认真解读每章教材　培养学生核心素养

2022-06-24李树臣郭焕

中学数学杂志(初中版) 2022年3期

李树臣　郭焕

【摘要】解读教材有助于设计课堂教学方案，提高课堂教学效率，培养和发展学生的数学核心素养.通过解读教材，整体性把握教材是教学中体现知识之间相互联系，突出数学本质的基础;准确找出一章内容能发展的核心能力，可以在教学中有的放矢地强化对相关数学能力的培养;找到一章内容可以“凸显”的数学思想，才能在教学中结合教学内容让学生感悟到有关的数学思想.

【关键词】整体解读;数学能力;数学思想

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）提出的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”[1]是课程基本理念的核心，其本质在于通过数学教育实现提高学生数学核心素养的“终极目标”.实现这个目标的主要载体是教材，数学教学的第一要务是认真研读教材.本文以青岛版教材九（上）第四章“一元二次方程”为例，谈谈“立意于”培养核心素养的角度应怎样解读一章教材.

1 解读教材的整体性

《课标（2011年版）》提出，教材编写“应当体现整体性，注重突出核心内容，注重内容之间的相互联系，注重体现学生学习的整体性”[1].笔者经过反复研读“一元二次方程”一章的教材内容，认为本章是从以下三个方面落实整体性原则的.

1.1 以方程思想“统领”本章内容

模型思想是《课标（2011年版）》提出的核心词，方程思想属于重要的模型思想之一.初中阶段学生学习的方程包括：一元一次方程、二元一次方程组、分式方程和一元二次方程.每种具体方程都是用下面的流程引导学生学习的（图1）.

这个流程分为“方程概念—方程解法—方程应用”三部分，方程思想“隐含”在方程概念的形成过程以及建立方程模型解决实际问题的过程之中[2].学生每学习一种具体方程，就感悟一次方程思想，符合《课标（2011年版）》倡导的“螺旋上升”的原则要求.

本章内容始终围绕“建立方程模型—求解方程模型—应用方程模型”的“主线”展开的：

首先，教材在4.1节“一元二次方程”中从学生熟悉的生活现实和数学现实出发，精心选取了三个案例作为问题情境，引导学生在思考、探索、交流等活动中给出了一元二次方程的概念，这是一个建立数学模型的过程.然后，用3节课的时间研究了一元二次方程的三种具体解法（配方法、公式法、因式分解法），这是求解模型的过程.最后，在4.7节“一元二次方程的应用”中通过4道例题，引导学生经历了列一元二次方程解应用题的具体步骤（含检验），使学生经历了完整的数学建模过程（图2）.

1.2 注意知识之间的关联

无论数学教材编写，还是数学教学都要重视知识之间的关联，突出数学的本质.通过研读本章教材发现关于一元二次方程解法的“呈现”方式不同于传统的教材.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0，对于这个“一般式”都可以通过配方转化为（x+m）2=n的形式，由平方根的意义根据（x+m）2=n可以推出x+m=±n，这种处理方式的优点主要表现在下面两点：

（1）学生易于理解

这种处理方式回避了传统教材中的“直接开平方”给学生造成思维困惑的“可能”.如果对方程（x+m）2=n（n≥0）两边同时开平方将得到±（x+m）=±n，学生不好理解这样的表现形式和结果.而利用“平方根”的意义，由（x+m）2=n可直接推出x+m=±n，学生容易接受这种方法.

（2）返璞归真，凸现了数学的本质

本章从平方根的意义入手直接推导出的一元二次方程的求根公式，是解一元二次方程的通法.在得到通法后，又研究了特殊系数的一元二次方程的简便解法——因式分解法，理顺了通法与特殊方法的关系.

教科書的这种安排方式实际上是还原了数学史的本来面目.当初在研究方程时，最先遇到的不可能是特殊系数的方程，而是一般系数的方程.这种安排方式“还原”了历史，只有这样安排才能回归到人类发现一元二次方程求根公式的历史.

教材的这种处理结构严谨、富于内在的逻辑性，符合《课标（2011年版）》倡导的利用知识“生长点”与“延伸点”的要求，突出了知识之间的内在联系，体现了整体性要求.2 解读核心能力

著名的数学家乔治·波利亚指出“任何学问都包括知识和能力两个方面，能力比起知识来要重要的多，因此学校的目的应该是发展学生本身的内涵能力，而不是仅仅传授知识”[3].数学能力是核心素养的重要组成部分，包含多种具体能力.

“一元二次方程”的内容是培养多种核心能力的载体，这些核心能力主要指运算能力（含估算能力）和问题解决能力.教师在解读教材时要把培养具体数学能力的“知识点”准确找出来，这样才能在引导学生学习具体内容时有针对性的加强对有关能力的培养.

2.1 数学运算能力

数学运算能力是《课标（2011年版）》提出的“十大”核心概念之一，运算能力主要是指能够根据运算法则和运算律正确地进行运算的能力[1].它是在不断地运用数学概念、法则、公式，经过一定数量的练习而逐步形成和发展起来的.

在本章中培养、提高学生数学运算能力的载体有二：一是解一元二次方程的过程;二是估算一元二次方程近似根的过程.在教授这两个方面的内容时，既要重视知识点的教学，更要重视运算能力的培养.

案例1 求根公式的推导过程（具体推导过程省略）.

教学价值一元二次方程ax2+bx+c=0求根公式的探索、推导过程，实际上是配方法的一般化和符号化，这是由特殊到一般的过程.由于方程中含有字母系数，使得求根过程包含了较多整式、分式和二次根式的运算，增加了学生推导的难度，是培养学生数学运算能力的良好“机会”.这个推导过程具有多方面的教学意义：

（1）由求根公式x=-b±b2-4ac2a可以看出，一元二次方程的根完全由它的系数a，b，c确定.当b2-4ac≥0时，把一元二次方程各项的系数代入公式，就可以通过计算得出方程的根.因此，求根公式x=-b±b2-4ac2a是一元二次方程的“通解公式”，从这个意义上讲，公式法具有方法论的意义.

（2）仔细观察一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式x=-b±b2-4ac2a可以发现，在一元二次方程的求根公式中，含有加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，是比较复杂的代数运算，学生推导公式的过程有助于数学运算能力的提高.

（3）公式体现了运用符号进行数学表达的形式美和简洁美，对学生也是一种美的熏陶.

教学导引

（1）引导学生用配方法解方程2x2+3x-1=0，复习配方法的一般过程.

（2）怎样用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0呢？

（3）师生共同用配方法解数字系数的一元二次方程ax2+bx+c=0，配方时，教师应引导学生关注方程左、右边的变形，通过交流，让他们明白每步变形的目的和依据.

（4）在得出（x+b2a）2=b2-4ac4a2后，教师应提醒学生注意两点：

①当b2-4ac≥0时，b2-4ac4a2是非负数;

②非负数b2-4ac4a2有两个互为相反数的平方根±b2-4ac4a2，化简时，由于a可正可负，分母上的4a2本应等于±2a（a>0时，取正号;a<0时，取负号），但因为式子前面已有符号“±”，所以无论a>0还是a<0，最终结果都可写成±b2-4ac2a.

估算能力是数学能力不可或缺的重要组成成分.数学估算能力是在数学知识的学习和应用知识解决问题的过程中形成、发展和提高的，离开“过程”无法培养学生的估算能力.估算的意思是大致推算，近义词是预算、估计等.

《课标（2011年版）》非常重视对学生“估算”能力的培养，共提及“估算”13次，“估计”61次，如“掌握必要的运算（包括估算）技能”“经历估计方程解的过程”[1].

通过研读整套青岛版教材发现，本套教材中让学生“经历估计方程解的过程”的内容有二：一是在学习了一元一次方程后安排了1课时;二是在本章教材中，掌握了一元二次方程的概念后，设计了“估计方程x2+（x+7）2=112的根”的学习内容.

在具体教学时，教师要充分利用好本课时的估算内容，让学生在尝试、猜测、思考、交流等活动中，学习估计一元二次方程根的方法，提高自己的估算能力，并且感悟“二分法”和逐次逼近的思想.

2.2 问题解决的能力

《课标（2011年版）》强调要培养学生“发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力”[1]，这是数学核心素养的重要组成部分.问题解决能力是在解决数学问题的过程中形成和发展起来的，这个过程离不开学生思考、探索、建立模型等活动，因此，培养学生问题解决能力的同时有助于提高相關的数学能力.

一元二次方程一章的主要内容是“一元二次方程→解法→应用”，培养学生问题解决能力主要体现在两个“过程”之中：

（1）建立一元二次方程概念的过程

教材在建立一元二次方程概念时，体现了“生活→数学”的过程：首先从学生生活中选取了两个代数实例，引导学生通过思考、探索、交流等活动，得到两个方程表达式.然后从几何角度设计了“已知三条线段成比例，求两条线段之比”的问题，教材采用间接设元的方法，通过设AB=1和AC=x，把几何问题转化成代数问题，得到了方程表达式.教学时要引导学生体会这个问题中间接设元法的作用.最后让学生观察这三个方程的共同特征，抽象、概括出一元二次方程的定义，并且给出一元二次方程的通式ax2+bx+c=0.

（2）一元二次方程的应用过程

在探索得到一元二次方程的解法后，教材引导学生经历“数学→生活”的过程：在4.7“一元二次方程的应用”中，选取了4道应用题，让学生经历建立一元二次方程模型解决实际问题的完整过程，再一次体会到“方程是刻画现实世界数量关系的有效模型”[1]，提高了问题解决的能力，增强了学生的模型观念和应用意识.

在后面练习、习题和综合复习题中，又给出了近20道让学生通过建立一元二次方程模型解决的实际问题，这些题目都有生活背景.在学生通过阅读题意，找出等量关系，把实际问题抽象成一元二次方程模型后才能解决.这些实际问题都有助于培养学生的问题解决能力.

案例2 轮船会不会遇到台风？（选自教材综合练习）

一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行.途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心2010海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区.测得台风中心此时位于轮船正南方向100海里处，如果这艘轮船继续航行，会不会遇到台风？如果会，求轮船最初遇到台风的时间;如果不会，请说明理由.

教学导引本题比较抽象，为了降低学生思考的难度，我们分理解题意和建立、求解模型两个层次引导学生开展探索活动：

1.在理解题意层次，我们用下面几个小问题引导学生去分析、思考：

（1）如果设轮船最初遇到台风的时间为th，此时，轮船由原来的位置向移动了海里.台风由原来的位置向移动了海里.

（2）画出此时（轮船初次遇到台风）的台风区示意图. 图3

学生在分析、思考上述之后，不难画出轮船最初遇到台风时的台风区示意图（图3）.

2.在建立、求解模型层次，我们用下面几个小问题引导学生进一步思考、探索：

（3）观察图3，把直角三角形模型的三条边分别用相关的代数式子表示出来.

（4）利用勾股定理，你能得到关于t的方程吗？

化简整理得到t2-4t+3=0，解得t1=1或t2=3（不合题意舍去）.

设计意图本题是以轮船行驶过程中能否遇到“台风”为背景，考查学生通过建立一元二次方程模型解决实际问题的能力.从学生解答的过程看，通过阅读题意、分析题意，把轮船最初遇到台风时的问题抽象成图3所示的直观简易图是“难点”.有了这个“直角三角形模型”，并正确确定出这个直角三角形的三边，再利用勾股定理把“几何模型”转化为一元二次方程模型“t2-4t+3=0”是关键的一步.

本题有助于培养和发展学生的数学运算能力、数学抽象能力、建立模型的能力等素养，对于发展学生的应用意识和创新意识也具有积极的意义，还有助于学生加深对数形结合思想的认识.总之，本题是一道适宜提高学生综合素养的好题目，教师在教学中要充分利用好这个题目.3 解读数学思想方法

数学思想是数学素养的重要组成部分，已被《课标（2011年版）》作为学生必须掌握的“四基”之一.数学知识是显性的知识，数学思想是“隐性”的知识，它以具体的知识为载体.我们在数学知识的教学中，不仅要让学生掌握具体的数学知识，更重要的是要让学生认识、理解、感悟到“隐含”在具体的知识之中的数学思想和方法，这对于提高学生的数学素养至关重要.

为此，教师在研读一章教材时，一定要把本章教材所隐含的数学思想“挖掘”出来，这样才能在引导学生学习具体知识时，有意的去强化这些相应的数学思想和方法.

一元二次方程一章自始至终体现着“模型思想”，另外，本章还涉及到两种主要数学思想.

3.1 转化的思想

笛卡尔曾说过一句话：“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题.因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解.”可见转化是一种重要的数学思想.

在数学学习中处处用到转化，本章中解一元二次方程的根本思路就是利用数学方法将其转化为一元一次方程：

配方法实质上是把一元二次方程ax2+bx+c=0转化为方程（x+m）2=n，然后利用平方根的意义得到x+m=±n，从而通过降次把一元二次方程转化为一元一次方程;

公式法实质上是把一元二次方程ax2+bx+c=0的求解问题转化为求代数式-b±b2-4ac2a的值;

因式分解法通过“降次”，把一元二次方程的求解问题转化为解两个一元一次方程的问题.

前面案例2中，通過一系列的数学活动得到一元二次方程t2-4t+3=0后，该方程最简单的解法是利用因式分解法，由t2-4t+3=0得到（t-1）（t-3）=0，从而转化为两个一元一次方程t-1=0或t-3=0.

3.2 分类讨论的思想

当人们面临的问题不能用统一的方法处理或不能用同一种形式表述时，常常把问题涉及的范围按照一定的标准分为若干小的范围，然后逐一进行讨论，最后把各个小范围研究的结论归纳汇总，得出原问题的答案.这种处理问题的过程就利用了分类讨论的思想方法.

由一元二次方程根的判别式符号判别一元二次方程根的情况就体现了分类讨论的思想，即