李新

【摘 要】支持学生数学问题提出的教学策略，旨在通过教学，充分激活学生已有的数学经验，提供丰富的课程资源，创设有效的数学情境，促進学生主动建构有意义的数学问题。基于问题解决引导学生提出问题，通过引问、追问、续问，使问题提出与问题解决相互促进、协同前行。指向数学理解启发学生提出问题，既要提高学生工具性理解的有效性，也要促进其向关系性理解的转变。围绕学生问题提出能力的提升促进学生提出问题，要注重激发学生问题提出的内在动机，促进提问能力和水平的有效进阶。

【关键词】数学问题提出 教学策略 问题解决 数学理解 问题提出能力

数学问题提出是指学生在已有数学经验的基础上，对具体的情境给出自己的理解，并建构有意义的数学问题。新课标强调通过义务教育阶段的学习，学生能“初步学会从数学的角度发现并提出问题”。正如爱因斯坦所说的“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”，问题提出对于数学教学的重要性也是不言而喻的，蔡金法教授认为“问题提出是一个教学目标、一种认知活动、一种教学手段”，而且“如果一定要我挑出一个最主要的研究问题，那就是数学问题提出的课堂教学研究”。从教学目标的角度讲，与分析、解决问题的能力一样，学生发现和提出问题的能力也需要教师在教学中有目的、有意识、有计划、有步骤地加以培养;从认知活动的角度讲，问题提出能促进学生的思维发展，激发学生的好奇心、成就感，使学生产生积极的情感体验，提高参与学习活动的积极性;从教学手段的角度讲，问题提出能促进学生理解数学概念、探索数学规律、解决数学问题，实现高层次的教学目标。支持学生数学问题提出的教学策略，旨在通过教学，充分激活学生已有的数学经验，提供丰富的课程资源，创设有效的数学情境，促进学生主动建构有意义的数学问题。

一、基于问题解决引导学生提出问题

如果把问题解决看成一个周期，问题提出就是问题解决的开始，而一个问题的解决又预示着一个新问题的开始，甚至往往在问题解决的过程中，问题解决者（这里主要指学生）也会提出问题，或者指向并促进原来问题的解决，或者孕育新的问题。从这个意义上讲，问题提出与问题解决是相互促进、协同前行的。

（一）引问：提出初始问题

引问，有两层含义，一是引导学生提出问题;二是使学生在问题的引领下展开积极的思维活动。为引导学生提出问题，教师要注重情境的创设。指向问题提出的情境创设，既要激发学生产生把所提出的也是要解决的问题和已有经验之间联系起来的兴趣，也要切实帮助学生能够在所提出的也是要解决的问题和已有知识结构之间建立实质性的联系。为使问题能引领学生积极思考，教师要注重让学生理解问题，具体来讲就是使学生理解已知和未知之间的距离，并能直觉地体悟由已知到未知应经由怎样的路径、采取何种可能的策略。

比如，教学“平行四边形的面积”时，教师可以这样引问：教师出示木条制作的长方形框架，告知学生其长7分米、宽5分米，让学生提出问题。学生会问“周长是多少、面积是多少”并解决。接着，教师演示，将长方形框架“压扁”成平行四边形，“压扁”的过程是动态的、连续的，从中选取两个平行四边形呈现出来（如图1），再让学生提问，学生仍问“平行四边形的周长是多少、面积是多少”。求周长容易解决，而且，周长不变;求面积时则出现争议，有学生认为其面积和长方形的相同，也就是7×5=35平方分米;有学生认为其周长比长方形的小，而且两个平行四边形的面积也不同。于是，问题产生了：这两个平行四边形的面积到底是多少平方分米？

（二）追问：提出深度问题

追问，是教师激发、启发学生深入、持续思考常用的教学策略。指向问题提出的教学，应努力提供机会（比如时间、空间以及必要的启发、引导），促进学生在问题解决过程中展开追问。从追问的主体看，可以是学生自我追问、相互追问;从追问的目的看，可以是有疑而问（即在问题解决过程中，确有疑惑，想要问老师或同学），也可以是为证而问（即在问题解决过程中，自己有所思考、有所心得，想向老师或同学求证，想听听他们是否有同样的想法）;从追问的作用看，可以是促进对具体问题的更深入理解，也可以是推动具体问题向一般化、抽象化方向发展。

还是以“平行四边形的面积”的教学为例。在“引问”阶段提出了具体问题“这两个平行四边形面积各是多少”，学生运用已有的知识经验（主要是对面积意义的理解、对数方格求面积方法的掌握、对图形通过“剪、移、拼”转化后面积不变原理的直觉感悟等），借助工具和材料（剪刀、画在方格纸上的平行四边形等）解决了这两个具体问题，也证实在“压扁”的过程中平行四边形面积要比原来长方形的面积更小。教师让学生思考：“能想到什么新的问题？”经过独立思考、小组讨论，学生提出“四条边长度没有变，为什么这样得到的平行四边形面积比要原来长方形的小”“平行四边形的面积和什么有关”“如果任意给出一个平行四边形，面积怎样求 ”等问题。

（三）续问：提出后继问题

续问，是解决“引问”“追问”环节所提出的问题后，学生反思解决这些问题的过程，提炼所能获得的知识、技能，所感悟的思想、经验，通过举一反三、以此类推等策略，提出可以继续研究的问题。

仍以“平行四边形的面积”的教学为例。在本堂课快要结束的时候，教师引导学生回顾本课是如何研究“平行四边形的面积”的，并选取一些关键活动场景再次呈现出来（展示当时的PPT并配合语言讲解、师生互动），强化其中“研究了什么问题”“是怎样提出这些问题的”“是怎样解决这些问题的”“通过解决问题得到什么结论”等关键信息，之后问大家：“关于今天的学习，大家还有什么问题？”“受今天学习的启发，接下来大家想研究什么问题？” 经过独立思考、小组讨论，学生提出：“长方形压扁变成平行四边形，面积变小，跟角度变小了有没有关系？”“我想研究三角形的面积怎么求、梯形的面积怎么求。”

需要指出的是，无论引问、追问、续问，还是其他激发提问的策略，都需要教师发挥主导作用，比如，给学生创设提问的情境、搭建提问“支架”，可以运用材料或工具、发挥语言的作用，采用疑问、设问、反问甚至暗示、提醒等策略，引导学生提出有价值的问题。长期坚持，能帮助学生形成提问的习惯。

二、指向数学理解启发学生提出问题

数学学习强调理解已经成为广大教师的共识。英国数学教育家斯根普将理解分为工具性理解和关系性理解。工具性理解是表面的、外部的、形式上的理解，它解决是什么、做什么、怎么做;关系性理解涉及事物内部结构意义等的理解，反映事物内在的本质规律，解决为什么，以及活动的有效性、合理性。从教学实践看，学生在认识、理解数学的初期，往往是工具性理解，再逐步走向关系性理解。启发学生提出问题，既能提高学生工具性理解的有效性，也能促进其向关系性理解转变。

（一）促进发现：提出优化工具性理解的问题

传统教学中，对工具性理解的定位较为机械，采用“概念（定义、定理）—实例—练习（习题）”的教学模式，使学生学习基础知识、基本技能时过于依赖模仿、记忆、操练。但是，“就对概念或法则的学习过程而言，工具性理解应当是其中一个重要的甚至是不可缺少的环节”。虽然工具性理解指向“是什么、做什么、怎么做”，但是这些知识（包括数学的陈述性知识、程序性知识）的获得，可以采用发现的方式进行，使工具性理解得以优化，而问题提出恰好是发现的起点。

比如，教学“3的倍数的特征”时，从工具性理解的角度看，学生的学习任务是知道“3的倍数的特征”是什么，以及“3的倍数的特征”怎么用（如通过计算2+8+3+2=15，判断2832是3的倍数）。为促进学生主动发现这些知识，教师可以这样启发学生提问：首先让学生运用类比、发挥“学习2、5的倍数的特征时所用方法”的定式作用，提出“3的倍数的特征也看个位”的猜想，并从百数表中圈出3的倍数，发现猜想错误，进而提出“3的倍数的特征看什么”的问题;接着，在教师的引导下，学生通过“在计数器上用珠子表示3的倍数”（数感强的学生，不借助计数器而直接看这些数就能有所发现），初步发现“百数表中的3的倍数，各位上数的和是3的倍数”，此时，教师说：“100以内，3的倍数，各位上数的和都是3的倍数。这个发现，能否就作为3的倍数的特征？”教师说这句话时，“100以内”“3的倍数”交替读重音，并配合身体语言进行启发乃至暗示，让学生提出问题“100以上的3的倍数，各位上数的和是否是3的倍数？”“不是3的倍数，各位上数的和会是3的倍数吗？”在这两个问题的引领下，学生继续开启发现之旅，并最终获得结论。

（二）深入探究：提出實现关系性理解的问题

就数学知识的学习而言，斯根普明确指出更多的理解应当定位于“关系性理解”，即最终我们应当让学生获得的是关系性理解。如何促进工具性理解向关系性理解转化？一是要使学生理解与把握数学对象的本质属性、典型实例及相互关系;二是使学生能将所学知识自觉与已有的知识经验相联系，完善和改组认知结构;三是让学生在问题解决过程中，培养知识的迁移能力，通过反思提高元认知水平。

仍以“3的倍数的特征”的教学为例。在学生获得工具性理解的基础上，教师创设一个“矛盾情境”：以111为例，学生根据1+1+1=3，判断其是3的倍数;教师提醒学生注意111中三个“1”的实际数值，分别是1个百、1个十、1个一，此时教师停止讲课，期待学生能发现其中的问题。果然，学生意识到：3个“1”的计数单位不同，为什么能相加呢？这个问题的发现和提出，给学生的认知和心理都形成强烈的冲突。当然，问题的解决需要教师提供“支架”、给予引导。比如，给学生如下方块图（如图2），让学生“圈圈画画，表示出1+1+1的意思，说明1+1+1是合理的”。学生经过研究，发现“1个百，圈掉33个3，也就是99，留下1;1个十，圈掉3个3，也就是9，留下1;还有个位的1（如图3）。所以1+1+1，是3个1相加，不是1个百、1个十、1个一相加”。在此基础上，教师再提供几个数和方块图，如12、223等，让学生圈、画，加深理解。在之后的练习课上，教师再次提供这样的素材：2的倍数，个位上是2、4、6、8或0;5的倍数，个位上是5或0;3的倍数，各数位上的数之和是3的倍数。启发学生思考：能想到什么问题？学生提出：“为什么2和5的倍数特征看个位，而3的倍数的特征要看各数位上数的和？”学生通过对这个问题的深入探究及获得的认知，实现对2、5、3的倍数的特征更高水平上（联系和结构的水平）的关系性理解。这种理解，可以引导学生探究（比如推理）25、4、125、8、9的倍数的特征。

三、围绕能力提升促进学生提出问题

这里所说的能力，是指学生数学问题提出的能力。正如“在游泳中学会游泳”，学生的数学问题提出能力也是在提出问题的学习、实践与反思中提升的，反过来，能力的提升使学生在学习中更为主动地提出有效的数学问题。

（一）激发内在动机，促进主动提问

虽然培养学生“四能”（发现和解决问题的能力、分析和解决问题的能力）的课程目标已提出十多年，但是在数学教学中，“重解题轻问题”的思想意识在教师和学生中仍普遍存在。培养学生的问题提出能力，首要任务是培养学生在面对具体情境时，能主动提出问题来表达自己对这个情境的理解。一种可行的教学策略，是通过教师的引导，学生能提出问题并从提问的过程中清晰地感受自己在数学学习上的不断进步，以此激发成就感，形成数学问题提出的内在动机。

比如，一年级学生对于问题“树上有10只鸟，先飞走2只，再飞走5只。一共飞走了几只鸟”常因思维定式做出错误的回答。教师改变教学策略，只提供情境“树上有10只鸟，先飞走2只，再飞走5只”让学生提出问题，学生提出“第一次飞走后树上还剩几只鸟”“一共飞走几只鸟”“（两次后）还剩几只鸟”等问题。几次的提问练习，使学生消除思维定式，能正确解题，初步感受发散、灵活思维的作用，对提问的兴趣大大增强。

再如，教学“倍的认识”时，课始学生面对“蓝花有2朵，黄花有6朵，红花有8朵”的情境，能提出“蓝花比黄花少几朵”“黄花和红花一共有几朵”“三种花一共有几朵”等问题;到课结束时，学生再次面对这一情境，发现自己还能提出“红花朵数是蓝花的几倍”“黄花朵数是蓝花的几倍”这样的问题，切实感受到自己数学知识的不断丰富、本领的不断增强，提问也就更加积极了。

又如，教学“简易方程”，在巩固练习环节，教师出示“钢琴的黑键有36个，比白键少16个。白键有多少个？”“学校食堂原来有一些大米，吃掉16袋后，还剩36袋大米。食堂原来一共有多少袋大米？”学生列出方程，发现所列方程都是“x-16=36”。教师要求“再提出一些用x-16=36解决的问题”（让学生根据算式或方程提出问题，是有意识的问题提出活动）。在提问中，学生加深了对方程意义的理解;全班交流后，看到那么多不同的问题能用同一个方程来表达等量关系，学生更深刻地体会到方程以及问题提出的价值。

（二）实现水平进阶，促进有效提问

对于数学问题提出能力的水平划分，学界有多种论述，其中张丹老师和吴正宪老师的观点（如下表）易于一线教师在教学实践中理解和把握。

说明：陈述性问题指的是重复情境中已经呈现信息的问题;简单性问题指的是利用现有知识和方法可以直接解决的问题;发展性问题指的是需要某种程度的认知努力，选择甚至创造解决问题的方法和策略的问题。

实现学生提问水平进阶的一种可行的教学策略，是教师创设开放的情境，既能让不同水平层次的学生都能提出相应的问题，也能让学生在提问后的师生交流活动中感悟不同问题之间的联系和区别，产生提出高水平问题的愿望，并为之努力。

比如，用同样的小正方形按一定的规律拼出下面四个圖形（如图4）。已知每个小正方形的边长是1厘米，请提出问题。

学生可以从图形所用小正方形的个数、图形的周长、面积等角度提问。下面，我们从图形所用小正方形的个数角度，分析学生的提问水平：

未达到水平：第（4）个图形有多少个小正方形？

水平1：第（5）个图形有多少个小正方形？第（5）、第（6）、第（7）个图形各有多少个小正方形？（所提问题，涉及的图形和已画出图形是依次相邻的）

水平2：第（10）个图形有多少个小正方形？第（100）个呢？（所提问题，涉及的图形不是相邻的，已经初步具有规律意识，并试图加以适当表征）

水平3：第n个图形有多少个小正方形？（试图将规律一般化，并用符号表征）如果有21个小正方形，拼成的是第几个图形？（具有逆向思考问题的意识，且能观照每个图形用到的小正方形是奇数个，思维具有一定的深刻性）

总之，支持学生数学问题提出，需要教师持续更新观念，给问题提出以足够的重视，加强理论学习，在教学实践中积极探索，形成有效的、可供借鉴的教学策略，使问题提出成为数学教学活动的常态，从而对学生数学学习产生积极影响，学生能将问题提出作为数学学习不可分割的一个环节，主动提问、善于提问，促进数学学习质量不断提升。

【参考文献】

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[4]聂必凯，汪秉彝，吕传汉. 关于数学问题提出的若干思考[J]. 数学教育学报，2003（5）.

[5]张丹，吴正宪. 培养小学生问题提出能力的实证研究[J].中国教育学刊，2017（5）.

注：本文系江苏省教育科学“十四五”规划2021年度立项课题“发现性学习及其支持体系建构研究”（编号：D/2021/02/778）的阶段性研究成果。