吴霞飞 孔繁 朱杰 王胜国

（中国电子科技集团公司第二十七研究所 河南省郑州市 450047）

1 引言

阵列天线的数字波束形成技术是相控阵天线数字化发展的研究进展。技术优势明显，该系统具有可靠性高、稳定性好、抗干扰能力强等特点。雷达在方位和俯仰维的测量精度直接与天线口面尺寸相关，天线口面尺寸的增加，特别是对于大型或者超大型阵列，意味着天线阵元数目的增加，如果采用数字波束形成天线，导致硬件成本急剧增大，资金负担严重，是阵列天线的一大缺陷。研究不减小天线尺寸减少通道数的方法称为关键。采用优化算法的稀疏布阵，例如采用遗传算法的稀疏布阵，缺点是虽然阵元数减少了，但是旁瓣抬升了很多严重影响了数字波束形成的性能。虽然通过优化算法可以降低方向图旁瓣，但是优化算法针对的是静态方向图优化，对于需要扫面的情况无法做到任意扫描方向上的旁瓣都很低。研究既能减少阵元数目又能降低旁瓣和无栅瓣的布阵和波束形成算法成为热点，压缩感知，压缩感知,CS）理论为实现稀疏布阵的波束形成算法提供了新的方向。

根据奈奎斯特采样定理，当信息量不断地加大，增加信号带宽是必要的，信号处理对采样率的要求越来越高。为了解决该问题，压缩感知价值理论被提出，其核心企业思想是将信息技术压缩与数据采样合并方式进行，将信号的采样转换为信息的直接采样，从大量无用信息的较少采样，然后，根据相应的重构算法，从测量数据中准确地重构出原始信号。这样，信号的采样率和数据进行存储与传输的成本管理可以大大降低，信号处理工作时间和计算企业成本控制可以显著降低。

本文所研究的方法是利用压缩感知理论，借助目标空间来波的稀疏特性，对空域稀疏信号的采样矩阵进行压缩采样，然后建立并求解目标函数重构出满阵时的通道数据，最后波束输出是采用重构的满阵的数据进行自适应数字波束形成后得到相应的阵列权重系数实现的。通过该方法可以大量减少阵元数目，实现稀疏布阵，而且具有满阵状态下的自适应波束形成算法的优势，旁瓣低，波束控制灵活，有效地对干扰位置形成零陷，可是应用于静态和波束扫描的场合。

2 压缩感知理论算法原理

奈奎斯特采样模式定理是传统的信号进行采集和压缩生产过程的准则，原始信号需要通过三步完成对原始信号的传输和储存。

图1 中可以看到原始信号首先需要经过高速采样，通过对高速采样进行变换和压缩之后的信号为压缩信号，通常传输和存储的都是压缩后的信号。当需要恢复原始信号的时候，进行逆操作，对压缩信号解压和反变换恢复出原始信号。由于变换和压缩是在高速采样之后，大量的采样值被丢弃，导致了采样和内存资源的浪费。

图1： 传统信号处理框架

压缩感知理论将信号的采样和压缩集中在一个步骤中。如图2 所示，采用低速压缩采样直接得到可传输和存储的信号。前提是信号必须稀疏,这是稀疏信号表示的先验条件，通过选择稳定的测量矩阵，且该矩阵必须能够满足 RIP 性质进行约束，通过测量矩阵对原始信号进行线性投影得到测量值，最后通过解优化问题重构原始信号。

图2： 压缩感知框架

使用压缩感知技术的前提是，信号可以在特定的基础上稀疏地表示，在采样的同时对信号可以进行数据压缩是必要的，从而能够大大降低了采样率。压缩感知利用了信号的稀疏结构，也就是说，信号空间中系数的一小部分包含了信号的大部分能量。定义一维信号 x，x 属于信号空间 RN，为一个 N×1 维列矢量，假设存在 N 个 N 维的基向量 {Ψi}Ni=1构成 N × N 维基矩阵 Ψ ，信号 x 在该基下可以表示为：

如果0 ≤p ≤2，K ≥0 同时成立，所以我们可以说x 在太阳底下是稀疏的，特殊的当p=0 时，信号x 在变换域下被称为k-稀疏的。因此找到信号的稀疏域，选择合适的基信号代表信号是保证信号系数度和恢复精度的唯一途径。近年来，冗余字典下信号的稀疏分解已经成为稀疏表示领域的一个研究热点。这是一种全新的表示理论，它用超完全冗余函数取代基函数，成为冗余字典。其构成没有任何限制，字典的选择只要求能够尽可能好的逼近信号结构。在冗余字典表示稀疏信号的研究中主要关心设计冗余字典和快速有效地稀疏分解算法，如MP和BP算法。

当可压缩信号经过变换得到原始信号的稀疏表示以后，需要用到一个观测矩阵，使得在这个观测矩阵上的投影得到的观测值能够包含原始信号的绝大部分信息，从而保证从观测值里对信号精确重构。若过观测研究过程破坏了原始数据信息则重构不可为了实现。通常观测矩阵Φ 是M×N 维的，其中M«N，观测矩阵Φ 的M 行对稀疏系数向量投影，即观测数据部直接对信号采样，相反，用稀疏表示的信号和观测矩阵的内积，得到M 个观测值：

3 数学模型

数学模型的建立以线阵为例，设置一个均匀直线的满阵，单元数量为N，间距为 λ/2。当k 个信号入射到天线阵列上时，信号的复包络为s(t)，来波方向是θ。其中包含了对于一个企业期望通过信号和K-1 个干扰信号。N 个天线单元每个天线单元所接收得信号可以表示为下式：

阵列接收信号向量X（t）可以写成矩阵Ψ 表示的矩阵形式：

其中，S(t)是接收信号矢量 x(t)在变换矩阵上的投影系数矢量。我们假设θ是θ,θ,…,θ中的一个。则S(t)具有稀疏性，其中的非零元素只有少数几个。根据压缩传感理论，采用该算法可以精确恢复阵列接收信号X(t)。压缩采样不是直接对满阵信号测量，稀疏布阵相当于对阵列进行压缩采样，设矩阵Φ，与变化进行矩阵Ψ 不相关，X 除以φ 的投影矢量 z 是测量参数。

通过算法，可以把满阵的原始阵列的N×M 个阵元进行的空间采样进行还原。对于式（15）的观测矩阵，当容性条件被满足时，向量S(t)被解出，满阵信号X(t)被重构。常用的压缩采样矩阵有 hadamard 矩阵、 garandom 矩阵、随机稀疏矩阵等。P 满足RIP 条件的随机稀疏矩阵可以方便得到，所以本文采用随机稀疏矩阵。在得到M 个压缩采样阵元的采样值矩阵后，采用CVX 工具箱等方法估计出投影系数向量SNq，然后，根据矩阵ψ，可以重建接收向量XN 的全阵列。

再进行自适应数字波束形成，用恢复的通道数据计算权重值，设置天线主瓣方向为所期望的信号方向，天线的波束零陷自动设置在干扰的预计方向，实现在抑制干扰的同时可以实现企业期望的接收数据信号。

4 仿真结果

假设在空间设计上有两个来自中国不同发展方向的信号，其中作为一个为期望通过信号S(t)，另一个为干扰进行信号，不考虑信号之间的相关性，信干比均SIR=-30dB。阵列天线形式为均匀线阵，满阵时的阵元数N 为100，阵元间距为l/2。通过压缩采样方式从N=100 个阵元中选取M=26个压缩采样阵元，然后上文描述的方法进行压缩采样和满阵接收信号向量重构，权重系数采用自适应波束形成算法。

恢复数据时快拍数为20， M = 26 为预期的压缩采样单元数量，通过压缩采样，从100 个完整阵列中选择序列号压缩采样阵列元素：4,15, 19, 21, 22, 25, 31, 35, 36, 37, 38, 39,46, 47, 49, 50, 53, 54, 56, 65, 75, 82, 87, 89, 96, 99。模拟分析目标和干扰情况，已知条件是目标方向，未知的是干扰方向，为方便分析，假设干扰方向30 度，目标方向40 度。

由图 3 可知，在保持天线表面尺寸不变的情况下，天线元件数量从100 减少到26 个时，普通方法直接形成的最大光束为-8.9dB；压缩传感数据和数字光束形成，方向精确、零干扰方向、低侧瓣、无门瓣，与全阵列（100 阵列）的光束性能相同。

图3： 单个信号和干扰下情况的稀布阵压缩感知算法仿真结果

干扰增多的情况下，继续仿真算法，假设目标指向40 度，干扰增多为2 个，分别在30 度和50 度。信干噪比为-30dB。此时的随机稀布阵元序号为1, 2, 4, 9, 10, 12, 13, 15, 18, 19,20, 23, 24, 36, 39, 44, 57, 65, 66, 71, 73, 75, 82, 85, 94, 95。如图4 所示，稀布的26 个阵元的方向图旁瓣非常高有-5.9dB。本文方法产生的方向图和压缩感知波束形成算法的效果抑制，能够在目标位置形成指向，在30 度和50 度形成零陷对抗干扰。如图4 右图，其他条件不变，生成针对双目标的双波束，目标在10 度和40 度方向。可以看出采用压缩感知的波束形成算法在阵元数减少到26 个的情况下依然和满阵100 阵元的效果抑制。

图4： 改变目标和干扰数量下情况的稀布阵压缩感知算法仿真结果

如图5 所示，在不同干扰噪声条件下，进行了100 次蒙特卡洛仿真分析。在干噪比从0dB 变化到30dB 的过程中采用26 阵元稀布的旁瓣电平始终非常高，不利于实际应用。采用压缩感知方法的波束形成在零陷1 和零陷2 形成的零陷深度对干噪比变化，随着干噪比的增强，零陷深度不断加深，说明了波束性能良好。

图5： 蒙特卡洛仿真分析

5 结论

针对稀疏阵列情况推出的压缩感知数字波束形成算法，在不减少天线直径和保证波束性能的情况下，大大减少了阵列元件的数量。这是一种新的稀疏阵元处理方法，大大减少了射频前端的数量。即通过利用空域中空间信号的稀疏性，采用压缩感知的方法恢复出与满阵口面尺寸相当的各通道的数据，将恢复后的全阵列信道信息数据可以用于自适应学习数字波束形成，仿真结果表明了该方法的有效性。