文/马小琴（西安交通大学）

在大学的这几年里，数学分析为我打开了理解世界的新大门，我开始从不同角度看待问题、理解问题，并且在遇到困惑的时候，会尝试采用数学理性而严谨的思维，去帮助自己走出困境，成长为心智更健全的年轻人。这或许正是我们学习的意义所在。

数学对大多数学生来说是高考最重要的科目之一，秉持着学好数学就可以在分数上占据一定优势的理念，我们努力理解数学概念或者干脆刷题来获取相应的高分。但需要指出的是，这样被动的接收在一定程度上抹去了数学原本的魅力。比如，一个数学概念的提出，背后是一位位数学家日积月累的思索与完善，这个探索过程中的一些误解，甚至错误，有时候更值得我们关注。因为，它往往是从别的角度来考察这个概念或者定理，当我们从不同角度了解一个概念背后的故事后，可能对它的理解会更加自然和深刻。起初，我对数学的理解是非常幼稚的，直到上大学选择了数学专业，才开始对这个古老的学科有了一些深入了解。

定义无理数

大一数学分析课上，老师推荐的常庚哲、史济怀所著《数学分析教程》是陪伴我最久的数学类读物。这本书是数学系的基础课教材，是其他科目的基石，作者深入浅出地讲解让我受益匪浅。

犹记得《数学分析教程》开篇第一章——实数和数列极限，从小接收的知识告诉我们实数是由有理数和无理数组成的集合，我们很自然地接受了Π、e等无理数的存在，但事实上人们接受无理数这一概念的历程是曲折坎坷的。

在遥远的古代，人们由于打猎计数以及财物分割等缘故，很早就认识了有理数。有理数均可表示成两个整数之比，所以古希腊数学家将其称为可公度比，并将比值是有理数的两个量称为可公度的，毕达哥拉斯学派甚至将“任意两个量均可公度”作为他们的信条。

然而在公元前5世纪，该学派的门徒Hippasus发现正五边形的对角线与边长是不可公度的，也就是说，他发现了（ +1）/2不是有理数，由此掀开了人类研究无理数的篇章。但在久远的古代，固有思维的推翻，有时候是要付出惨重代价的。据说，Hippasus被同门抛入海中处死，可见无理数的发现，对当时的数学理念造成了极大打击。

随着时间的流逝，人们逐渐接受了无理数的概念，并且为了完善微积分学的理论基础，在不到2 5 年的时间里，K.Weierstrass、R.Dedekind、G.Cantor分别给出了从有理数出发定义实数的理论。我所了解的是R.Dedekind的方法，其大致思想是从有理数集出发去构造实数集，以弥补有理数集不完备的缺点。最终将每一个分割称为一个实数，把有理分割与有理数等同看待，并将不是有理分割的分割视为无理数。至此，到19世纪人们才开始给出了无理数的严格定义。

从定义无理数的历程来看，数学上每一个基本概念的提出，都是值得反复品读的，越是基础的概念越是难以定义。我时常被类似概念的发展史所感动，从这个过程中我们往往能够汲取到某些颇具指导意义的养分，来引领我们更好地处理学习，甚至人生中的烦恼与困难。

从数学中汲取养分

我们的成长如同数学一样，都是从婴儿开始，从一片空白开始，经过不断地试错、成长、总结、修补才长大成人，并且仍具有较大的提升空间。在我们成长的过程中也难免陷入某种局部最优解，仿佛此刻的结论就是最佳，且不可撼动的，骄傲地宣扬着不成熟的见解，就如毕达哥拉斯学派固执地否认无理数的存在，最终被真理打败。所以，我们汲取一定知识后，对世界有了更为深刻的认知是非常合理的。

数学或者世界的基本原理是简洁而美妙的，但它也不易捕获，我们要不断地抽丝剥茧，找到更完善、更准确的答案。换个角度考察问题也好，同类型问题对比、分析也罢，我们总能获取一点点思索价值。我在考研期间就时常遇到低谷时刻，我常常焦躁不安，感觉无所适从。但是，翻翻课本后总能有所平静，我不断提醒自己，我目前就是处于完善的阶段，某些知识点我没有完全掌握导致做题总是出错。我开始反思是不是一开始就理解错了某个概念，导致后面全盘皆输，正如Abel评价发散级数那样：“发散级数是魔鬼的发明，把不管什么样的证明都建立在发散级数的基础上是一种耻辱。利用发散级数人们想要什么结论就可以得到什么结论，这也是为什么发散级数已经产生如此多的谬论和悖论的原因。”每每读到这段话，我都感觉醍醐灌顶，于是仔细研读知识点的每一处细节，力求找到困扰我的魔鬼所在。

逼近终点

极限理论应该是数学分析最基本且最重要的思想之一了，不仅是因为数学里很多基础理论都建立在极限思想之上，比如微积分学、泛函分析等，而且更多的是因为它作为我们学习高等数学接触到的第一个新的抽象概念，是对之前所学知识的一种衔接和完善，其思想更是贯穿数学分析始终。

记得我大一时修过一门选修课，叫《西方哲学的智慧》，给我留下深刻印象的就是第一堂课上老师给我们介绍的芝诺悖论。其大致内容是记两点间的距离为1，某人从其中一点出发，每次走一半路程，第一次走1/2，第二次走1/4，第三次走1/8……以此类推，会发现永远到不了终点，这与总路程1矛盾。事实上，1/2+1/4+……+1/2n+……是无穷项求和，将其视作公比为1/2的n项等比数列求和，再对n取极限，就会得到总路程1。所以，极限的思想是重要且伟大的，它在一定程度上解决了人们的一些困惑。

在学习极限理论的时候，我就一直在想取极限的作用在哪里，后来慢慢体会到所谓极限就是一个逼近的过程，比如连续的结果不容易得到，就可以用离散取极限来逼近，只要达到特定的条件要求。这就好比我们的征程，可能路途遥远而步履维艰，但是只要一步一步向前迈进，总能逼近那个向往的终点。

有人说数学有点像哲学，抽象而晦涩。我想可能是因为这两门学科都是在探讨不依赖于它们本身的统一的客观世界，都具有逻辑的严密性、高度的抽象性以及应用的广泛性。在大学的这几年里，数学分析为我打开了理解世界的新大门，我开始从不同角度看待问题、理解问题，并且在遇到困惑的时候，会尝试采用数学理性而严谨的思维，去帮助自己走出困境，成长为心智更健全的年轻人。这或许正是我们学习的意义所在。