赵小松，陈 肯，刘 娜，樊 锐

(天津大学 管理与经济学部，天津 300072)

0 引言

随着市场个性化和多样化需求的上升，生产系统的制造柔性与复杂度也不断提高，操作者的工作状态对系统的运行与管理影响越来越大[1]。如果在混流装配线平衡时忽视操作者的人体需要，不仅影响装配线的性能，还容易造成操作者的职业性骨骼肌肉损伤[2]，甚至引发严重的安全事故，不利于保持生产过程的长期稳定性[3]。

装配线平衡问题的研究主要集中于装配线的布局与设计，以及资源的合理分配，进而提高生产效率，降低生产成本[4]。GUNTHER等[5]首次在装配线平衡问题中引入了人体需求因素；OTTO等[2,6]总结了考虑人因的装配线平衡问题的研究，针对简单装配线提出了人因风险管控的概念，并指出人因风险的控制可以体现在模型的目标与约束中，此类问题被定义为Ergo-ALBP(ergonomic-assembly line balancing problem)；KARA等[7]建立了简单装配线的心理和体力等人因约束条件；BOTTI等[8]将任务的重复操作程度作为人因风险水平的判据，并以此优化了自动—手工联合装配线；AKYOL等[9]在Ergo-ALBP中同时考虑了任务分配和操作者分配问题。在此基础上，汪挺[10]考虑了操作者心理和体力因素，进一步优化了装配线平衡模型；FINCO等[11]考虑了操作者的疲劳与恢复，研究了简单装配线的人体负荷平衡问题。

装配线平衡属于实数非线性的组合优化问题，是一种NP难题。遗传算法(Genetic Algorithm，GA)是一种高效解决该类问题的工具，被广泛用于装配线优化问题的求解。DEFERSHA等[12]设计了嵌入线性规划的混合遗传算法，同时求解了混流装配线的平衡与排序问题；CHEN等[13]设计了一种基于种群适应度的自适应遗传算法，以求解混流装配线的操作者分配与平衡问题；KUCUKKOC等[14]利用蚁群—遗传算法求解了混合并行双边装配线的平衡与排序问题；BABAZADEH等[15]采用一种改进的非支配排序遗传算法求解了考虑模糊任务时间的装配线平衡问题；李爱平等[16]利用模糊聚类算法改进了遗传算法的交叉操作，有效求解了多目标装配线平衡问题。

综上所述，装配线平衡问题的研究容易忽略人的因素，而目前针对Ergo-ALBP的研究主要基于简单装配线，操作者生理和心理需求方面的约束需要进一步考虑。在装配线平衡问题求解方面，针对考虑复杂实际约束的混流装配线平衡问题的优化算法也有待进一步研究。因此，本文在KARA等[7]和AKYOL等[9]模型基础上考虑了操作者心理压力和体力消耗约束，建立了基于任务和操作者分配的混流装配线平衡优化模型。为了解决遗传算法收敛速度慢和求解质量不佳的问题，本文针对混流装配线相关特点，设计了改进自适应整体退火遗传算法(Adaptive Annealing—Improving Genetic Algorithm, AA-IGA)。其中整体退火选择：①结合灾变机制,增强了算法前期的全局寻优能力；②基于适应度和遗传代数的自适应性算子，保证了算法后期的收敛稳定性；③特殊的种群初始化方式和交叉、变异操作，保证种群进化过程中不出现非可行解。最后，借助两种规模的算例验证了提出的模型与算法的有效性。

1 考虑相关人因约束的混流装配线模型建立

1.1 心理需求

对于简单且重复性高的操作任务，容易使操作者感到单调乏味且注意力缺失，从而影响其工作状态甚至整个装配线的质量和效率[17]。GUNTHER等[5]定义了任务刚度e来反映任务对操作者造成的心理影响，单调且重复性高的装配任务的刚度值更高，各工作站总的任务心理压力需要低于相应操作者的自身上限。

为保证任务的完成时间和心理刚度同时得到均衡，人员的心理压力值不能单纯使用任务刚度总和来表示。因此，KARA等[7]对任务刚度进行加权修正：

fi=tiei；

(1)

(2)

进一步考虑，一个生产节拍C内的空闲率对操作者的心理压力也存在影响。适当的空闲率能够缓和任务带来的心理压力，即降低工作站内任务的心理压力[18]。而在混流装配线中，一个工作站内的操作者将要面临多种类型的产品，空闲时间也存在差别。因此，本文引入文献[18-19]中对疲劳和恢复的计算方法，对式(2)作了一定的修正：

(3)

(4)

式中：e为自然常数；ρ表示工作站的空闲率；Skp指工作站k装配产品p时的空闲时间。

1.2 体力需求

在简单装配线优化问题中，GUNTHER等[5]将完成装配任务所消耗的能量(kcal)作为衡量指标，KARA等[7]使用男性操作者8小时作业的平均体力消耗上限作为任务分配的体力限度，并考虑了任务要求的不同作业姿势造成的体力消耗差异。

本文在Kara模型基础上，结合混流装配线的产品差异和操作者变量，建立如下体力消耗约束：

(5)

(6)

(7)

其中：μpj=0时表示操作者j装配产品p时需要坐姿，否则需要站姿；γpi=0时表示产品p包含任务i，rpi=1时表示产品p不含任务i；δi=0时表示任务i作业姿势不限(假设不存在仅允许坐姿的任务)，δi=1时需要站姿；xik和yjk分别为操作任务与操作者分配的0-1变量；qp为产品p在本次批量中的比例；αijp和βijp分别为操作者j以站姿或坐姿完成产品p的任务i所消耗的能量(kcal)。 可以看出，为了避免作业姿势调整带来的额外消耗，若装配一个产品所需的任务里存在仅允许站姿作业的任务，则只允许站姿作业；若某个任务的作业不限姿势，则站姿作业相较坐姿作业消耗更多的体力，使用坐姿作业。

1.3 模型假设与参数设置

本文在混流装配线模型中引入人因约束条件，并引入了操作者变量[7,9]，以研究生产过程中任务造成的心理压力和体力消耗情况。假设一位操作者仅在一个工作站上作业，一个工作站仅拥有一位操作者。此外，每位操作者装配相同任务的用时、心理压力、体力消耗及其上限是有差别的[9]。已知各项任务的刚度，且不存在仅允许坐姿操作的任务，每位操作者在装配一个产品时需要保持同种姿势。

以下为引入人因约束的混流装配线模型所用到的参数设置：

i为装配线任务，i=1,…,N；

j为操作者，j=1,…,M；

k为工作站，k=1,…,M；

p为产品，p=1,…,P；

qp为产品p在本次批量中的比例；

C为循环时间(节拍)；

γpi，若产品p包含任务i则γpi=1，否则γpi=0；

tijp为操作者j装配产品p中的任务i的完成时间；

xik，若任务i分配到工作站k上则xik=1，否则xik=0；

yjk,若操作者j分配到工作站k上则yjk=1，否则yjk=0；

PRi为在任务优先顺序中，任务i的前置任务的集合；

ei为任务i的刚度；

δi，若任务i仅允许以站姿作业时δi=1，姿势不限时δi=0；

αijp为操作者j以站姿完成产品p中的任务i时所需要消耗的体力(kcal)；

βijp为操作者j以坐姿完成产品p中的任务i时所需要消耗的体力(kcal)；

μpj,操作者j对产品p进行装配作业时需要站姿则μpj=1，坐姿μpj=0；

Wj为一个生产节拍C内操作者j平均消耗的体力上限；

Ipj为工作站k上装配产品p的空闲时间；

ρkp为工作站k上装配产品p的空闲率；

L为有效工作站数量。

1.4 模型表示

(8)

s.t.

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

Ikp≥0，p=1,…,P，k=1,…,M；

(20)

xik∈{0,1}，i=1,…,N，k=1,…,M；

(21)

yjk∈{0,1},j=1,…,M;k=1,…,M。

(22)

其中：式(8)表示目标函数，即最小化有效工作站数量以及站间和站内的平衡度；式(9)表示任务不能被分配到多个工作站上；式(10)表示一位操作者仅被分配至一个工作站；式(11)表示一个工作站仅拥有一位操作者；式(12)表示任务优先关系的约束；式(13)表示有效工作站数量；式(14)表示工作站的空闲时间；式(15)表示工作站的空闲率；式(16)是考虑了空闲率的各个工作站心理压力值上限；式(17)与式(18)表示作业姿势确认，若工作站装配一个产品时所包含的任务里既允许站姿又允许坐姿，则以生产效率与节省体力消耗的角度考虑，只允许站姿作业；式(19)表示各位操作者体力消耗的相关约束；式(20)表示循环时间约束，工作站装配各个产品时，空闲时间不能高于循环时间；式(21)和式(22)指基于0-1变量的任务和操作者分配情况。

2 基于改进遗传算法的模型求解

经典遗传算法一般采用比例选择法[20]，高适应度个体在早期能够迅速充满群体，失去多样性的种群很快停止进化(早熟收敛)。为了引导种群在算法早期跳出局部最优，本文结合灾变机制，使用整体退火方法改进选择操作，为了使算法后期快速收敛向全局最优解，设计了自适应概率以控制个体的交叉与变异。此外，为了不破坏任务优先关系，设计了特殊的初始化、交叉和变异操作。

算法流程图如图1所示。

2.1 染色体编码与种群的初始化

染色体编码分为任务和操作者分配两部分。任务分配部分中，基因数量为N，对应N个装配任务，基因的数值反映工作站编号，分配有装配任务的工作站才属于有效工作站；操作者分配部分中，基因数量为M，可供使用的操作者最大数量也为M，基因的数值反映工作站编号。该基因段的编码用1～M的排列组合表示，结合任务分配基因段，便可确认哪些操作者分配到了有效工作站上。

如图2所示为染色体基因点位示例图，其中装配任务数量为8，可供分配的工作站数量和操作者数量为6。染色体解码后即可得出任务和操作者的分配方案。其中，有效工作站数为5，因为工作站6和对应的操作者6都没有分配到任何任务。以工作站1为例，任务1和2被分配到对应的操作者1手中进行装配作业。

对于任务分配基因段的初始化，任务1需要在工作站1中，再找出其余任务i的各个前置任务被分配到的工作站位置编号最大值Si(Si∈[1,M])，以此生成随机整数Si(Si∈[1,M])，该整数即任务所在的工作站编号，且变量xisi=1；对于操作者分配基因段，由算法生成一个1～M的排列组合，表示操作者所在的工作站编号。

2.2 适应度值计算

为了使种群中的染色体c(c∈[1,NIND])满足节拍和相关人因约束，使用罚函数法降低不满足条件的解的适应度。这允许种群内保持一定数量的非可行解，使算法同时在可行域和不可行域内进化，从而提高搜索效率。

将染色体c解码，如果其对应的解能够同时满足生产节拍和相关人因约束，则适应度为式(23)，其中目标函数为z(c)； 若解满足生产节拍约束，但不能满足相关人因约束，考虑本模型需要最小化的有效工作站数量为整数，且站内与站间的平衡度都是0～1之间的小数，则适应度为式(24)；若解不能满足循环时间约束，则目标函数失去了意义，将目标值定为最大值，即M+2，适应度为式(25)。

(23)

(24)

(25)

2.3 整体退火选择

整体退火机制加强了遗传算法的全局寻优能力，种群中所有个体都能以概率为1向全局最优解收敛[20]，当种群收敛时即可判定已接近最优解。这表明算法拥有自然的停机机制，可以有效抑制种群早熟现象。

为了提高计算效率，本文使用非时齐退火算法，即一个退火温度仅对应一个候选解，从而取消退火内循环。式(26)为模拟退火算法的降温表达式：

(26)

式中：k为遗传进化代数；T0为初始温度；Tk为第k代的温度。

选择操作基于比例选择法，引入Boltzmann概率选择机制。以Pi的概率将个体i从种群中随机独立地选中，重复操作NIND次。选中的个体将进行遗传进化操作，选择概率如式(27)：

(27)

式中f为个体的适应度。

整体退火遗传算法收敛的充要条件是允许父代参与竞争[20]。完成交叉、变异操作后，判断父代适应度fi是否小于子代fi，是则触发概率选择机制，选择的概率如式(28)：

(28)

2.4 自适应算子

对于交叉算子，DENIZ等[21]对比了不同方法，认为以海明距离(Hamming Distance)为个体相似度判定标准可以有效反映种群多样性水平。邹泽桦等[22]以此设计了自适应交叉阈值，但低于阈值的个体无法进行交叉。本文的自适应交叉概率如式(29)所示，与交叉阈值的区别在于，高相似性个体仍可以低概率进行交叉，以此扩大交叉范围，提高种群进化速度。自适应机制的影响随着遗传代数减弱，以提高算法后期的收敛稳定性。

(29)

式中：k为当前遗传代数；Kmax为最大遗传代数；Lchrom为染色体的基因总数，即海明距离最大值；H为个体的海明距离；Pc_max为修正前种群最大交叉概率；γ和δ是可以调整的常数。

对于变异算子，sigmoid函数可以有效调节变异概率，在算法的不同阶段增加种群多样性，同时尽可能保留优秀个体。AI等[23]将类似的自适应遗传算法应用于电力系统调度问题，取得了较好的效果，但该自适应机制未考虑遗传代数的影响。本文基于sigmoid函数的自适应算子如式(30)所示，其中分数部分随着个体适应度的变化做出相应的调整，指数部分保证算子的影响随着遗传代数减弱，防止进化后期收敛稳定性被破坏。

(30)

式中：Pmax和Pmin分别表示第k代时，个体变异率的取值上下限；fmax和favg分别表示第k代种群的最优适应度与平均适应度；f表示个体当前的适应度；a=9.903 438；α和β是可以调整的常数。

2.5 交叉、变异操作

交叉操作采取两点交叉法，基于任务优先关系进行选择性交叉。如图3所示，随机产生父代染色体1的交叉点1和交叉点2，获得交叉片段1。交叉过程如图4所示，交叉片段1与父代染色体2相应位置的基因依次交换，若交换后不满足任务优先关系，则以前置任务最大工作站、后置任务最小工作站为依据产生符合要求的基因，最终产生交叉片段2和子代染色体1。子代染色体1的产生方式也是如此。由于交叉操作不破坏原有的任务优先关系，产生的子代染色体同样为可行解。

由于操作者基因段必须满足操作者与工作站的相互唯一性原则，而交叉操作容易破坏该约束，导致解不可行，从而解失去了意义。故该基因段不进行交叉操作，即交叉点1和交叉点2仅生成于任务分配基因段。

本文设计了两种变异操作。针对任务分配部分，由算法生成一个1～N的随机数作为变异的点位，则找出该基因对应的任务i的所有前置任务所在工作站编号最大值Si(Si∈[1,M])，以及所有以任务i为前置任务的任务所在的工作站编号最小值S′i(S′i∈[1,M])。 由于之前的进化过程不会破坏任务优先关系，有Si≤S′i。 算法产生一个Si～S′i间的随机整数作为变异后该点位的基因。针对操作者分配部分，算法在该基因段内随机选取两个基因点位并交换数值，以此满足相应的分配准则。

2.6 灾变机制

灾变机制一般基于遗传代数触发，通过替换适应度低的个体来实现灾变过程[24]。但灾变机制的直接目的是克服种群的早熟收敛问题，因此本文的灾变触发条件是基于种群早熟的判定。在算法前期，若种群最优适应度停滞了一定的代数，则使用适应度最优的个体替换一定数量的低适应度个体。此外，还需要大幅增加突变率并持续一定的代数，在种群进化停滞时进一步增加种群多样性。

3 算例分析

3.1 算法改进效果分析

本文依据KARA等[7]的装配线算例和人因因素数据验证本文模型的合理性，使用不同遗传算法对上述模型进行求解分析。

如图5所示，产品1和产品2是两个装配工艺相近的同类型产品。本次批量中产品1和产品2的数量比例为0.6和0.4。两种产品的任务优先关系如图5a和图5b所示，综合任务优先关系如图5c所示。每位操作者在同一生产节拍内只能装配一个产品。其中：装配线上总的任务数量N=9，可供分配的工作站数量和操作者数量均为M=5，工作站最小循环时间C=25 min。

表1 操作者在一个生产节拍内的平均体力消耗限度

表2 各操作任务消耗的体力

表3 各个任务的完成时间和刚度

将以上算例分别用经典遗传算法(Classical Genetic Algorithm,CGA)、文献[16]中基于模糊聚类交叉的遗传算法(Fuzzy C-means Genetic Algorithm,FCM-GA)和本文的改进自适应整体退火遗传算法(AA-IGA)求解。运行的电脑配置为主频CPU2.3 GHz、内存16.0 GB，使用软件Python 3.7。基本参数设置如下：种群规模为300，遗传代数上限为300，交叉、变异概率分别为0.3和0.01。AA-IGA参数在文献[22-23]的基础上经过测试调整，设置如下：最大交叉概率Pc_max=0.6，最小变异概率Pm_min=0.1，最大变异概率Pm_max=0.4，灾变交叉概率为0.6，灾变变异概率为0.5，退火初始温度T0=500，常数δ=3,γ=5,a=9.903 438,α=5,β=0.8。

不同算法的种群最优适应度和种群平均适应度进化过程比较如图6所示。

从图6a可以看出，相比于算法CGA，算法AA-IGA和FCM-GA具有更高的最优值进化速度和解的质量。但算法FCM-GA在进化过程中没有克服局部最优，这是由于模糊聚类算子只能有效调整每个染色体的交叉概率，以提高算法的局部搜索能力，但局部最优的突破能力有待进一步提高。本文算法AA-IGA的种群在30代左右突破了局部最优，并很快达到了全局最优。这表明整体退火选择结合灾变机制提高了算法全局搜索的能力，种群进化效率与所得解的质量都得到了提升。

由图6b可以比较算法之间的收敛速度。算法FCM-GA收敛速度明显快于CGA，可见模糊聚类机制防止近亲染色体交叉的作用增强了算法的收敛能力，但两种算法分别在20代和50代之后出现了早熟收敛现象。算法AA-IGA的种群则不断尝试跳出局部最优，虽然前期的种群平均适应度下降困难，但没有陷入早熟收敛，由于自适应算子对交叉和变异概率的调整作用，算法在90代后收敛速度提高，最终收敛到了全局最优解上。

表4 不同遗传算法的优化结果对比

3.2 人因约束对比

本文使用算法 AA-IGA求解以上算例，并对比了基于人因约束和未考虑人因约束的装配线优化方案，表5和表6列出了相关的任务和操作者分配方案。在该模型中，无论是否考虑人因约束条件，有效的工作站数均为3，但在未考虑人因约束模型的解中，适应度更优，装配线的平衡率也更高。

表5 未考虑人因约束的模型优化结果

表6 基于人因约束的模型优化结果

为进一步验证算法的有效性，使用算法AA-IGA求解更大规模的算例。其中混流装配线的产品数量为3，总任务数为27，最大工作站数和操作者数为10。3种产品的数量比例为 0.3，0.4 和 0.3。两种模型的遗传算法种群进化过程如图7所示，无论是否考虑人因约束条件的模型，算法都能保持很快的进化速度，达到最优解。

两种模型的平衡结果如表7所示。由于算例规模的增加，导致可行解域扩大，人因约束条件对模型求解的影响也更加明显。本算例中未考虑人因约束的平衡方案在工作站数和装配线平衡率上都更优，但这种解存在工作站心理压力值超标或装配人员体力消耗过高的情况，无法确保满足人因约束条件。

表7 不同模型的大规模算例优化结果对比

在本文算法的程序实现过程中，人因约束对模型求解有着一定影响。由于本文模型考虑了操作者变量，导致不同操作者的任务完成时间、体力消耗和心理压力数值都有差别，使得考虑人因约束条件的模型复杂度较高。本文的算法在求解考虑人因的模型时效率较低，平均求解时间比不考虑人因的模型多30%。

通过分析两个算例可知，人因约束在装配线优化问题中是不可忽略的。算例中，若忽略操作者心理与体力的需求约束，只以传统的装配线平衡约束进行优化，虽然装配线优化程度以及算法求解效率会更优，但是优化方案中容易存在心理压力值超标的工作站，或体力消耗超过限度的操作者分配情况。若操作者的心理、生理需求超过限度，则不可避免地导致工作效率的降低和产品质量的不稳定，甚至造成严重的生产安全事故。

4 结束语

本文研究了操作者心理压力、体力消耗约束条件对装配线平衡的影响，建立了混流装配线平衡优化模型，充分考虑了操作者的作业时间差异和工作站空闲时间对心理压力的修正以及作业姿势对体力消耗的影响。采用遗传算法对模型进行求解，设计了基于任务优先关系判断的遗传操作以产生可行解，使用整体退火与自适应算子使算法达到前期全局搜索、后期快速收敛的效果，并使用灾变机制辅助突破局部最优。算例结果表明，不考虑人因因素的结果中操作者的心理压力和体力消耗有可能超过限度，这样容易影响操作者的健康和生产效率。将操作者心理和体力因素纳入模型后，可以在装配线平衡的基础上进一步均衡人的作业负荷，降低操作者的心理压力与体力消耗过度而导致的人因风险，进而保证操作者的健康和作业稳定性，提升系统作业效率。与其他算法相比，本文的改进遗传算法具有较强的全局寻优能力，能够有效突破局部最优。未来的研究可以在本文研究基础之上，对心理压力、体力消耗进行动态测量，也可以考虑更多种类的人因因素。