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问题引发思考 培养创新意识

2022-07-24张秋爽

小学教学研究 2022年8期
关键词:数学思考发现问题提出问题

张秋爽

【摘 要】数学教学不仅仅是背概念,更重要的是让学生经历知识的形成过程。在学习过程中,要让学生始终保持思考的状态,发现问题、提出问题,在关键处提问,凸显数学核心概念;在对比中提问,凸显知识关联;在无疑处提问,拓展学生的思考维度,进一步分析问题和解决问题,培养学生的创新意识。

【关键词】发现问题 提出问题 数学思考 创新意识

创新意识的培养是现代数学教育的基本任务,应体现在数学教与学的过程中。学生自己发现和提出问题是创新的基础;独立思考、学会思考是创新的核心;归纳概括、形成猜想和总结规律,并加以验证,是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起,贯穿数学教育的始终。

一、在关键处提问题,凸显数学核心概念

数学学习就是要满足学生的好奇心,使其不仅知道是什么,还要知道为什么。课堂上要给学生发现问题、提出问题的时间,这样做的目的:一是解决学生心中的疑惑,满足他们的需求;二是凸显数学的核心概念,让学生感悟数学的本质,为后续学习打好基础。

“11~20各数的认识”一课,讲述了古人用大石头、小石头表示11~20各数的故事,教师可以引导学生用直观的学具——小棒进行表示,认识10个1就是1个10。接下来,教师还可以为学生介绍计数器,但是,怎么介绍好呢?

我们班学生有一半已经认识了计数器,他们会告诉你“左边放一颗珠子代表10,右边放一颗珠子代表1”对于这部分知识,怎样让每个学生都能知其然又知其所以然呢?

师:刚才我们欣赏了聪明的古人用1个大石头和1个小石头表示出11,也能用1捆和1根小棒表示11。你还能用什么表示11呢?

师:咱们的学具袋中有很多珠子,有颜色不相同、大小相同的珠子;有颜色相同、大小不相同的珠子;也有颜色相同、大小也相同的珠子。请同学们从中挑两颗珠子表示11,试试看。

(学生独立思考,尝试后进行交流)

生1:(边说边拨)我拿一个珠子放在计数器的十位上表示1个10 ,拿一个珠子放在个位上表示1个1,这就是11。

生2:为什么长得一样,一个表示10,一个表示1呢?

生3:为什么大小一样、颜色也一样的两个珠子能表示11,不是2个珠子表示2吗?

师:好问题,真会发现问题和提出问题。不着急,让我们再来听听其他同学的想法,相信大家的问题就能解决了。

生1:我拿一个大珠子表示1个10,拿一个小珠子表示1个1。

生2:我拿一个大珠子表示1个10 ,放在上边,拿一个小珠子表示1个1,放下边。

师:大珠子、小珠子就像大石头、小石头一样,放上边、下边可以,放左边、右边也可以,和位置没有关系。

生1:我拿两个大小一样的珠子,蓝色代表1个10,绿色代表1个1。

生2:我也是拿两个大小一样的珠子,绿色代表1个10,蓝色代表1个1。

生3:我拿的是红色和黄色的珠子,黄色的代表1个10,红色的代表1个1;反过来也行。

师:同样大小的两颗珠子,选择两种不同的颜色,只要事先约定,就可以表示出11。那你们有拿形状相同、颜色也相同的两颗珠子表示11的吗?能表示吗?

生:我觉得两颗一模一样的小珠子只能表示2,它就是两个,不能表示11。

师:是呀,我也是这么想的。

生1:我觉得可以把1个小珠子看成10,另一个小珠子看成1。

生2:可是这两颗小珠子长得一模一样,又不是一个大一个小,难以分辨。

师:是呀,同样大小的珠子你怎么能让所有人都知道到底谁是10谁是1呀?

生:在一颗珠子上写个10,在另一颗珠子上写个1不就行了。

师:其实,刚才他的想法和我们数学家的想法特别像,数学家为我们制作了计数的工具,快来看(出示计数器),认识吗?

师:既然两颗小珠子长得一模一样,我们就用位置来区分。请看计数器,从右边起第一位是个位,个位上有几颗珠子表示几个一;从右边起第二位是十位,十位上有几颗珠子就表示几个十。所以两颗一模一样的珠子一个放在个位,一个放在十位,就表示11。

师:你们还有什么问题吗?

生:两颗长得一模一样的珠子还能代表几呢?

师:真会提问题!你能顺藤摸瓜,从一点出发向多个角度提问,值得大家学习。关于他的问题,同学可以先拨一拨再回答。

生:两颗珠子还可以表示2,把两颗都放在个位。

(学生们沉默了,没有了其他答案)

师:两颗珠子还可以表示20,放在哪儿呢?

生:两颗珠子放在十位,就表示20。

师:对呀!结合大家的回答,我们就明白了,两颗珠子都放在个位表示2个1,都放在十位,表示2个十,还可以1颗放个位,1颗放十位,表示11。

生:两颗珠子可以表示11,12可以用几颗珠子表示?13呢?

师:同学们,表示12用几颗珠子?十位放几颗?个位放几颗?谁愿意回答?

生:3颗珠子可以表示12,1颗放在十位,2颗放在个位;4颗珠子可以表示13,3颗在个位,1颗在十位。

本节课内容是学生认识数位的开始,也是学生进一步理解数位和计数单位的重要基础。教师根据学情,从结论出发,抓住学生的困惑,从困惑出发,把静态的知识设计成动态生成的过程,给学生提供了思考的空间,使其产生疑惑,师生共同发现和提出一连串的問题,在互动交流中解决疑惑,从而碰撞出智慧的火花,帮助学生真正理解“不同数位上的数可以表示不同的数值”。感悟在计数器上用小珠子表示数的价值,拓宽了学生的视野,从结论本身走向知识的形成过程,诠释了由浅入深的思维层次。

水平1:“大珠子、小珠子”与“大石头和小石头”“一梱小棒和一根小棒”具有异曲同工之妙,都分别用来表示10和1,一个大石头或一梱小棒可以表示10,一个小石头或一根小棒可以表示1,所以可以表示11。而大珠子、小珠子有大小之分,表示的数分别是10和1,石头放在哪儿都不影响数的大小,大石头表示的数总是10,小石头表示的数总是1,和位置没有关系,学生容易接受,但呈现在计数器上,大小不一样的珠子不便于交流。

水平2:形状相同、颜色不一样的两颗珠子也可以表示11,只要事先有约定,不同颜色的珠子放在哪儿都可以,约定后不影响它们代表数的大小,和位置无关,但呈现在计数器上,约定的种类就更丰富了,需要做解释和说明。

水平3:长得一模一样的两颗珠子不好区分,需要在一颗珠子上写上“10”,在另一颗珠子上写上“1”,就能表示11。这正是位值制的本质,同样的数放在不同数位上表示不同的值。

本节课,让学生在关键处提问题,教给他们顺着杆接着问,从多角度思考,把握知识的来龙去脉,在这个过程中,学生初步形成了符号意识,也促进了他们的数学理解,为其后续学习大数的认识打下基础。

二、在对比中提问题,凸显知识关联

发展学生发现和提出问题的意愿和能力是学习的重要目标,也是创新的基础。真正的学习是从学生发现和提出问题开始的,不断产生疑问,探究知识的奥秘,继而成为学习的动力。

在学习“2、5、3的倍数的特征”时,学生可以通过举例,经历不完全归纳推理的过程,得出2、5的倍数只看个位,而3的倍数要看各个数位上的数字之和是否是3的倍数。学生能把特征记下来,并用它去判断一个数是不是2的倍数、5的倍数或3的倍数,难道这就是我们学习的目标和价值追求吗?数学不是记忆,除了获得这些知识技能外,课堂上还要让学生收获些点什么?数学是理解,要从工具性理解到关系性理解。教师在教学过程中,要进行对比和勾连。

师:看到“2、5、3的倍数的特征”这个课题,你有什么问题?

生1:2的倍数、3的倍数、5的倍数有什么特点?

生2:为什么2、5的倍数的特征只看个位?不看其他的数位呢?

生3:为什么3的倍数的特征看个位不行,要看各数位上的数之和才能判断呢?

……

如何让学生能理解这样的概念呢?教师可以摆一摆、分一分、画一画、说一说,然后大家一起交流。

生1:我们学过2的乘法口诀,一二得二、二二得四、二三得六……二九十八,个位上的数是0、2、4、6、8,因此,我认为2的倍数的特征是个位是0、2、4、6、8的数。

生2:你的发言启发了我,5的乘法口诀,个位不是0就是5,没有其他的数字,所以个位上是0或5的数,就是5的倍数。

生3:我拿12根小棒,也就是1捆和2根小棒;1捆10根小棒是2的倍数,只需要看2根是否是2的倍数就可以了,所以2的倍数只看个位就可以了。

师:你能把刚才表达操作过程的文字语言转化成数学语言吗?也就是用一个算式来说明。

生1:12÷2=(10+2)÷2=10÷2+2÷2,整十部分就不看了,直接看个位数是不是2的倍数就能判断12是不是2的倍数。

生2:我拿54根小棒,也就是5捆和4根小棒,整捆的表示整十数,整十数肯定是2的倍数,那么只需要看个位有几根小棒,也就是有几个一,个位是4,4是2的倍数,所以54就是2的倍数。

生3:我在计数器上拨一个数136,也就是1个百、3个十和6个一,100肯定是2的倍数,30也肯定是2的倍数,所以只看个位,其他位就可以不看了。其实只需要看个位是单数还是双数,个位是6,是双数,因为6是2的倍数,所以136就是2的倍数。

生4:以此类推,一个数是不是2的倍数,只需要看个位就可以了,因为所有的整十数、整百数、整千数等都是2的倍数,就不用考虑了。

学生在操作中感悟数的分与合,通过列举多个例子,进行了合情推理的过程,明白了2的倍数为什么只看个位,个位是0、2、4、6、8的数就是2的倍数的道理,做到了知其然更知其所以然。

同理,在学习5的倍数时,教师也可以让学生操作,经历不完全归纳法的过程,明白知识的来龙去脉。在此基础上,让学生动手操作小棒,自己寻找3的倍数的特征。

生1:我拿54根小棒,也就是5捆和4根小棒,即5个十和4个一,个位是4,所以不是3的倍数。

生2:仅看个位好像不行,5个十不是3的倍数,4个一也不是3的倍数,无法判断。

生3:是呀,54是3的18倍,按照经验看个位不行了。我选择的数是72,也就是7捆和2根小棒,表示7个十和2个一,单看个位,不是3的倍数,可72是3的24倍。

師:讨论到这儿,你们有什么问题或感觉?

生1:我感觉 54根小棒不能按照整捆的和单根的那样去分了。

生2:那应该把小棒分成两部分,让其中一部分就是3的倍数,只看其余的部分就行了?

师:这个办法好!你是如何考虑的?

生:我们学习2、5的倍数的特征,都是先分出一部分固定不变的,这固定不变的部分一定是2的倍数或5的倍数,然后再看另一部分。

师:你能够用旧知联想,进行类比迁移,是一种非常好的办法。问题是按照我们认数时的分解和组合的方式不合适了,该怎么拆分呢?

生1:我知道3的倍数的特征要看各数位上的数字之和是不是3的倍数,就能判断。如54,先看5+4的和,和是9,9是3的倍数,54就是3的倍数;82不是3的倍数,因为8+2的和是10,10不是3的倍数。

生2:为什么是这样的呢?54明明是50+4,怎么能变成5+4呢?

师:你很会提问题,从是什么到为什么,发现问题并提出问题,还把自己心中的困惑清晰地表达出来,大家一起讨论。这才是数学学习所追求的,数学是讲道理的,弄清楚其中的道理能让我们体会解决问题的方法和思考的新角度。请大家看我手里的小棒,认真思考,看看还是和原来那样拆分吗?

(师出示5捆和4根小棒)

师:这是54,刚刚说过5捆不是3的倍数,也就是10不是3的倍数,我们可以把每捆小棒看作是“9+1”,9是3的倍数,拿走9根,1捆剩下1根,5捆就是5个“9+1”,5个9不用考虑了,剩下5个1,所以5捆的50,我们只需要判断剩下的5和4合起来是否是3的倍数即可。

生:老师,我明白了,您操作小棒的过程可以这样记录:54=5×(9+1)+4=5×9+(5+4),5×9一定是3的倍数,不用考虑了,就看剩下的余数5+4的和9,5+4的和是9,9是3的倍数,所以54就是3的倍数。

师:在操作中感悟,在感悟中質疑,在联系中理解,在理解的基础上迁移。同学们的疑问就能解决,你们还有新的发现或问题吗?

生1:2、5、3的倍数的特征表面上看着没联系,难道真的一点联系都没有吗?

生2:为什么只学2、5、3的倍数的特征?其他数的特征就不学了呢?

生3:6、9的倍数的特征和3的倍数的特征有联系吗?

生4:4的倍数的特征看个位行吗?看个位不行的话,看全部行吗?还是和2的倍数一样,看某些位就行呢?

生5:2×5=10,2和5的倍数看个位;4×25=100,是不是4的倍数、25的倍数就看后两位?看个位和十位行吗?

生6:7的倍数有什么特征呢?

……

这些问题使学生们眼前一亮,也让他们渴望寻找答案。教师只有给学生发现问题和提出问题的时间和空间,才能激发他们不断地想、持续地想、关联地想,也给他们后续的研究提供了素材。最终,每个学生都能始终保持思考的状态,发现和提出问题,用所学知识和方法解决自己感兴趣的问题。

三、在无疑处提问题,拓展学生的思考维度

在学习“长、正方体的认识”时,我们非常强调根据几何元素去观察。对于长、正方体来说,它的几何元素就是面、棱和顶点,其中个数和关系是元素的思考维度。

学生都知道长方体有6个面、12条棱、8个顶点。在单元复习课上,需要教师引领学生思考:

(1)长方体为什么有6个面?你怎么知道的?

(2)长方体有12条棱,这12条棱的长度和位置关系如何?

(3)长方体有8个顶点,每一个顶点和面、棱的关系是什么?

师:你们可以从中选择一个问题进行独立思考,然后交流。

生1:长方体有6个面,我是通过实物数出来的,有上、下面,左、右面和前、后面。相对的面都是长方形,也可能有一组面是正方形,面积相等。

生2:我们在三年级学过长方形,长方形有4条边,4个角。如A4纸就是长方形的,把一张张A4纸摆在一起,就是一个长方体。

生3:受同学的启发,我想到把一张长方形的纸向上平移,请大家想象,扫过的空间就形成了长方体。原来下面是4条边、4个角,平移后出现一个上面,也有了4条边和4个角,此时就是8条边、8个角,在上、下面之间起支撑作用的还有4条边,与此同时,在四周又出现了前、后、左、右四个面,所以一共是6个面、12条边、8个角。

师:角是构成平面图形的元素,是从一点引出两条边组成的图形。在长方体中的角已经由两条边变成了相交于一点的三条边。为了区分平面图形和立体图形,在立体图形中,边就变成了棱,角就变成了顶点。

在这里,其他问题的互动交流不再赘述。

张丹教授研究的“问题引领式学习”包括三个要点:(1)学会提问,发展学生发现和提出问题的意愿和能力是学习的重要目标;(2)因问而学,真正的学习从学生发现问题开始,不断产生问题也成为学习的动力;(3)问学交融,学生一方面在不断地发现、提出、分析、解决问题中学习、应用和发展所学的知识、方法,另一方面在学习过程中不断发现和提出问题。所以教师要善于提问,要给予学生质疑的时间和空间,激发学生的好奇心和求知欲,培育学生的核心素养。

【参考文献】

吴正宪,张丹.让儿童在问题中学习数学[M].北京:教育科学出版社,2017.

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