唐韵茜,王志华

(泰州学院 数理学院,江苏 泰州 225300)

1 引言

Fusion范畴是结构最简单的一类张量范畴，对该范畴进行分类是当前该领域的主要研究任务，分类方法和成果不断出现[1，2，3].其中有两种分类思想受到广泛关注和持续跟进，一种是围绕fusion范畴的秩(即fusion范畴中同构意义下单对象的个数)对fusion范畴进行分类；另一种是根据fusion范畴的Grothendieck环(fusion环)对fusion范畴进行分类，也就是在Grothendieck等价意义下研究哪些fusion范畴的Grothendieck环就是给定的fusion环(即fusion环的范畴化问题).这种分类思想的理论依据在于等价意义下只有有限多个fusion范畴，其Grothendieck环为给定的fusion环，参见文献[4].这方面的分类成果可见文献[5，6，7].因此研究fusion环自身的结构或者提供某种方式来实现fusion环的构造是有意义的工作.

对于fusion环的Casimir矩阵C,可以选取适当的对角矩阵D,使得D-C为Kac意义下的广义Cartan矩阵[9]，而不可分解有限型、仿射型的广义Cartan矩阵已有分类.这引出一个自然的问题:能否借助已有的不可分解广义Cartan矩阵的分类来实现fusion环的分类？文献[10]对该问题进行了研究，并对广义Cartan矩阵D-C为不可分解有限型、仿射型这两种情形分别进行了探讨.但是通过未定型广义Cartan矩阵来实现fusion环的构造并没有统一的方法，文献[10，11]也仅仅具体讨论了一些未定型广义Cartan矩阵的例子.本文利用文献[10，11]中的已知结论与方法，借助一个5阶的未定型广义Cartan矩阵,实现了一类fusion环的构造，这类fusion环实际上是某一fusion范畴的Grothendieck环[12].

2 预备知识

本节介绍一些必要的基础知识，这些内容主要来自文献[9，10，11].

定义2.1[9]如果实方阵A=(aij)n×n同时满足以下条件,则称A为广义Cartan矩阵：

(1)aii=2, 1≤i≤n;

(2)aij≤0, 1≤i≠j≤n;

(3)aij=0当且仅当aji=0, 1≤i≠j≤n.

对于实列向量u=(u1,u2,…,un)T，若每个ui均为正的(0，负的)，则记u>0(u=0,u<0).根据Vinberg的分类理论,不可分解广义Cartan矩阵A可以分为三类[8]：A称为有限型(仿射型，未定型)当且仅当存在列向量u>0使得Au>0(Au=0，Au<0).

定义2.2[10]偶对(R,B)称为fusion环,如果R为有单位元1的环,B={Xi|i∈I}为R的加法群的一组-基，且使得

(1)Xi0=1,其中i0∈I;

(2) 存在指标集I上的对合*：I→I使得诱导的映射

为R的反自同构，其中αi∈；

(3) 加群同态τ：R→，τ(Xi)=δi,i0满足τ(XiXj)=δi,j*，∀i,j∈I.

注2.3设 (-,-) 为环R上的双线性型,该双线性型定义为(x,y)=τ(xy),∀x,y∈R.

(1) 双线性型(-,-)为环R上的结合、对称、非退化双线性型并且是*-不变的:

(x,yz)=(xy,z), (x,y)=(y,x), (x,y)=(x*,y*),∀x,y,z∈R.

因此,环R为上的对称*-代数.

(XiXj,Xk*)=(Xi*Xk,Xj*)=(XkXj*,Xi*)

设(R,B)为fusion环,B={Xi|i∈Ι}为环R的一组-基，记Ni为基元Xi左乘基集B={Xi|i∈Ι}得到的矩阵,即Ni的(j,k)-元为由注2.3 (2)知故因为环R为上的Frobenius代数,故由文献[12]知双线性型(-,-)对应的对偶基为{Xi|i∈I}与{Xi*|i∈I},此时元素称为环R的Casimir元[13].对应地，左乘基集B={Xi|i∈Ι}得到的矩阵C称为环R的Casimir矩阵.虽然Casimir矩阵C依赖于基B={Xi|i∈Ι}中元素的排列顺序,但是基中不同的排列顺序所给出的Casimir矩阵是彼此置换相似的.

环R的Casimir矩阵C及其元素具有一些特别的性质，参见文献[10]中的引理3.1和命题3.2，这里列出其中的部分结论如下：

命题2.4记|I|为指标集I中元素个数,设i0∈I使得Xi0=1,cij为Casimir矩阵C的(i,j)-元，则

(1)CNi=NiC,∀i∈I；

(2)ci0i0=|I|并且cjj≥|I|，特别地，cjj=|I|当且仅当Nj为置换矩阵；

(3)cij=ci*j*,∀i,j∈I；

3 主要结果

考虑对称矩阵

它是不可分解未定型广义Cartan矩阵，因为向量u=(1,1,1,1,1)T>0使得Mu<0.

定理3.1存在fusion环(R,B)使得其D-C恰为M，且该fusion环在同构的意义下唯一.

注意到若改变B中基元X3,X4,X5的顺序，则与之对应的C中主对角线上的元素c33,c44,c55的顺序相应改变，而矩阵C中其它元素不变.同理，若改变B中基元X1,X2的顺序，则与之对应的C中主对角线上的元素c11,c22的顺序相应改变，而C中的其他元素不变.因此，不妨设(R,B)的单位元1为X1或X3.

如果X3=1，则由命题2.4 (2)知c33=5且其余cjj≥5.由命题2.4(4)和2.4(5)可得方程组

注意到B中基元X1,X2的对等性，不妨设c22≥c11(否则对调X1,X2的顺序亦得到此不等式)；同样由基元X4,X5的对等性，不妨设c55≥c44(否则对调基元X4,X5的顺序亦得到此不等式).此时由Mathematica计算可得，该方程组不小于5的整数解为c11=5,c22=7,c44=5,c55=13.因此

由于C的主对角线上元素c55=13是唯一的，故由命题2.4(3)知5*=5，即N5为对称矩阵.设

由命题2.4(1)知N5C=CN5，从而可以得到一个关于a,b,c,d,e,f,g,h,i,j的线性方程组，而该方程组没有自然数解.故N5不存在，所以X3≠1.

下面讨论X1=1情形.由命题2.4(2)知c11=5，其余的cjj≥5.由命题2.4(4)和2.4(5)可得方程组

注意到B中基元X3,X4,X5的对等性，因此不妨设c55≥c44≥c33(否则对调基元X3,X4,X5的顺序亦得到此不等式)，由Mathematica计算可知该方程组的所有不小于5的整数解为

此时C有如三种形式(分别记为C1,C2,C3)：

下面证明C1和C2都不存在.

对于C1，由命题2.4(3)知5*=5，即N5为对称矩阵.设

由N5C1=C1N5可得一个关于a,b,c,d,e,f,g,h,i,j的线性方程组，用Mathematica计算可知该方程组没有自然数解.因此N5不存在，从而C1不存在.

对于C2，由命题2.4(3)知2*=2，即N2为对称矩阵.设

由N2C2=C2N2可得关于a,b,c,d,e,f,g,h,i,j的线性方程组，用Mathematica计算可知该方程组没有自然数解.因此N2不存在，进而C2不存在.

对于C3，由X1=1知1*=1，由命题2.4(3)知2*=2，故N2为对称矩阵.又因c22=5，故由命题2.4(2)知N2为置换矩阵(每行每列都只有一个元素为1，其余元素为0).因此可设

a=0,b=0,c=1；或a=0,b=1,c=0；或a=1,b=0,c=0；或a=1,b=0,c=1.

因此N2有如下四种形式：

由于c33=c44=c55，故由命题2.4(3)知对合*为下标集{3，4，5}的一个置换，而所有的对合置换为如下四种类型：

3*=3，4*=4，5*=5； 3*=3，4*=5，5*=4； 4*=4，5*=3，3*=5； 5*=5，3*=4，4*=3.

注意到基元X3,X4,X5位置的均等性，这里只需考虑置换3*=3，4*=4，5*=5和3*=3，4*=5，5*=4，其他的置换均可通过对调基元顺序转化为上面两种置换.比如对于置换4*=4，3*=5，5*=3，只要对换基元X3,X4的位置，即可转化为置换3*=3，4*=5，5*=4.下面针对这两种置换，将上面N2的四种可能性，分成八种情形逐一讨论.

情形3.13*=3，4*=5，5*=4且

此时有X2X3=X5,X2X4=X4,X2X5=X3，由于3*=3，4*=5，5*=4，因而X3X1=X3,X3X2=X3*X2*=(X2X3)*=X5*=X4，而3*=3，即N3为对称矩阵，因而可设

由等式N3C3=C3N3可得一个关于a,b,c,d,e,f的线性方程组，用Mathematica计算可知该方程组没有自然数解，因此情形3.1不成立.

情形3.23*=3，4*=5，5*=4且

利用情形3.1的讨论方法，同样可以证明情形3.2不成立.

情形3.33*=3，4*=5，5*=4且

由N3C3=C3N3可得一个关于a,b,c,d,e的线性方程组，该方程组有三组自然数解，从而得到N3的如下三种形式:

下面说明这三种形式均不存在.

X4X1=X4,X4X2=X5*X2*=(X2X5)*=X4*=X5,

X4X3=X5*X3*=(X3X5)*=(2X5)*=2X4,

X5X1=X5,X5X2=X4*X2*=(X2X4)*=X5*=X4,

X5X3=X4*X3*=(X3X4)*=(2X4)*=2X5.

因而

情形3.43*=3，4*=5，5*=4且

利用情形3.3的讨论方法，可以证明情形3.4不成立.

情形3.53*=3，4*=4，5*=5且

此时有X2X3=X5,X2X4=X4,X2X5=X3.因3*=3，4*=4，5*=5，故由上式知X3X1=X3,X3X2=X3*X2*=(X2X3)*=X5*=X5，而3*=3，即N3为对称矩阵，因而可设

由N3C3=C3N3可得一个关于a,b,c,d,e,f的线性方程组，该方程组没有自然数解，因此情形3.5不成立.

情形3.63*=3，4*=4，5*=5且

利用情形3.5的讨论方法，可以说明情形3.6不成立.

情形3.73*=3，4*=4，5*=5且

利用情形3.5的方法讨论矩阵N4，可以证明N4不存在，因此情形3.7不成立.

情形3.83*=3，4*=4，5*=5且

此时有X2X3=X3,X2X4=X4,X2X5=X5，由于3*=3，4*=4，5*=5，由上式知X4X1=X4,X4X2=X4*X2*=(X2X4)*=X4*=X4，而4*=4，故N4为对称矩阵，因而可设

由于基元X3,X4,X5位置均等且同为自对偶元，故在上面矩阵N4中不妨假设a≤d≤f(否则对调集合B中基元X3,X4,X5的位置，即可转化a≤d≤f情形).由N4C3=C3N4可得一个关于a,b,c,d,e,f的线性方程组，该方程组有两组自然数解，从而得到N4的如下两种类型：

下面分析N4的这两种形式.

X3X4=X3*X4*=(X4X3)*=(X3+X5)*=X3+X5，

X3X2=X3*X2*=(X2X3)*=X3*=X3.

而3*=3，因此N3为对称矩阵，故可设

由N3C3=C3N3可得一个关于a,b,c的线性方程组，该方程组有唯一的自然数解a=b=0,c=1，从而

从而有X3X5=X4+X5，于是

X5X3=X5*X3*=(X3X5)*=(X4+X5)*=X4+X5，

X5X4=X5*X4*=(X4X5)*=(X3+X5)*=X3+X5，

X5X2=X5*X2*=(X2X5)*=X5*=X5.

而5*=5，故N5为对称矩阵，因此

由N5C3=C3N5可得一个关于a的方程，解得a=-1<0.因此N4的第一种取法不成立.

于是

X3X4=X3*X4*=(X4X3)*=(X4+X5)*=X4+X5,

X3X2=X3*X2*=(X2X3)*=X3*=X3.

而3*=3，因此N3为对称矩阵，设

由N3C3=C3N3可得一个关于a,b,c的线性方程组，该方程组有两组自然数解，从而得到N3的如下两种类型：

X5X3=X5*X3*=(X3X5)*=(X4+X5)*=X4+X5，

X5X4=X5*X4*=(X4X5)*=(X3+X5)*=X3+X5，

X5X2=X5*X2*=(X2X5)*=X5*=X5.

而5*=5，故N5为对称矩阵，因此

由N5C3=C3N5可得一个关于a的方程，解得a=-1<0.因此不成立.

X5X3=X5*X3*=(X3X5)*=(X3+X4)*=X3+X4，

X5X4=X5*X4*=(X4X5)*=(X3+X5)*=X3+X5，

X5X2=X5*X2*=(X2X5)*=X5*=X5.

而5*=5，故N5为对称矩阵，因此

由N5C3=C3N5可得一个关于a的方程，解得a=0.因此

综上所述，我们得到一个fusion环，它的基元左乘基B={X1,X2,X3,X4,X5}，分别得到矩阵

直接验证可知，这些矩阵满足等式

具体而言，基元X1=1,X2,X3,X4,X5之间的乘法关系为

X2X2=1,X2X3=X3,X2X4=X4,X2X5=X5，

X3X2=X3,X3X3=1+X2+X5,X3X4=X4+X5,X3X5=X3+X4，

X4X2=X4,X4X3=X4+X5,X4X4=1+X2+X3,X4X5=X3+X5，

X5X2=X5,X5X3=X3+X4,X5X4=X3+X5,X5X5=1+X2+X4.

这些乘法运算满足结合律与交换律，因此得到一个交换fusion环(R,B).

注3.2定理3.1所构造的fusion环可以范畴化，即存在一个fusion范畴使得该范畴的Grothendieck环为这里的fusion环.事实上，由文献[12]中的定理4.2知,14阶二面体群的表示范畴作为fusion范畴，其Grothendieck环与所构造的fusion环(R,B)同构.