马 荣，李 斌，王 璐

(1. 南京信息工程大学 物理与光电工程学院，江苏 南京 210044；2. 南京邮电大学 理学院，江苏 南京 210023)

固体物理是一门研究固体的微观结构及其组成粒子之间的相互作用与运动规律的学科，它紧密结合了当今最活跃的凝聚态物理中的半导体物理、超导电性、磁学、表面与低维物理等分支学科的研究前沿. 本课程的教学内容主要包括晶格理论、能带理论、电子在电场和磁场中运动、金属电子论及所涉及学科的发展前沿和应用[1,2]. 由于教学内容涉及大量的三维晶体结构、图形和严密的数学推导，需要学生具有丰富的空间想象能力、扎实的理论知识基础和较强的物理思想，这使得固体物理的教学面临很大的挑战. 首先，学生在大脑中建立空间立体模型比较困难，教师往往花费很大精力在黑板上板书讲解，却达不到理想的效果. 其次，教学中繁杂的物理公式和数学推导会让学生不胜其烦，忽略对物理图像和物理问题本质的把握. 因此，如何引导学生对固体物理知识点进行记忆和理解，掌握学习该课程的方法，是一项有意义和值得深入研究的课题[3-8]. 在教学中，教师需要改进教学理念，课堂上应注重融入多元化的新元素，丰富教学内容. 对于复杂、抽象的知识点，教师不但要仔细研究国内外不同教材和文献中的讲授方法，而且要紧密结合学科前沿发展，充分利用现代化教学手段，设计由浅入深的讲授逻辑，才能激发学生的学习兴趣.

本文从固体物理教学实际出发，以晶格结构、电子能带结构、电子态密度、晶格振动和声子色散关系这些概念抽象、理论推导繁琐但又非常重要的基础知识为切入点，引入和穿插简单金属化合物二硼化镁材料(MgB2)的科研进展为具体教学案例，把原来课堂上抽象的概念、原理用直观、形象的物理图像展现出来，使学生获得感性认识，进而深刻理解固体物理的知识点，了解当前跟物理材料相关的前沿科学问题，以此充分调动学生学习的主动性、积极性和创造性. 这样的教学环节改善了传统教学形式单一，只注重知识点的灌输，而忽略对学生学习能力培养的问题，有利于提高教与学的效率.

1 辅助讲解三维晶格结构特点

晶格结构及其周期性是学好固体物理学的基础，但是对于初学者来说，这部分内容是不容易掌握的，主要原因是晶体格子都是三维立体结构，书本上只能展示平面示意图，学生很难理解晶格结构的特点，尤其是对于结构复杂的六角晶胞、复式晶格，需要学生具有很好的空间想象能力. 这时教师只采用单纯的板书讲解或者课件演示平面图片的教学方式，对帮助学生理解晶格结构的特点意义不大. 因此，三维晶体建模及多角度立体演示在晶体结构教学中显得尤为重要.

通过科研计算软件Materials Studio建立各种类型的三维立体晶格模型，可以实现对晶体结构进行三维空间全方位360°旋转展示，从不同空间角度去演示晶格结构特点，通过调整原子的大小、颜色、晶格常数等，使得学生对立体晶格的结构特点有直观、深刻的印象. 这样不仅帮助学生准确地理解晶体的空间结构，还有助于学生对原胞、晶胞和基矢等基本概念的理解. 下面以六角密排结构的复式晶格MgB2为具体实例，说明构建三维晶体模型及多方位演示在处理晶体结构教学中的优势.

体相结构和基矢 俯视图 原胞结构图

这样，教师通过课堂上多角度、多方位地演示搭建的三维晶格模型，能够清晰讲解六角密排晶格的结构特征，把原来课堂上抽象的概念、原理转变成直观的形式展现出来. 展示的物理图像不但形象、立体，可多角度旋转，又可直接看出原子之间价键的连接情况，使学生深度掌握六角密排晶格的空间立体性特点，强化记忆，提高学习效率. 教师还可以引导学生自己在计算机上建立晶格模型，这对知识点的深入理解有很大帮助.

2 辅助理解电子能带结构

能带理论是固体物理教学中最重要的内容之一. 能带是电子的结构图，描述了电子态的能量分布. 固体中由于存在大量的电子，每个电子运动都要受到其它电子运动的影响，因此人们不可能严格求解多电子系统，必须做一些近似和简化处理. 教材中将各个电子的运动近似看成是相互独立的，即“单电子理论”，每个电子是在一个具有周期性的势场中运动，然后通过求解含周期性势场的薛定谔方程来得到能量本征值. 在求解过程中，要将哈密顿量的动能、电子-电子相互作用势能以及原子核与电子间的相互势能做近似和特殊处理. 这部分教学内容对学生知识结构要求很高，需要应用量子力学中的微扰理论结合晶体结构进行计算. 如果教师依然采取单一的教学模式，过多地注重繁琐复杂的数学公式推导和理论计算过程，而忽略了学生对电子能带物理图像本身的理解，不但会使课堂变得枯燥、乏味，而且教学效果也会大打折扣.

虽然教材中展示了基于一维原子链模型推导的电子能带表达式及能带结构示意图，但是这对学生深入理解实际材料中能带的形成、能带结构的特点是远远不够的. 我们可以结合现有的科研成果，展示不同晶体的电子能带结构，让学生更直观地理解导体、半导体、绝缘体的区别，有助于掌握固体中价带、导带和带隙的概念. 不但可以让枯燥的理论教学变得生动有趣，还可以丰富优化教学内容，让学生更清楚地了解能带的内涵，完成对能带的初步分析. 以金属化合物材料MgB2的能带图[10,11]为例，引导学生分析理解该材料的能带结构特点，并做进一步讨论.

在固体中，能带图实际上是电子的能量E与波矢k的关系，能量大小与k的方向有密切关系，这比自由电子的抛物线关系要复杂得多，也不同于束缚电子的量子化能级关系,需要通过数值模拟反复迭代求解晶体的薛定谔方程才能得到.把计算的电子能量E与波矢k的关系，沿着布里渊区的各个方向表示出来，就得到电子能带结构.图2是MgB2的能带结构图.人们通常把绝对零度时电子填充的最高能级定义为费米能级EF.这里设定EF=0.在半导体中，费米能级以下为价带，费米能级以上为导带.通过三维晶体的能带结构图，可以更为直观地解释价带、导带的概念，以及展示价带顶和导带底的位置，更清楚的讲解直接半导体和间接半导体的区别.结合MgB2的能带图，学生清楚地看到，电子能带穿过费米能级EF，系统具有金属性特征. 来自于B原子2p态的σ和π带都出现在费米能级EF附近. σ带是B原子平面通过sp2杂化后形成的，沿Γ-A方向，σ带具有两重简并性，且色散关系较弱，反映了σ带具有明显的二维特征. π带由B原子的pz态形成，穿过费米能级EF，沿Γ-A方向色散较强，具有明显的三维特性. 穿过费米能级的电子态具有电子与空穴共存的特征，π成键带(空穴型)与费米能级在K和M点附近相交. π反成键带(电子型)与费米能级在L点附近相交. 通过这一系列能带结构分析，学生能准确判断MgB2是一种具有金属性导电特征的化合物.

图2 MgB2的电子能带结构，设定费米能级EF=0 eV

实践证明，将MgB2的电子能带结构的科研成果融入到课堂教学中，不但可以加深学生对价带、导带、金属、半导体等能带理论部分知识基本概念和理论的理解，还可以帮助学生将书本上的理论知识联系实际，提高学习热情和积极探索知识的能力，为今后从事科研打下良好的基础.

3 辅助理解电子态密度

电子的态密度(Density of States)是与电子能带结构密切相关的物理量. 在晶体中，能级呈准连续分布，从而形成能带. 各个电子能级的排列非常密集，这个密集程度能够直接反映在某一能量范围内存在多少电子. 那么如何来表征这种电子能级的密集程度呢？于是人们就引入了电子态密度的概念. 电子态密度表示的是单位能量范围内的电子数目，即能量介于E～E+ΔE间的量子态的数目与能量差之比，是能带结构图中数据可视化的结果. 从电子态密度图上很容易得到晶格中不同原子或电子轨道对总态密度的贡献. 在这部分知识的教学中，除了要讲授清楚态密度的计算数学公式以外，也可以结合实际材料的电子态密度图，帮助学生建立起电子能带结构和态密度一一对应关系的物理图像，这样不但加深对前面能带部分知识的理解，而且也将理论联系实际，极大的丰富课堂教学内容，有助于深入理解态密度的基本概念.

还是以MgB2为例进行分析. 图3是MgB2的总态密度[10,11]和各个原子态密度图. 结合前面第二部分的电子能带结构图来帮助学生分析电子态密度的特征. 首先，电子能带是动量空间上电子能量本征值的分布，而态密度则代表电子态在单位能量区间内的分布. 因此能带没有出现的地方，态密度的值相应地就是零. 其次，电子能带越平坦的地方，态密度的峰值就越大，相反地，电子能带越陡峭的地方，态密度的峰值就越小. 由此，学生不难理解，为什么电子态密度图上的曲线会出现高高低低的峰值了. 最后，简单介绍局域态密度和分波态密度的概念. 局域态密度是指晶格中所有原子的电子态对总态密度的贡献，是分解到每个原子位置的态密度以及原子间隙的态密度之和. 如果相邻原子的局域态密度在同一个能量位置出现尖峰，说明这两个原子间存在着杂化作用，那么这个峰值就称为杂化峰. 分波态密度是指确定总态密度主要由s、p、d等具体电子态构成，根据角动量的球谐函数求解相应轨道对态密度的贡献. 在MgB2中，EF附近总态密度为0.72 states/eV) . 从图上明显看出，B原子对总态密度的贡献要比Mg原子大得多，这说明了MgB2的态密度主要是由B原子的态密度所决定的. 这与图2所示的具有准二维特性的B原子的σ带的结果一致. 也正是B原子表现出的金属性，从而导致了MgB2导电性的出现. 这些结果，学生都能很容易地通过态密度图得到. 因此，结合科学前沿进展讲解分析金属材料的电子态密度特征，有助于学生加深对能带、电子态密度概念的深入理解.

图3 MgB2的总态密度及各原子的态密度

4 辅助讲解晶格振动理论和声子色散关系

声子是固体物理中提出的重要概念，用来描述晶格的简谐振动，在处理物质热学性质、晶格-电声子相互作用以及晶格-光子相互作用中发挥重要的作用. 究竟什么是声子呢？这本身就是个很抽象的概念. 我们知道，晶格中的格点表示的是各个原子所处的平衡位置，这些原子在其平衡位置附近作振动. 由于晶体内部各原子间有相互作用，因此各原子的振动必然是相互关联的，于是晶体中就形成了格波. 在振动很微弱的情况下，原子间的相互作用力可近似看作是简谐的. 这样在简谐近似的情况下，振动模式可以认为是独立存在的. 由于晶体具有平移对称性特点，振动模式所取的一系列能量值不是连续分布的，而是分立的值. 通常用一系列独立的谐振子来描述这些独立的振动模式，它们的能量量子就称为声子. 声子的能量与动量的关系，就是通常说的声子色散关系或者声子谱.

在这部分教学中，最突出的问题就是数学公式推导过多，例如，在引入声子的概念时需要应用量子力学知识，将哈密顿量用简正坐标来表示；而且涉及傅立叶坐标变换等复杂、严密的数学推导过程，学习难度比较大. 这时教师绝不能按部就班的把所有的理论推导和证明过程都放到多媒体课件中，然后照本宣科地讲一遍. 这难免会让学生觉得理论知识枯燥乏味，深奥难懂，很难调动课堂的学习积极性. 因此，教师要从教学内容的整体上进行有效把握，注重讲解基本概念、建立物理图像和分析问题的方法. 接下来，以分析MgB2的声子谱为教学案列，穿插到声子相关章节的教学中，形象生动地讲解声子的概念，提高教学效率.

如果晶格整体作平移振动，其内部各个原子的相对位置保持不变，则对应的声子称为声学声子(或声学波). 如果晶格内部各原子间发生相对运动，则对应的声子称为光学声子(或光学波). 对于包含N个原子的原胞来说，由于每个原子的自由度为3，那么总的自由度为3N，而晶格整体平移的自由度为3，因此共有3N个声子.这其中包含3个声学波和3N-3个光学波.对于化合物MgB2，原胞含有3个原子，因此在布里渊区中心Γ点共有9种声子振动模式，其中3种是声学模，6种是光学模，如图4所示. 3种声学模的振动形式分别是：A2u(晶格整体沿竖直方向做刚性位移)、E1u(晶格整体在水平面内做刚性位移，具有两重简并性). 此外，6种光学模的振动形式分别是：B1g(B原子层内近邻的两个B原子沿竖直方向反向运动)、A2u(Mg与B平面沿竖直方向反向运动)、E2g(B原子层内相邻原子在水平面内相向运动，具有两重简并性)以及E1u(Mg与B平面在水平面内反向运动，具有两重简并性).

图4 MgB2在Γ点的声子位移模式：左边两列是光学模，右边一列是声学模. (a)、(b)对应着简并E模的两种不同的位移模式

传统超导体是BCS超导机制，在BCS超导机制中，费米能级EF附近动量相反的两个电子结合成超导库珀对，人们通过求解Eliashberg谱函数和电子-声子耦合常数就可以计算出超导转变温度. 这部分内容为学有余力的学生拓宽知识面，帮助他们更深入地理解超导物理机制.

根据Migdal-Elishberg理论[12,13]，由电子-声子相互作用引起的声子线宽为

(1)

(2)

这里N(EF)表示费米能级附近单个自旋的总态密度,ωqυ表示第υ支声子在波矢q处的振动频率.电子-声子耦合常数λqυ可以通过布里渊区的求和或者Eliashberg谱函数在频率空间的积分而获得[12,13]

(3)

其中第υ支声子在波矢q处所诱导的电子-声子耦合常数λqυ定义为

(4)

图5是MgB2的声子色散关系、Eliashberg谱函数α2F(ω)和电子-声子耦合常数λqυ[14-16].如图5(a)所示，黑色实线表示的是声子色散关系，用数字1，2，…，9分别标记9种不同的声子振动模式，其中1—3标记的是声学波，4—9标记的是光学波. 整个声子谱中都没有出现虚频，这表明晶格发生畸变后，MgB2依然具有动力学稳定性. 从图5(b)很容易看出，谱函数α2F(ω)按照频率的高低可以大致划分为3个区域：低频段主要来自3个声学波的贡献(即以数字1—3标记的Mg原子和B原子的集体运动产生的振动模式)；中频区域主要来自光学模E1u和A2u(即以数字4—6标记的Mg原子和B原子间发生相互运动产生的振动模式)；高频区域主要来自光学模E2g和B1g的贡献(即以数字7—9标记的B原子间的相对运动振动模式). 从图5(b)还可以看出，谱函数α2F(ω)在600 cm-1附近出现了尖锐的峰值，这主要来源于高频E2g声子振动模式的贡献. 根据公式(4)，能够计算出第υ支声子在任意波矢q处所诱导的电子-声子耦合常数λqυ，在图5(a)中用一系列黑点表示.这里黑点越大越粗，代表该处的电子-声子耦合常数λqυ的值越大.因此能够直观地看出，高频E2g声子振动与平面电子的相互作用对电子-声子耦合强度有很大贡献，即MgB2中的电子主要和高频声子间有较强的耦合作用. 根据公式(3)，计算得到总的电子-声子耦合常数约为λ=0.87，因此可以认为MgB2是一种强电子-声子耦合的金属化合物.

图5 MgB2的(a)声子色散关系和电子-声子耦合强度,其中黑色实线表示声子色散关系，黑点表示该处的电子-声子耦合强度λqυ；(b)Eliashberg谱函数.

通过引入MgB2声子的位移模式示意图，分析声子谱的特征，能够帮助学生对声子概念有形象、直观的印象，并将声子与电子色散关系区别理解，有助于学生建立清晰的物理图像.

5 结束语

教学一定要适应时代的变化，本文紧跟学科前沿发展，将相关科研成果转化为教学案例，融入到固体物理课程中辅助教学. 通过构建和展示MgB2三维立体晶格结构图，使用较为直观的语言分析了MgB2的电子能带结构和电子态密度图的物理含义，深入浅出地介绍了晶格振动模式及声子谱的物理图像. 这些直观而深刻的教学案例，使得原本抽象枯燥的理论教学变得具体而生动，为固体物理课程学习增添了很多乐趣，更重要的是增强了学生对知识理解的深度和广度，提高了学习效率，让他们在学习新知识的同时，将理论联系实际，提高了解决问题的能力.