杨浩方 陈操

【摘要】本文基于对几何直观概念的认识，论述利用几何直观开展数学教学的体会：借助几何直观，理解数量关系，构建数学模型；借助几何直观，沟通算理，形成知识结构；借助几何直观，把握问题本质，促进问题解决；借助几何直观，化难为易，突破学习障碍；借助几何直观，明晰方法，拓宽解题思路。

【关键词】几何直观 概念 几何图形 表现形式

【中图分类号】G62 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2022）28-0067-04

《義务教育数学课程标准（2022年版）》提出：几何直观有助于把握问题本质，明晰解题路径。因此，教师要进一步加强对几何直观的认识，将几何直观运用于小学数学课堂教学，以提升数学教学质量，发展学生数学核心素养。

一、基于几何直观概念的认识

由于几何直观内涵丰富并与一些相关联概念之间存在紧密联系，因而许多教师对几何直观概念的内涵比较模糊。教师只有真正明白什么是几何直观、几何直观有哪些本质特征，才能将几何直观有效运用于数学教学中。

（一）几何直观概念的解读

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将原先的“空间与图形”领域改为“图形与几何”领域，首次将几何直观列入十大数学核心素养之一。几何直观来源于“图形与几何”领域，但它也适用于“数与代数”等领域，所以这个图形不单单局限于几何图形的范围，它可以是表格、图形、线段、方框、统计图等。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》对几何直观做了明确解释：“几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯……几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径。”新课标指出了几何直观的内涵及教育价值。几何直观是教师开展教学的一种有效手段，也是学生学习数学的有效方法。著名数学家徐利治说：“几何直观是借助与见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。”几何直观将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，化抽象为具体，以此帮助学生直观地理解数学。

（二）几何直观的表现形式

若想进一步明白什么是几何直观，教师还应知道几何直观在小学数学中有哪几种表现形式。孔凡哲和史宁中教授将几何直观分为：实物直观、替代物直观、简约符号直观、图形直观。实物直观是指实物层面的几何直观，它是运用生活中的具体实物作为研究对象而进行学习的一种思维方式。如教学人教版数学一年级上册“认识钟表”一课，教师可以让学生用家里的钟表作为学具，让学生通过观察钟面认识时针和分针，通过拨一拨时针认识几时。又如，教学“数的认识”时，教师可以利用小棒、计数器等具体实物帮助学生认识数的组成及意义。

替代物直观是指在替代物层面的直观，它是运用替代物替代原有实物作为研究对象的一种思维方式。运用替代物直观可以简化原有的研究对象，更便于操作和研究。例如，教学人教版数学三年级上册“倍的认识”例1时，教师可以让学生用白色、红色、黄色、蓝色的小圆片学具替代白萝卜、红萝卜、小白兔和小灰兔。这样，既便于学生操作，又能使学生形象地感知数量之间的倍数关系。

简约符号直观是指简约符号层面的几何直观，从三维立体空间转向了二维平面图形，是对实物和替代物的进一步的抽象。例如，教学人教版数学三年级上册“倍的认识”例2时，教师可以让学生用人物简笔画或圆型、三角形、五角星等简约符号代替擦桌椅的人数和扫地的人数，使学生能形象直观地看出把扫地的4人看作1倍，擦桌椅的人数包含4个扫地的人数。简约符号直观能让学生直观、清楚地理解研究对象之间的关系，从具体思维逐渐过渡到抽象思维。

图形直观是指几何图形层面上的直观，它是运用点、线、面、体“图形与几何”领域里的图形进行描述和分析问题的一种思维方式。例如，教学人教版数学五年级上册“植树问题”的内容时，教师可以引导学生通过画线段图的方式，理解“两端都种”“只种一端”“两端都不种”以及封闭图形的种法，明晰棵数与间隔数之间的数量关系，建构数学模型。

（三）几何直观与相关概念的辨析

为了开展有效教学，在认识“几何直观”内涵的同时，教师还要明白几何直观与直观几何、空间观念、数形结合等相关概念的联系与区别。

1.几何直观与直观几何

虽然“几何直观”与“直观几何”都是建立在对图形直观感知的基础上，学生都是在经历学习活动中积累活动经验、发展几何直觉，但“直观几何”是指通过对图形进行观察，根据直观认识来研究图形的性质和相关问题的一种几何学习方式或手段；通过观察比较或动手操作获得对图形的认识，并发展空间观念。例如，在教学平行四边形的面积时，教师引导学生运用观察、操作等手段将平行四边形转化为长方形，并得出平行四边形的面积推导公式，这种几何学习的方法就是直观几何。因此，“直观几何”与“几何直观”是两个不同的概念。“直观几何”是一种几何学习的方法，“几何直观”是解决数学问题的一种思维方式、意识和习惯。

2.几何直观与空间观念

虽然几何直观与空间观念都跟图形有关，但空间观念是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识。几何直观，是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。由此可知，空间观念有比较明显的目标特征，体现更多的是教学结果；而几何直观过程性特征更加突出，体现的是一种思维方式和能力，是学生的有效学习方法和教师的有效教学手段。另外，“空间观念”属于“图形与几何”领域，是几何教学的一个重要专有名词；而“几何直观”除了借助“几何”，还跳出了“几何”领域，运用到了更广阔的领域。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将“空间观念”修改为“空间观念”和“几何直观”，虽然将“几何直观”从原先的“空间观念”剥离出来，但两者之间存在紧密联系。例如，我们如果要清晰表象、发展空间观念，就需要用到观察、想象、分析等直观手段；运用图形描述和分析问题的几何直观，也离不开空间观念的观察与想象。可见，“空间观念”和“几何直观”两者相辅相成，相互促进与发展。

3.几何直观与数形结合

在现实教学中会存在一个误区，大多数教师以为“数形结合”就是“几何直观”。其实，两者既有联系又有区别。几何直观可以通过数形结合建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型。数形结合有两种形式：一种是“以数解形”，另一种是“以形助数”。为此，浙江省特级教师顾志能做了一个很形象的比喻：数形结合好比公路的双向车道，它可以从“数”出发到“形”，又可以从“形”出发到“数”；而几何直观就只是从“形”出发到“数”的单向车道。

二、基于几何直观教学的实践

明白了几何直观概念的深刻内涵，教师就可以将它有效运用于小学数学教学。几何直观作为一种教学手段，可以使复雜的问题变得简明形象，有助于学生理解数量关系、沟通算理、化难为易、明晰解题思路等。

（一）借助几何直观，理解数量关系，建构数学模型

小学生的思维处在具体形象思维向抽象思维过渡的阶段，而数学模型比较抽象，学生建构数学模型需要经历一个过程。为了帮助学生建构数学模型，教师可以借助几何直观，让学生通过画图、操作等手段，将数量关系具体化、直观化，使学生在形象感知中直观理解数量关系，有效完成数学模型的建构。

例如，教师在课堂上出示这样的题目：在一条20米长的笔直道路一旁种树，每隔5米种一棵可以种几棵？学生马上列出了算式：20÷5=4（棵）。这时教师追问：20÷5=4，表示什么意思？是怎么种的呢？还有不同的种法吗？接着，引导学生用画图的方法试着再次解答。学生通过画图得到了不同的答案（如图1所示）。

学生发现在笔直道路一旁种树有三种情况：两端都种、只种一端、两端都不种。教师再次引导学生探究，通过观察线段图发现间隔数和棵数之间的数量关系：两端都种，棵数=间隔数+1；一端种，棵数=间隔数；两端都不种，棵数=间隔数-1。学生通过画图，运用数形结合的思想，发现了植树问题的数量关系，并在头脑中建立了数学模型。

（二）借助几何直观，沟通算理，形成知识结构

为了实现核心素养导向的教学目标，教师要整体把握教学内容之间的关联。以教学“数与运算”为例，在学生理解整数、小数、分数意义的同时，教师可借助图形，使学生在观察、感知中理解整数乘整数、小数、分数的计算原理。基于计数单位表达的一致性，学生可以将整数乘整数、小数、分数的计算原理统一成求几个这样的计数单位的积（如图2所示）。

教师借助几何直观教学法，有效帮助学生理解了知识之间的内在逻辑关系，沟通了整数、小数、分数计算原理之间的联系，使学生将所学的数学知识形成结构化的内容。

（三）借助几何直观，把握本质，促进问题解决

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出了几何直观的教学价值：“几何直观有助于把握问题本质，明晰思维的路径。”基于此，教师可利用几何直观教学法，让学生通过画图、操作等手段发现题目中隐含的数学信息，抓住数学问题的本质，找到解题路径，促进问题解决。

例如，教学“公因数和最大公因数”一课时，教师出示题目：有一间长16分米、宽12分米的储藏室要铺地砖，为了能整齐美观，你认为铺边长几分米地砖比较合适？（地砖的边长为整分米）对此，教师引导学生用画图的方法解决问题。（如图3所示）

学生经过动手画一画，发现正方形地砖的边长可以是1dm、2dm、4dm。学生经过观察又发现：地砖的边长越短，需要地砖的块数就越多；地砖的边长越长，需要地砖的块数就越少。学生还发现求地砖的边长就是求12和16的公因数。通过进一步观察图形，学生发现选择边长为4分米的方砖铺地最合适。学生运用图形工具，把抽象的数学语言转化为直观、形象的图形语言，厘清了解题思路，明晰了所求问题的本质，有效地解决了问题。

（四）借助几何直观，化难为易，突破学习难点

学生在学习过程中难免会遇到一些条件隐蔽、关系错综复杂的题目，在解决问题的过程中也时常会卡在某个点上。这时，教师可引导学生通过几何直观，利用图像分析化难为易，将抽象的数学问题形象化、直观化，突破学习难点。

例如，教学人教版数学四年级下册“平均数”时，教师出了一道题：在某次期末考试中，明明的语文、科学、英语平均成绩是92分，数学的考试成绩比四门课平均成绩高6分，明明的数学成绩是多少？在解答过程中，学生遇到了一个难点：四门课的平均分不知道，该如何解决问题呢？在教师的引导下，师生共同画了一个条形统计图（如图4所示）。借助形象直观的图像，学生发现两块图形的阴影部分的面积是相等的，于是马上攻克了学习难点，求出了四门课的平均成绩是6÷3=2，92+2=94，这样数学成绩就迎刃而解，即94+6=100。可见，借助图像，学生能更直观地理解平均数的意义，再利用条形统计图移多补少的方法，顺利突破了学习难点。

（五）借助几何直观，明晰方法，拓宽解题思路

几何图形的直观性，为学生探究数学问题提供了强有力的支撑，可有效拓宽学生的解题思路。

例如，教学人教版数学五年级下册“长方体和正方体的表面积”的内容时，教师出示了这样一道题：有一个长、宽、高分别是10cm、4cm、5cm的长方体盒子（如图5所示），要在这个长方体盒子的四周贴上标签（接头处不计），标签的面积是多少？学生根据原有公式很快得出了算式：（10×5+4×5）×2，10×5×2+4×5×2。对此，教师可以引导学生将长方体展开（如图6所示）。学生通过动手操作和观察，发现：长方体的侧面积=底面周长×高，于是列出了新的算式（10+4）×2×5。借助直观图形，学生打开了思路，从多角度分析和思考数学问题，最终得出了不同的解题方法。

三、基于几何直观教学的反思

（一）几何直观教学要尊重学生的已有经验

学生在生活或学习中积累的经验是发展几何直观能力的基础，几何直观教学要建立在学生已有经验的基础上，图形的选择要与学生已有经验相匹配，教师要尊重不同学生的选图经验。例如，小学低年级学生喜欢用摆小棒、摆卡片等实物图来认识数、比较数的大小并进行数的加减运算；到了中年级，学生就会选择一些简单的符号表示数量关系；随着图形经验的丰富，到了高年级，学生会用线段图、统计图表等来表示数量关系。教师要在尊重学生已有选图经验的基础上，引导学生选择最有利于问题解决的图形，以此达到有效解决问题的目的。

（二）几何直观教学要关注学生的语言表达

几何直观教学的本质是借助图表将抽象的数学语言形象化，帮助学生分析、理解、掌握抽象的数学知识。因此，在几何直观教学中教师要关注学生观察图形的能力、分析问题的能力、用语言表达的能力，使学生经历从图形的观察到数学语言表达的学习过程。通过语言表达，学生学会了沟通数与形之间的联系，把握了问题本质，促进了问题的解决。

（三）几何直观教学要重视学生的作图训练

图形是培养学生几何直观能力的重要载体。培养学生的作图意识，让学生掌握一定的作图技能，有利于发展学生的数学思维，帮助学生有效解决问题。经调查，笔者发现小学生的作图能力比较弱，有些学生不擅长用图来表示信息和问题，有的学生画的图是残缺的，有的学生甚至把图形画错了。例如，教学人教版数学二年级上册“一班得了12面小红旗，二班比一班多得了3面，二班得了多少面？”的例题时，学生在画图过程中出现了种种错误现象，导致无法找到数量之间的关系。对此，教师要对学生加强作图指导，可根据学生的画图情况，分三个层次进行反馈：第一个层次反馈象形图，第二个层次反馈直条图，第三个层次反馈线段图。当然，培养学生的作图能力不能一蹴而就，需要教师持之以恒，常抓不懈。一旦学生掌握了作图技能，分析和解决问题的能力就会大大提高。

总之，几何直观教学适用于数学的每一个领域。教师合理运用几何直观开展数学教学，能有效提升数学教学质量。

参考文献

［1］郑意参.几何直观视角下初一新生数学应用题教学研究［D］.厦门：集美大学，2021.

［2］陈涛清.走出小学数学几何直观的认识误区［J］.小学数学教育，2015（Z1）：88-89.

［3］顾志能.对“几何直观”概念的几点辨析［J］.小学数学教师，2012（7）：32-41.

［4］朱达敏.基于几何直观的小学数与代数教学设计研究［D］.重庆：重庆师范大学，2020.

作者简介：杨浩方（1983— ），浙江杭州人，本科，一级教师，研究方向为优化教学方法提升教学质量的课堂实践研究；陈操（1974— ），浙江磐安人，本科，一级教师，研究方向为小学数学高效课堂教学。

（责编 黎雪娟）