齐霄霏，孙少星，胥兵，陈少波

（山西大学数学科学学院，山西 太原 030006）

0 引言

令B(H)是复Hilbert空间H上所有有界线性算子全体组成的代数，k为小于H维数的任意正整数。设A∈B(H)，回忆A的k-维数值域定义为或等价地定义为

近年来，算子代数上保持各种乘积k-维数值域映射的研究受到了国内外许多学者的关注。记A=B(H)或者Bs(H)（H上所有自伴算子组成的Jordan代数），A∘B表示A，B∈A的某种乘积。称映射Φ：A→A保持算子乘积∘的k-维数值域，若对任意A，B∈A有Wk(A∘B)=Wk(Φ(A)∘Φ(B))成立。对于k=1的情形，文献［5］给出了B(H)与Bs(H)上分别保持算子乘积A∘B=AB数值域的满射的结构性质，以及B(H)上保持算子Jordan半三重斜乘积A∘B=BA*B数值域的满射的具体刻画形式。文献［6］得到了B(H)和Bs(H)上分别保持Jordan乘积A∘B=AB+BA数值域的映射的完全刻画。文献［7］和文献［8］分别获得了B(H)和Bs(H)上保持Lie乘积A∘B=AB−BA数值域满射的结构性质。对于k>1的情形，文献［9］给出了B(H)上保持Jordan乘积k-维数值域的满射的具体刻画。

另一方面，回忆数域F上的代数中任意两个元A，B的ξ-Lie乘积定义为[A，B]ξ=AB−ξBA，其中ξ∈F（见文献［10］）。显然，ξ=0，1，−1的情形分别对应于通常的乘积，Lie乘积和Jordan乘积。算子代数上与ξ-Lie乘积相关的各类保持问题也被许多学者研究（如见文献［11-14］及里面的参考文献）。关于k-维数值域的相关结果，文献［15］给出了Bs(H)上保持算子ξ-Lie乘积（ξ≠1）数值域的一般满射的刻画。

本文的目的是研究B(H)上保持算子ξ-Lie乘积以及Jordan半三重斜乘积k-维数值域的一般映射的结构性质。本文结构如下。第1节给出了本文用到的B(H)中算子k-维数值域的一些重要性质。第2节给出了B(H)上保持算子ξ-Lie乘积（ξ≠±1）k-维数值域的满射的具体刻画形式。第3节则给出了B(H)上保持算子Jordan半三重斜乘积k-维数值域的一般映射的结构刻画。

1 有界线性算子k-维数值域的性质

本节给出复Hilbert空间上有界线性算子k-维数值域的相关性质。

命题1［9，16-17］令H是复Hilbert空间，k是一个正整数，且满足k

（1）若 U∈B(H)是酉算子，那么 Wk(UAU*)=Wk(A)；若 U∈B(H)是共轭酉算子，那么Wk(UAU*)=Wk(A*)=Wk(A)*，其中 Wk(A)*={-λ：λ∈Wk(A)}。

（2）对任意的λ∈ℂ，我们有Wk(λA)=λWk(A)。

（3）Wk(A)={λ}当且仅当A=λI。

2 B(H)上保持ξ-Lie乘积k-维数值域的映射

3 B(H)上保持Jordan三重斜乘积k-维数值域的映射