的单纯正向展开要多，且u2，u1，σ，p，q，ωxx中的任意一项须为0，各项系数为0才有解.当u2=0时，结果退化为文献[16]的正向展开；当q=0时，Riccati方程无孤子解，不予考虑.当u1=0时，结果变为负向展开.