一种抗强干扰的纠错码研究*

2022-08-02陈志勇刘海峰

舰船电子工程 2022年6期

关键词：汉明误码率码字

陈志勇龙华刘海峰

（中国船舶集团有限公司第七二二研究所武汉 430079）

1 引言

通信与密码融合发展日益紧密，通信过程中的高效性与安全性往往是一对矛盾，若要求通信高效畅通，则需要简化密码安全协议流程及复杂度，甚至不用任何密码保护，若要求通信安全可靠，则需要增加密码保护及额外信息传输，则会降低通信质量［1］。

密码通信一般分为两个阶段，密码同步阶段和加密数据传输阶段，如图1所示。

密码同步阶段，发送方将IV 向量等密码同步信息经过信道编码后发送给接收方，接收方对收到的数据信道译码，得到同步信息，并利用同步信息预置与发方相同的密码机初态；数据传输阶段，发送方对数据进行加密，经过信道编码后发送给接收方，接收方对接收到的信号信道译码，再对信息进行解密，得到明文信息。

图1 密码通信系统图

在某些人为干扰和自然环境噪声干扰很强的情况下，信道误码率很高，经常出现“明通密不通”的现象。分析该现象出现的原因，主要是由于明码通信与密码通信对信道误码的容忍度存在着差异。在密码同步阶段，同步信息一旦出现误码，收发双方的密码状态不一致，将无法建立正确的密码通信。在数据传输阶段，在没有错误扩散的情况下，少量的信道误码是可以容忍的。密码同步阶段必须使用同步概率非常高的纠错编码，才能保证“明通密也通”，因此，研究密码同步码的纠错编码具有非常重要的意义［2～4］。

2 编码方案介绍

2.1 基本定义

定义1：在F2域上，分组码[n，k]定义为信息长度k ，校验长度r=n-k 的编码，由信息位和校验位组成长度为n 的序列(c0，c1，...，cn-1)称为码字，所有信息和相应的码字共有2k个，称这2k个码字的集合为[n，k]分组码，定义R=k/n 为该分组码的码率。

定义2：两个码长为n 的码字x、y 之间对应位取值不同的个数，称为该两个码字的汉明距离，记为d(x，y)。在分组码[n，k]中，任意两个码字之间汉明距离的最小值，称为该分组码的最小汉明距离，记为

定义3：两个码长为n 的码字x、y 之间对应位取值相同的个数，称为该两个码字的符合数，记为fh(x，y) 。符合数与汉明距离之间的关系为fh(x，y)=n-d(x，y)。

定义4：设f(x)=b0xk+b1xk-1+...+bk-1x+1 是k 次本原多项式，由f(x)可以生成线性移位寄存器序列，设初态为(a0，a1，...，ak-1)，则生成的序列为a0，a1，a2，...，方式如下：

2.2 编码方案

线性分组码[n，k]利用本原多项式生成移位寄存器序列，步骤如下：

1）在F2域上找到一个k 次本原多项式f(x)=b0xk+b1xk-1+...+bk-1x+1；

2）假设需要编码的 k 比特信息为(a0，a1，...，ak-1)，使用方程式（1）生成长度为n 的移位寄存器序列，编码后的码字为(a0，a1，...，an-1)。

3）当(a0，a1，...，ak-1) 取遍（0，0，…，0）、（0，0，…，1），…，（1，1，…，1）共2k个信息元时，可以得到纠错码[n，k]的所有2k个码字。

3 译码方案介绍

对纠错码[n，k] ，发送方将编码后的码字A=(a0，a1，...，an-1)通过信道传输到接收方，接收方收到码字R=(r0，r1，...，rn-1)，由于信道存在干扰，码字R 中某些位置可能与A 序列中对应位置的比特不同，信道中的干扰序列表示为E=(e0，e1，...，，en-1)有错误的位置ei取值为1，没有错误的位置ej取值为0，则有R=A⊕E ，称E 为信道的错误图样。信道干扰造成的错误可在序列中的任意位置出现，若发送的序列码长为n，则信道中可能出现的错误图样E 有2n种。

如图2 所示，A 是由本原多项式f(x)生成的线性序列，经过噪声干扰，相当于模二加错误图样E ，得到的R 序列可以看成A 序列的含错序列。接收方对R 序列进行译码，相当于利用R 序列解线性移位寄存器序列的含错方程组，求出A 序列的初态。从理论上说，当序列长度n、移存器级数k 和含错率p 满足一定条件时是可以把移位寄存器的初态求出来的。

图2 发送、接收、干扰序列三者关系

4 纠错能力分析

本文对纠错能力进行评估时，假设基于以下条件：

1）强干扰信道，信道误码率pe分别设为0.05、0.1、0.15，且误码随机出现；

2）同步码长度为设为32bit、64bit；

3）纠错码[n，k]中的参数k 设置为8，n 设置为24、32、40、48、56五种情况，对应的码率为1∕3、1∕4、1∕5、1∕6、1∕7；

4）用于比较的纠错码为重复码和RS 码，且码率相当。

4.1 纠错码同步概率计算公式推导

定理1［8］C 为线性分组码，有以下性质：

1）对任意 a，b，c ∈C ，d(a，b)+d(b，c)≥d(a，c)；

2）如果C 中任意两个码字的汉明距离≥2t+1，那么C 是可以纠正t 比特错误的纠错码。

根据定理1，可以由纠错码C 的最短汉明距离求得可纠错比特数，表1 列出由f(x)=x8+x4+x3+x2+1 生成的纠错码［24，8］、［32，8］、［40，8］、［48，8］、［56，8］的最短汉明距离及可纠错比特数。

定理2［8］：假设纠错码C 的最短汉明距离为2t+1，当错误比特数≥t+1 时，一定可以找到不能纠正过来的码字。

表1 五种纠错码的可纠错比特数

定理2 的证明中，通过构造法找到不能纠正的码字，但是在实际信道中错误码是随机出现的，存在大量错误比特数≥t+1 却可以正确译码的情况，表2 列举了在信道误码率为pe=0.1，纠错码为［40，8］，试验次数为100000 次的纠错情况。当错误比特数为7、8、9、10 时，绝大多数的错误均可纠正，只是随着错误比特数变多，纠错能力越来越低，说明该编码在错误比特数超过理论纠错能力情况下，仍然有一部分是可以纠错的［9～10］。

表2 ［40，8］纠错码纠错情况

下面分两步推导该纠错码的错误译码概率公式。

1）计算长度为n 的码字出现t 比特错误的概率

假设信道误码率为pe，长度为n 的码字随机出现t 比特错误，概率pt服从二项分布，计算公式为

2）计算出现t 比特错误的情况下译码错误的概率

接收码字为r ，要在2k个码字中找与之比特符合数最大的码字，作为它的译码。

假设发送的码字为a，接收的码字为r，出现t比特错误，则a 与r 的比特符合率为pt'=(n-t)/n，随机情况下，两条序列比特符合率p0=0.5，两条序列的符合个数服从正态分布。可以由正态分布公式计算长度为n 的序列出现t 比特错误的T 值：

一方面，如果在C 中存在与码字r 之间汉明距离为t-1 的码字b，根据译码规则，一定会把r 译成b，从而出现译码错误。b 与r 的比特符合率为p't-1=(n-t+1)/n，可以计算长度为n 的序列出现t-1个错误的T 值：

图3是两个码字汉明距离概率的正态分布图。

图3 码字汉明矩离概率正态分布图

pb表示C 中码字与r 之间汉明距离≤t-1 的概率，pb可以由Tt-1反查正态分布表得到，该概率是一定会将码字r 译成错误码字b 的概率。由于C 中共有2k个码字，任一个都可能与码字r 之间汉明距离≤t-1，所以一定会译错的概率为2k×pb。

另一方面，还存在其他码字c 与码字r 之间汉明距离等于t 而译错的情况，有50%的可能将码字r 错误地译成码字c。在图3 中，pa为T 值≥Tt的概率，由Tt反查正态分布表可得到，而pc=pa-pb为存在某个码字c 与码字r 之间汉明距离等于t 的概率，由于C 中共有256 个码字，任一个都可能与码字r 之间汉明距离等于t ，并有50%概率译错，所以此种情况译错的概率为2k×0.5×pc。综合以上两方面，当错误比特为t 时，译码错误的概率为

当p*t ≥1.0 时，表示出现t 比特错误时，一定会译码错误。

综合1）和2），长度为n 的码字出现t 比特错误并译码错误的概率为pt×p*t，由此可以求出总的译码错误概率：

表3 是纠错码［40，8］在信道误码率为0.1 条件下，错误比特数为0～14时，译码错误概率分布表。

纠错码［40，8］在信道误码率为0.1 条件下，总的错误译码率为0.002231，纠错码［40，8］的译码成功率为0.997769。当传输32bit 或64bit 同步码时，需要用纠错码［40，8］进行4 次或8 次编码，则传输32bit 同步码成功概率为0.9977694=0.9911，传输64bit 同步码成功概率为0.9977698=0.9823，以上理论计算结果与模拟实验结果完全吻合。