陈珍妮 吴仁芳

摘要：近年来，高阶思维受心理学领域和教育界关注较多，数学学科与思维关系紧密，研究数学高阶思维不仅仅是数学学科中核心素养的必然要求，也是创新型人才培养和发展的时代驱动。本文就数学高阶思维的基本蕴涵与教育价值作相关介绍，并就当前形势对其培养途径谈几点建议与思考。

关键词：数学高阶思维  教育价值  培养途径

引用格式：陈珍妮，吴仁芳.数学高阶思维的基本蕴涵、教育价值及培养途径[J].教学与管理，2022（18）：64-68.

1986年，钱学森主张研究思维科学，由此引发了思维研究在我国学术界的盛行，特别是钟志贤等人的系列研究成果更是加速了我国高阶思维领域的研究进程，研究突破性地指出高阶思维是一种存在于高层次认知水平的综合能力[1]。2017年版数学课程标准[2]开创性地指出要发展学生核心素养这一新理念，并且强调在数学教学中要留意学生思维的发展，注重思维的多变与灵通，善于引导学生以思维之力发现问题并抽象出数学问题，在解决问题中促进思维品质的提高。将学习者培养成为勤于自主发现、善于独立思考、勇于提出质疑、敢于批评创造，能动地建构复杂知识体系，灵活性地处理问题以及创造性地解决问题的高素质人才，从而使学习者更好地适应复杂多变的社会环境。同时，人才的高阶思维培养也为国家的人才队伍建设持续输送攻坚力量，真正落实“人才强国”战略，增强我国在国际社会的核心竞争力和影响力。

一、数学高阶思维的基本蕴涵

1.何谓思维

思维是人脑特有的认知活动，属于高级活动，是大脑对外界信息的处理加工过程，包含分析、归纳、比较、抽象、匹配、提取等过程和对概念的判别、推理等形式，是客观规律被主体认识与掌握的心理活动。思维具有内容的高度抽象与客体的主观反映的特点。

2.何谓高阶思维

问题解决与决策、创造性思维、元认知能力是心理学领域中广受认同的高阶思维内部组成。斯滕伯格认为高阶思维包含成功智力的因素，即分析、创造、实践;Debono（1983）认为高阶思维与一般性思维最显著的差异在于高阶思维绝不限于对事实性知识的简单性回忆和应用;安德森在布魯姆对认知目标分类的基础上将高阶思维整合成分析、评价、创造;恩尼斯（Ennis）认为高阶思维本质上就是抽象思维;瑞斯尼克对高阶思维的显著特征做了分析，析出其不规则性、复杂性、方法多样性、标准不一性以及思维的自我调节作用;杜威将高阶思维过程浓缩为“反省”二字，认为进行高阶思维的过程突出表现为从反思到批判的过程;King，Goodson和Rohani（1998）表示高阶思维能力是由多种思维技能组合而成的综合体，包含批判、逻辑推理、反省、创造以及元认知成分，在遇到复杂问题情境时这些技能就被顺应激活[3];钟志贤强调高阶思维是发生在较高水平上的认知活动，包含批判性思维、创造性思维两种典型思维能力，再加上问题决策与问题求解[4];林勤沿用了钟志贤对高阶思维的相关界定，但其对行为能力的划分加入了创新能力这一要素;许礼光和沈琼认为，集理解、分析、评价、综合、创造、批判能力为一体的综合性思维能力就是高阶思维能力[6];钟志贤论述了高阶思维与高阶学习的密切关联，提出高阶思维发展离不开高阶学习活动的环境支持，培养高阶思维要关注高阶学习活动。鉴于以上研究，笔者认为高阶思维是一种在高阶学习环境中以问题解决、批判性思维和创造性思维等高层次认知水平为主的综合性能力。

3.何谓数学思维

奥加涅相强调数学思维的“辩证”关系，提出一般思维方式对高阶思维具有约束力，其特性取决于学科本身特点;周春荔结合数学学科研究对象，提出数学思维就是人们在认识数学对象时头脑中进行的思维活动，这一思维活动的结果又对后面的思维产生持续影响[7];任樟辉认为数学思维源自数学活动，是对数学对象的本质与内涵进行规律性认识的过程，其中数学活动包括一般意义下与数学有关的问题提出、分析、解决、应用和推广;叶立军认为数学思维就是人脑对数学对象进行理性认识的过程，王仲春教授在叶立军对数学思维定义的基础上加入了解决实际问题的思维过程这一成分;张奠宙也指出数学本质应该是指数学思维能力;克莱因对数学语言的详细描述可以看出数学的严谨与简捷，也足以体现数学思维的特性，数学思维的简洁性有助于思维的效率，这也揭示了数学具有层层抽象、模式化及符合化的特点。基于上述学者对数学思维的研究发现，数学思维存在于数学活动之中，作用的对象是数学，其中包括与数学问题相关的一系列结构思维活动。

4.何谓数学高阶思维

数学高阶思维最开始以名词“高层次数学思维（Higher Order Mathematical Thinking，HOT）”这一概念引入国内，Klum（1990）提出高层次数学思维活动包含一般性信息活动，但其特殊性与高级性更强烈，即它不单单只是记忆和模仿这类低层次认知行为，更包括对外界信息进行加工与重构操作[8];David Tall（1991）提出高层次数学思维具有两类特征：严谨的数学定义与对数学命题的逻辑推理，所以学习者具备高层次数学思维就表现为其对数学思维对象有透彻理解与形成严密逻辑推理[9];1999年香港教育界把高层次数学思维能力定义为解决问题、探究、推理、传意和构思等能力;范良火提出高层次数学能力一般在解决非常规性问题、开放性问题和实际问题中体现;邓友祥对高级数学思维界定也认为其是人脑与数学对象的交互同时进行合理评判的理性活动，数学思维能将分散的外部信息整合为一个完整具有结构性的体系[10];任松华和傅海伦也表示数学高阶思维应当是一种综合性的能力体现，考虑数学教学情境，发现其是存在于较高认知水平上、需要不断付出努力才能使目标达成的能力，包括对问题进行分析并解决的能力、能将数学知识应用于其他领域的能力以及创造力和批判性思维能力等[11]。周超突破以往只对高阶思维概念进行分析的局限，以思维的结构成分——思维品质的角度作全面分析，即利用思维品质中的五个典型特征，即深刻、灵活、独创、敏捷和批判来界定数学高层次思维，这种界定方式使得对高阶思维的研究更具有可操作性。

基于研究者对高阶思维的一般界定，结合当代素质教育背景，以数学课程标准要求为导向，考虑数学学科思维特点，认为所谓数学高阶思维是指发生在复杂数学活动中，围绕特定数学对象，在假设猜想、实际操作、实践验证过程中，经历发现问题、提出问题与解决问题的探究过程，运用批判性思维、创造性思维、问题解决及元认知能力为核心的高层次认知水平的心智活动或认知能力，在认知领域中表现为分析、评价、创造和批判等为主要特征的数学思维品质。

二、数学高阶思维的教育价值

高阶思维培育在多方面具有重要价值意义，而当高阶思维与具体学科相结合所形成的，具备学科沉浸性的高阶思维，其价值意义将更具独特性。在此，就数学高阶思维，拟从社会与文化、课程与学科、教学与实践以及育人这四个维度对其教育价值进行探讨。

1.社会与文化维度的教育价值

其一，培养适合时代与社会发展人才。随着互联网时代的高速发展、全球一体化进程的脚步加快，现代社会对高阶思维的培育显现出迫切需求，也促使高阶思维能力成为新时代创新人才必须具备的要素。新兴技术的高质量与高速度发展使得社会逐步转向对“问题解决者”“终身学习者”“高阶思维工作者”等先进人才的高品质培养。社会“进步”正不断向人类發起“进化”的信号，至此创造力、想象力、批判和解决问题等多方面能力在纷繁复杂、形势激烈的社会竞争中显得尤为重要，而这些能力要素恰恰都囊括在高阶思维范畴中。高阶思维的培养是人才适应社会时代发展的根本要求，也是个体开发自我潜能、实现自我价值的必经途径，因此教学过程中必须重视对高阶思维能力的培养。

其二，“文化强国”战略的教育支撑。要实现文化强国的战略目标，最主要做的就是要让文化不断更迭更新，使文化一直处于领先地位，具有先进性特征。作为国家战略层面的“文化强国”，其“文化”二字包含众多品类文化，数的文化、数学文化应包含在内。克莱因（Morrns Kline）说数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其重要的因素[12]。一般认为，数学思想方法、数学思维方式等，都可视为数学文化的内涵，当然还包括数学与人文社会的结合与联系等。显然，高阶思维内含数学思维方式，作为数学文化的一部分，对人类文化发展具有重要价值。培养高阶思维是对数学文化内涵的丰富，是实现“文化强国”战略的重要支点。

2.课程与学科维度的教育价值

其一，体现了数学核心素养的内在统一。2017年版数学课程标准提出了包含数学抽象、数学建模等在内的六大素养，将其作为学生在数学学习中必须要达到的学习目标[2]。数学学科核心素养体系中，高阶思维是核心所在，犹如无形纽带连通素养体系。譬如，在数学抽象维度中，认识数学对象、运用抽象逻辑语言、形成数学方法与思想、系统认识数学结构与体系涉及高层次认知过程;在逻辑推理维度中，归纳、类比、演绎、假设证明是常见的高阶思维思考方式;在数学建模维度中，搭建和解答模型、验证和修改模型、分析和解决问题均不得不依靠高阶思维技能。高阶思维是学科核心素养的重心所在，学科核心素养是否达成要以是否有高阶思维活动的参与为重要依据。新课标指出数学核心素养是人应具备的重要品质和关键能力，这种品质和能力突显出数学的基本特征，能使人适应社会发展需要和满足个人终身学习需求。数学核心素养体系都要求学生具备分析、评价、创造、问题解决等多方面的能力，可见其内涵与以“分析、评价、创造、批判”为核心的高阶思维深刻呼应，由此也显现出高阶思维与核心素养存在内在统一性。

其二，符合数学学科内在需求。数学是高度抽象与逻辑推理结合最为突出的一门科学，核心素养观念下的数学课堂教学需要深度融合高阶思维，即需要高阶学习的构建。约翰·杜威（John Dewey）从思维发生机制视角揭示了学习者思维过程，首先是反思，反思后生成问题，然后进行问题探究形成批判认知，最终使得问题解决，“问题”贯穿高阶思维活动的全过程，是激发高阶思维的最强动力源。通过高阶思维的参与，帮助学生形成有意图的、自主建构、自我反思的深度学习状态，远离贫乏单一、枯燥的数学知识学习，至此才能深入挖掘数学知识的深刻内涵，使得思维向有意义建构方向发展。

3.教学与实践维度的教育价值

其一，有助于提升数学教学水平。低阶教学方式在传统教学中处于重要地位，学生收获的只有静态、单一的概念知识，固定套路式的数学规则和定理的使用，并没有进行过深度学习，知识的学习以接收为主，无自主建构过程，课程的学习永远处于低阶状态，只能达到识记、理解和应用的认识水平。而高阶思维参与的教学活动，是具有高阶学习特征的学习活动，以高阶思维为核心的课堂教学将实现学生自主建构及知识的有意义习得过程，帮助课堂教学在建构主义理念指导下实现质的提升，有助于提高数学课堂教学实践水平。

其二，有利于提高数学实践水平。数学高阶思维的培养能够使得中学数学中的难题和复杂问题有被学生自主解决的可能，长时性高阶思维训练有助于打通学生思维通道，使得思维逐渐转向贯通。习惯于高阶思维学习的学生在遇到陌生难题时不紧张、不焦虑，总能保持冷静与自信，沉着客观地分析内容深层关系，联系已有知识内容，意识到问题之间的联系，从而能够有效地解决难题。数学高阶思维不局限于某个特定知识的运用，而是一种全局的思考，是战略意义上的思考，是思维技巧多变性的体现，它能帮助新旧知识的融合，不使知识与知识之间产生断裂，不受制于当前所学内容，有全局性思考，使得学生数学学习能力提升。同时学生具有了高阶思维意味者他具备高阶思维能力，拥有批判性思维能力、创造性思维能力、解决问题能力、发散性思维能力等等的综合性能力，即他具备解决跨学科复杂问题能力的良好基础，能将数学能力实践到各领域。

4.育人维度的教育价值

其一，丰富高层次数学观。数学培养人的目标指向是发展人以数学的眼光看待世界，以数学的思维理解认识世界，其育人价值是以培养学生正确价值观、世界观等为根本目标，通过一系列抽象、推理和建模等数学活动，实现学生数学思维由低阶向高阶成长，帮助学生在强化数学高阶思维意识的过程中使得学生数学高阶思维能力得到发展，最终实现数学高阶思维品质形成和完善。若要对世界具有深刻的认识则必须要让人具备深度的思考能力，在数学中就表现为高阶思维能力，以此去认识世界本质和规律，将实现认识境界的跨越式提升。以分析、评价、创造、批判为主的高阶思维是发展理性思维、科学精神和创新能力，提升高品质数学观的重要组成。

其二，满足人的内在发展需求。哲学家莱布尼茨曾道世界上不存在两片完全相同的树叶。这个世界中每个生物都是独特的，因为生理与心理的不同，加上生活的差异性，每个人都有着与别人不同的身心面貌，由此每个人会产生不同的需求，需求的差异使得每个人奔赴的方向必然不同，这些需求激励着每个人的发展进步，在行进中实现自我满足。在教学实践中，高阶思维根植于学科核心素养，内化于学科学习活动，体现学科关键能力、蕴藏情感态度和价值观念。聚焦高阶思维发展可以协调统整学科核心素养的培养过程，促进学生核心素养的一体化发展。

三、数学高阶思维的培养途径

对数学高阶思维培养途径的探索需要从其教育价值的视角去发现与分析，精准定位培养途径是其价值得以实现的前提条件。依据上述分析，拟从社会支持、课程评价、教学策略和学习者意识这四个层面探寻培养途径。

1.社会支持

社会应宣扬人才思维的高层次发展，推崇高阶思维引领科技新时代。21世纪的社会是面向知识、面向信息、面向科技的新时代，社会劳动将不再过度依靠单一机械的劳动力，高密度低认知的重复性操作劳动将被智能机器人所取代，社会人才逐步流向高层次职业岗位是必然趋势，政府、企业、单位、集体和个人应当全力支持社會人才朝高层次行业奔涌发展，全民参与互动支持社会人才高层次发展，推进社会人才高质量发展、社会环境进一步优化。学校环境是社会环境的缩影，学校内部理应追随时代发展的潮流，宣扬思维的高阶发展。

其次，社会文化应逐步渗透高阶思维。文化发展进步离不开人的发展，数学文化包含于其中，高阶思维为数学文化注入了新活力，文化发展必须关照高阶思维。

2.课程评价

学科课程应建立有效的评价体系。数学课程标准强调课堂教学必须关注学习结果与学习过程评价，要注重评价的内容多元与形式多样，因而制定科学且有效的课程评价体系极其重要和迫切。虽有关于学习评价的纲领式文件出台，却无具体详细可操作的方案指导是目前的普遍现状，所以针对具体学科课程建立起有效的评价体系是必要的。在学习活动中，发展高阶思维的学习目标是多层次、高层次的，学习过程是建构性的、探究性的，学习成果是全面性、生成性和丰富性的，学习评价是开放性、连续性、发展性的。同时对高阶思维的评价更应注重过程性评价，对学习结果与学习过程同时考察，注重评价目标的全局化、评价方式的具体化。

其次，课堂中教师也应当学会自主建立课堂的学习评价方案。课程评价体系是对具体学科的整体把握，其考虑的各个要素应当具备一般性和整体性的特征，而课堂中的评价应更注重特殊性与局部性的结合，因此教师要以课程评价体系为依托、为参考，为具体的课堂学习评价设计专属方案，实现大框架评价体系下的落地，让每一次评价都能真实且有效的实施。

3.教学策略

传统的教学模式应当被突破。这要求数学课堂教学精准把握高阶学习的特点，转变学习者被动、惰性的学习态度，设计问题求解式、推理探究式的学习活动，促进其自主性和个性化的发展，从而达到提升学生高阶思维能力的目的。

建构性的学习环境被积极创设。建构主义和情境认知理论应当成为学习环境搭建的两大核心理论，这与高阶思维的培养理念具有高度一致性，学习环境必须能够支持学习者进行高阶学习，因而要积极应用一切现代技术以支撑和充实学习环境，学习环境中的支撑性力量来自于各种资源，包括人、人的活动、人的关系以及客体、工具等。教学活动中教师应积极发挥主导者作用，整合一切可利用的资源、工具、活动，搭建高阶学习活动平台，创设有意义学习情境，为学生设计具有梯度等级性的问题，优化组织学习活动有序进行，确保学习者的学习活动一直处于高阶的学习环境中。

适切的教学载体予以完善。有研究表明当数学教学任务具备高认知水平特征时，此时的教学是有助于高层次思维发展的，其中高水平教学任务应含有真实情境性、内容开放性与形式非常规性特征。具备条件开放、结论不定特点的数学教学被证实有助于培养学生的数学高阶思维，有利于发展高阶思维能力，未来课堂应当给予适切的教学活动变革。

教师教学信念理应更新。教师作为教学活动的主要领导者和活动组织者，对于教学环节的把控至关重要。新时代的教师职能不应只是单纯的传授静态知识，应当以核心素养为价值导向，注重学科思维的培育。数学学科教学不应只是概念和命题的简单套路组合，应是数学思维与数学方法的传道解惑，更是高阶思维的本质培育。

4.学习者意识

学生的问题意识自主加强。传统课堂大多以低阶学习氛围为主，学习者长期处于低阶学习活动之中，思维易僵化形成思维定势、功能固着。新时代教育理念的口号是立德树人，学生是学习活动的主体，应当具备自主建构学习的能力，高阶思维是核心。要培养学生的高阶思维，需要让学生积极自主探索、提升问题意识。数学是问题的科学，问题是思维的起点也是不懈动力源泉，鼓励学生积极主动地探索发现提出问题并经过严密的思维活动去解决，增加实际问题解决的体验感和获得感。

学生的批判意识亟须提高。思维的批判主要表现为对现有状态的有理由评价，在数学中能对现有解题思路进行自主检验，能对推理过程进行有理由说明，能对接收的信息进行选择、分析、筛选。在学习活动中锻炼学生的批判思维，为学生建构性学习提供有力辅助，为学生高阶思维发展提供帮助。

学生应逐步成为生活的发现者。学生的学习生活不应只限于学校课堂，应积极主动自我扩充学习环境，感受数学问题不止出现在课本中、教材里，更应该出现在生活中，一切问题源于生活。留意发现身边问题，抽象成数学问题，用大脑已有知识为基础，结合自身高阶思维解决问题，再将结果带入真实情况检验，这样多次往复使思维得到锻炼加深。学生的发展是面向社会、面向生活，应逐步让学生用已有认知去认识世界，发展自我。

研究高阶思维比研究一般思维更具挑战性，同时对高阶思维的深入研究具有前瞻性。世界的飞速发展、高新技术的迅猛推进，使得许多行业面临严峻挑战，市场渴求高知识性与高思维性的创新型人才。促进人才向高层次水平发展，培养其思维的高阶性是关键。数学高阶思维是高阶思维与学科教育深度融合的结晶，提倡发展数学高阶思维是从数学学科教育领域视角对人才高阶思维培育做出的努力。对数学高阶思维的研究应逐步从理论认识走向实践教学，让数学高阶思维真正使学生获益、让学科教育真正发挥效用。

参考文献

[1] 钟志贤.促进学习者高阶思维发展的教学设计假设[J].电化教育研究，2004（12）：21-28.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017：4.

[3] FJ King，Ludwika Goodson，FaranakRohani.Higher Order Thinking Skills：Definitions， Strategies，Assessment[M].Center for Advancement of Learning and Assessment，Florida State University，1998.

[4] 钟志贤.面向知识时代的教学设计框架——促进学习者发展[D].上海：华东师范大学，2004.

[5] 林勤.思维的跃迁：高阶思维能力的培养及教学方式[M].上海：华东师范大学出版社，2016：3-6.

[6] 许礼光，沈琼.高层次数学思维的培养路径[J].数学通报，2019，58（05）：33-39.

[7] 周春荔.数学思维概论[M].北京：北京师范大学出版社，2012：2-4.

[8] Kulm G.Assessing higher order thinking in mathematics[M].Washington DC： Amercian Association for the Advancement of Science，1990.

[9] 鮑建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009：71-72.

[10] 邓友祥.高级数学思维及其培养策略（上）[J].湖南教育（C版），2017（08）：22-25.

[11] 任松华，傅海伦.思维三元理论指导下的数学高阶思维及培养[J].中小学教师培训，2012（12）：46-47.

[12] 邓东皋，孙小礼，张祖贵.数学与文化[M].北京：北京大学出版社，1990：38.

[作者：陈珍妮（1997-），女，四川广安人，湖南师范大学数学与统计学院，硕士生;吴仁芳（1975-），男，湖南汨罗人，湖南师范大学数学与统计学院，副教授，硕士生导师，博士。]

该文为2021年度湖南省教育厅教改课题“‘五位一体’深度研课式数学教育实习的实践研究”（2021-0401）的研究成果

T：通讯作者