吴红德　林子植

【摘 要】计算器是时代发展的必然产物，具有便捷和高效的显著特点.文章从考查内容与认知水平两方面对澳大利亚NAPLAN2016九年级数学测试中可用与不可用计算器的试题进行比较研究.结果表明加入计算器后的试题不仅使考查内容更加全面，体现出辅助工具应有的魅力，还使试题考查的认知水平更加均衡，试题更能体现数学建模思想、初具数学建模的雏形.

【关键词】NAPLAN数学测试;认知水平;试题比较;计算器使用

0 引言

关于“中学数学测试中试题是否应该加入计算器”一直是中国乃至世界数学教育领域争鸣不休的话题.例如在1997年加州数学战争中就存在这样的争鸣：计算器要不要引入学校的数学教育，如果允许引入，该怎么引入等[1].然而，我国数学试题的考查一直以来都注重培养学生的计算能力，并不广泛鼓励学生使用计算器进行数学运算，但这是我们真正要追求的数学教育吗？正如张奠宙先生所说：“我有时在想，高科技在现今数学教育中的应用已相当深入，而我们仍固定人工计算，踏步不前，这似乎像当年用大刀长矛对付火炮火枪一样，虽然功夫了得，却仍然败下阵来，我们纵然可以拿数学奥林匹克冠军，到头来卻在技术使用上落在后面，岂不是又要挨打？”[2]21世纪的今天，计算器作为数学学习的辅助性工具越来越受到各界的广泛关注，同时，《义务教育数学课程标准（2022年版）》也明确指出：“合理利用现代信息技术，提供丰富的学习资源，设计生动的教学活动，促进数学教学方式方法的变革.”[3]因此，如何在数学测试中使用计算器，怎样设计使用计算器的试题，需要借助已有测试项目的成功经验.

从2008年开始实施的澳大利亚全国读写与数学能力评估项目（National Assessment Program Literacy and Numeracy，NAPLAN）[4]就充分展现了试题加入计算器后的特点.NAPLAN是澳大利亚每所学校的重要日程之一[5]，主要包括：阅读、写作、语言和数学能力等测试内容，是由澳大利亚课程、评估与报告局（Australian Curriculum、Assessment and Reporting Authority，ACARA）统一安排，各州负责具体实施的测试项目.在其测试中，澳大利亚九年级的学生分别需要完成两份试卷，一份可以借助计算器进行作答，而另一份则不能借助计算器进行作答，但在试题数量和答题时间要求上均相同，且NAPLAN测试自2017年起采取线上测试，传统的线下测试只保留到2016年.因此，本文选取NAPLAN2016九年级数学测试中可用与不可用计算器的试题，分别从考查内容与认知水平两个视角进行比较研究，提取试题加入计算器后的特征，以期对我国初中数学试题未来加入计算器的命题提出一些研究启示.

1 NAPLAN九年级可用与不可用计算器的试题比较分析

1.1 基于考查内容的试题比较

NAPLAN数学试题的考查内容以《澳大利亚数学课程标准》（The Australian Curriculum：Mathematics，8.4 Version）[6]为参考，其内容领域主要包含三个，分别为“数与代数”“测量与几何”“统计与概率”，文章首先分析两份试题在这三个内容领域的分布情况.1.1.1 不可用计算器的试题考查内容

按照《澳大利亚数学课程标准》的内容划分，现将NAPLAN2016九年级不可用计算器的试题考查内容进行统计分类，具体分布如表1所示.

表1数据显示，NAPLAN2016九年级不可用计算器的试题较侧重于对“数与代数”内容领域的考查.“数与代数”是数学知识的根基，其中“数”包括：数、数数、计算、心算、估算，数的计算、数的应用和数字模型及关系等内容;而“代数”是建立在“数”的基础上，包括：一般代数表达式、方程与不等式、函数等内容[7].由此，为了进一步探究不可用计算器的试题中有关“数与代数”内容知识的考查，现以具体试题为例进行分析.

例1 红细胞的直径为0.0076毫米，以下哪个科学记数法可以显示它的直径？

（A）7.6×10 （B）7.6×10（C）7.6×10 （D）7.6×10

评析 该题属于“数与代数”内容领域.根据题意，该题要求学生理解、掌握科学记数法的概念，会用科学记数法表示较大或较小且位数较多的数.因此，该题主要考查“数”领域中的数字关系.以对基础知识的认识和把握为主，属于基础性题目.

例2 汤姆报名了一家每月收费56美元的健身房，如果汤姆想与健身教练一起学习，则每节课需要额外支付6美元.如果汤姆每月与一位教练一起学习x节课，则哪个表达式可以代表汤姆每月的健身费用？

（A）6x （B）56x （C）56x+6 （D）56+6x

评析 该题属于“数与代数”内容领域.根据题意，它要求学生辨别、掌握代数表达式的概念，在实际中运用代数表达式准确地描述问题.因此，该题主要考查“代数”领域中代数表达式的应用.仍然以对基础知识的理解和把握为主，属于基础性题目.

1.1.2 可用计算器的试题考查内容

按照上述不可用计算器的试题分析思路，再对NAPLAN2016九年级可用计算器的试题考查内容进行分类汇总，具体分布如表2所示.

表2数据表明，NAPLAN2016九年级可用计算器的数学试题仍侧重于对“数与代数”内容领域的知识考查.而在分析过程中发现，其中有两题进行了跨内容模块的混合考查.为深入探析，现以具体试题为例.

例3 如图1所示，盒子（上图）里有巧克力块，每块巧克力（下图）的大小为75cm3，则盒子里可以放多少块巧克力？ 图1

评析 该题属于“数与代数”和“测量与几何”两个内容领域.根据题意，学生需要熟练掌握相应几何体的体积表达式，通过求出几何体的体积再进行数的除法运算，且允许学生使用计算器，相对弱化了数的计算.因此，该题侧重于考查学生的解题思路，较不可用计算器试题的解题步骤更多，难度更高.

例4 制作一个艺术品需要用到大珠子与小珠子两种.每颗大珠子的质量为120毫克，每颗小珠子的质量为80毫克，使用所有珠子的总质量为32克.请问总共使用了多少颗珠子来制作该艺术品？

评析 该题仍属于“数与代数”和“测量与几何”两个内容领域.根据题意，学生首先需要清楚掌握单位之间的换算关系，将单位统一化后再列出方程进行运算求解.计算器的加入也相应弱化了计算技能的要求，更多地聚焦于方程的建立.因此，该题侧重于对学生思维能力的考查，若该题不可用计算器则解题步骤更多，技能考查不聚焦.1.2 基于认知水平的试题比较

《澳大利亚数学课程标准》[6]为各年级划分了相应的认知水平，按程度由低到高依次划分为：理解、熟练、问题解决、推理四个水平.澳大利亚课程中对这四种认知水平的描述如表3所示.

1.2.1 不可用计算器试题的认知水平

在充分了解上述认知水平划分依据的基础上，将NAPLAN2016九年级不可用计算器的试题作为样本，三名专家（两名中学高级教师和一名数学教育研究者）与作者一起标定每道试题的认知水平，结果如表4所示.

由表4数据可知，NAPLAN2016九年级不可用计算器的试题在认知水平方面考查最多的是“理解”与“熟练”两个认知水平，两者共占比约为总试题数的72%，而“问题解决”“推理”两个认知水平的考查试题较少.由此可知，不可用计算器的试题偏重于低层次的认知水平，注重于考查学生对基础知识、基本技能的熟练掌握.为此，现以具体试题为例进行深入分析.

例5 蒙蒂和塔拉为学校买铅笔.塔拉购买的铅笔数量是蒙蒂购买铅笔数量的2倍再加上4支.设m为蒙蒂购买的铅笔数量，下列哪个表达式表示塔拉购买的铅笔数量？

（A）（2×m）+4 （B）2+（4×m）（C）（m÷2）-4（D）2-（m÷4）

评析 该题属于“理解”认知水平.根据题意，该题主要考查学生描述问题结果与代数表达式之间的关系，学生只要理解代数表达式的意义，便可迎刃而解.因此，该题注重考查学生对基础知识的理解与掌握，属于基础性题目. 图2

例6 如图2所示，点P向下移动4个单位，则点P新位置的坐标是什么？

（A）（2，-1）（B）（2，7）

（C）（6，3）（D）（-2，3）

评析 该题属于“熟练”认知水平.根据题意，该题主要考查的是学生对笛卡尔平面坐标系的认识与描述，与“熟练”认知水平的描述内容相对应.学生只要掌握了笛卡尔平面坐标系中点位置的判断与相关知识，便可找到答案.因此，该题仍偏重于考查学生对基础知识的掌握.

1.2.2 可用计算器的试题认知水平

以上述认知水平的划分依据为基础，再将NAPLAN2016九年级可用计算器的试题为样本，研究者又共同标定每道试题的认知水平，得出以下可用计算器的试题认知水平分布统计表，如表5所示.

表5数据显示，NAPLAN2016九年级可用计算器的试题对“理解”“熟练”“问题解决”与“推理”四个层次认知水平的考查占比比较均衡，与不可用计算器试题的考查情况不尽相同.因此，为更直观、有效地验证这一状况，再以具体试题为例进行分析.

例7 如圖3所示，法国巴黎的卢浮宫金字塔由四个三角形和一个正方形组成.罗兰受雇清洁卢浮宫金字塔的内部和地板，则罗兰需要清洁的区域有多大？

评析 该题属于“问题解决”认知水平.根据题意，该题从生活实例出发，要求学生在准确理解题意的基础上，进行相应图形的表面积计算，涉及了直角三角形，符合“问题解决”的考查目标.因此，该题不仅注重学生对基础知识的掌握，还注重将其运用到日常生活中，计算器的使用帮助学生节省了繁琐的计算时间.

例8 如图4所示，詹姆斯要转动轮子上的箭头来赢得奖品，且箭头停留在每个部分都有相同的机会，则箭头停留在笔记本电脑上的概率是多少？

（A）0.125（B）0.200（C）0.375（D）0.380（E）0.600

评析 该题属于“推理”认知水平.根据题意，该题以习以为常的“抽奖”活动为背景，考查的是学生对概率知识的运用，学生首先需要找出目标部分数量和总部分数量，然后运用统计学知识表达概率结果（分数），再直接运用计算器将分数转化为小数与选项相对应，符合“推理”的考查目标.因此，该题将基础知识、生活情境与思维能力的考查结合起来，计算器作为辅助工具节省了转化计算的时间.2 结论与启示2.1 结论

基于上述NAPLAN2016九年级可用与不可用计算器的试题对比分析结果表明，可用与不可用计算器的试题虽在一定程度上存在某些共性，但仍显现出了各自不同的特点，其中二者的认知水平分布如图5所示.

2.1.1 不可用计算器的试题考查内容单一、难度等级偏低

表1中不可用计算器的试题考查内容分布的数据与所呈现的具体例题表明，不可用计算器的试题在考查内容方面较为单一.主要表现在不可用计算器的试题偏重对“数与代数”内容领域的考查，在“测量与几何”“统计与概率”两个内容领域的考查较少.而从内容的难度等级上看，不可用计算器的试题所考查的内容主要强调学生对基础知识的认识与掌握，多属于基础性题目.因此，其难度等级偏低.

2.1.2 不可用计算器的试题侧重于对低层次认知水平的考查

图5的认知水平分布数据显示，NAPLAN2016九年级不可用计算器的试题主要集中于对学生“理解”与“熟练”两个低层次认知水平的考查.多体现在掌握知识、回顾知识的层面，而对于“问题解决”与“推理”两个高层次认知水平的考查占比较小，甚至不足三成.这再次表明，不可用计算器的试题更侧重于学生对基础知识的理解与把握.因此，它属于对低层次认知水平的考查.2.1.3 可用计算器的试题展现了辅助工具的魅力

NAPLAN2016九年级可用计算器的试题深刻展现了辅助工具的独特优势.在同样题目数量、同样解题时间的条件下，解题步骤的增多、试题难度的增加不得不使学生在准确掌握基础知识的同时，还要学习并熟练运用辅助工具提高自身解题效率，以帮助他们如期完成试题的解答.由此，有效提高了学生对辅助工具的使用要求，展现出了辅助工具应有的魅力.

2.1.4 可用计算器的试题认知水平分布较为均衡

表5与图5的数据显示，NAPLAN2016九年级可用计算器的试题在四个认知水平分布上总体一致.这表明，可用计算器的试题注重对四种认知水平的平衡考查.在试题的编排上，它既强调对基础知识的理解，也注重对知识运用与思维能力的整合，显现出不同水平中对知识掌握的不同要求.因此，可用计算器的试题认知水平分布较为均衡.

2.1.5 可用计算器的试题初具数学建模雏形

深入探究试题的内容可以发现，可用计算器的试题在一定程度上显现了数学建模的雏形.计算器的使用在使试题认知水平分布较为均衡的情况下，为学生节省了很多繁琐的计算时间，有效促进学生深入研究试题并建立起知识与试题间的联系.它使得学生对数学建模有了简单、基本的认识，这不仅为学生日后的数学学习奠定了基础，也潜移默化地提升了他们自主学习和探索数学的兴趣与能力.

2.2 启示

教育信息化是教育现代化的根本要求，而计算器的使用则是教育信息化的基础.随着时代的进步，学生走上工作岗位后都需要使用计算器辅助运算.考试允许学生使用计算器，是信息时代的根本要求，也是社会发展的必然趋势[8].2.2.1 计算器的使用有助于使试题内容考查更全面

“计算器和算筹、珠算盘一样，都属于计算工具，它们应该在不同历史时期发挥对数学及数学教育发展的推动作用.”[9]在一直强调“双基”能力培养的今天，计算器的加入使得数学试题的命制在更多关注基础知识的同时，也促进了学生对辅助工具的使用，即对基本能力的培养.当试题的成功作答不再过度依赖于对运算能力的要求时，就会使学生摆脱高强度的重复训练，从这个视角看计算器的使用会使得试题考查的内容属性更加全面.

2.2.2 计算器的使用有助于使试题编制更贴近现实

弗赖登塔尔认为：数学来源于现实，应用于现实[10].计算器的使用不仅会提高学生的解题效率，也会使试题在编制时不会刻意注重对书本知识的“生搬硬套”，学生在解题时会不自禁的将自己带入到生活情境中去，从而使他们发现生活中的乐趣，打破对数学“枯燥无味”的刻板印象，更易拉近试题与生活的距离.这不仅有助于提高学生对数学学习的主动性，也会有效增强学生对数学学习的兴趣与信心.当学生从生活中发现知识又将知识应用于生活中时，数学就显得格外有价值，从这个视角看计算器的使用使得试题的编制更加贴近了现实.2.2.3 计算器的使用有助于考查、发展学生的高阶思维能力

澳大利亚莫纳什大学（Monash University）教育学院Gilah Leder教授曾说过：“适当的使用计算器，确实能够让学生从繁琐的计算中解脱出来，使学生能够把更多的精力放在数学知识上，这样学生也会对数学知识本身有更好的理解.”[5]因此，计算器的使用在减少试题计算量的同时，试题的认知水平也得以相应的提高、综合，使得学生有了更多时间对试题本身进行思考，從而发散思维、推理论证，提高他们的认识，促进他们思维能力的发展.当学生有了充足的时间进行思考时，解题过程与思维逻辑就显得格外重要，从这个视角看计算器的使用有助于考查、发展学生的高阶思维能力.

参考文献

[1]吴晓红.“97加州数学战争”一瞥[J].数学教育学报，1999，8（02）：88-93.

[2]张奠宙.数学教育经纬[M].南京：江苏教育出版社，2003.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[4]Australian Curriculum，Assessment and Reporting Authority（ACARA）.The Australian Curriculum：Mathematics[EB/OL].（2022-3-16）[2022-04-26].https：//www.nap.edu.au/naplan.

[5]董连春.澳大利亚统一考试评价体系（NAPLAN）的启示——Felix Klein奖获得者GilahLeder教授访谈实录[J].数学教学，2014（03）：1-5.

[6]Australian Curriculum，Assessment and Reporting Authority（ACARA）.The Australian Curriculum：Mathematics[EB/OL].（2018-10-26）[2022-04-26].https：//www.australiancurriculum.edu.au/f-10-curriculum/mathematics/.

[7]苏洪雨.澳大利亚数学课程标准的内容和框架[J].中学数学教学参考，2007（10）：52-54.

[8]张阳开，梁策力，陈朝东.高考数学使用计算器的争鸣及思考[J].数学教育学报，2014，23（04）：88-91.

[9]吴华.计算工具在数学教学中的使用[J].数学教育学报，1996，5（01）：42-44.

[10]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

作者简介 吴红德（1999— ），男，硕士研究生;主要从事数学教育研究.

林子植（1983—），男，博士，副教授，硕士生导师;主要从事数学教育研究.

基金项目 2021年江西省高等学校教学改革研究课题“基于TPACK理论的数学教师教育类课程改革与实践研究——以‘学科教学论（数学）’为例”