王琼 李叶龙 黄贤静 张贵元

摘要：RC电路响应分析涉及高等数学中的微分方程，教材中关于二者的衔接部分较为简要，数学基础较薄弱的学生学习时会存在一定困难。为此，本文首先采用具体事例的形式，对一阶线性微分方程的求解过程及求解逻辑进行了推导与总结，之后直接利用齐次方程及一阶线性微分方程的通解形式直接推导出RC电路响应方程，在内容及逻辑上实现数学与电路分析的统一。

关键词：电工学;RC电路;微分方程

中图分类号：G424      文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2022）21-0115-03

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电路暂态分析是本科课程《电工学》中的重要内容，因其涉及高等数学中微分方程内容，对学生的数学基础要求较高。实际教材及辅助资料中对此部分内容所涉及的数学原理的推导通常较为简要（默认在学习高等数学中已经掌握）[1-3]，而高等数学中关于微分方程部分则是从纯数学角度进行推导，缺乏其在电路暂态分析应用方面的专门讲解[4-5]，从而导致部分学生在学习电路暂态分析这部分内容时缺乏对其数学原理的深入理解，学习中仅靠硬记最终的电路响应方程而解决问题，进而给后续的深入学习带来困难。基于此，本文以电路暂态分析中RC电路响应为例，将一阶线性微分方程部分内容的求解过程及求解逻辑与电路的暂态分析进行统一推导与阐述。以期初学者通过对本文的阅读能快速掌握运用一阶线性微分方程解决电路暂态分析问题。

1 一阶线性微分方程的求解逻辑

在高等数学中，微分方程部分的学习顺序为微分方程的基本概念、可分离变量微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、高阶线性微分方程、欧拉方程等[4]。因电路的暂态分析仅涉及一阶线性微分方程。为此本文仅对一阶线性微分方程的求解逻辑进行推导与阐述。

1.1可分离变量微分方程

为方便初学者理解，文中不同类型方程的求解均以较为简单的具体方程实例为例进行求解。在高等数学中微分方程的求解是从可分离变量微分方程开始的，其一般形式可表示为式（1）的形式。

[P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0]                         （1）

以具体事例（2）为例，进行可分离变量微分方程的求解过程。

[dydx=2xy]                                    （2）

所谓分离变量就是将含相同变量的项移至方程的一端。对式（2）进行移项，得出式（3）;对式（3）两端积分得出式（4）;对式（4）进行求解，得出式（5）、（6），因 [±eC1] 仍是任意常数，把它记作常数C，便得出方程（2）的通解式（7），此即为可分离变量微分方程的求解过程。其求解过程可总结为三个步骤：分离、积分、运算求解。

[1ydy=2xdx]                                  （3）

[1ydy=2xdx]                                 （4）

[lny=x2+C1]                               （5）

[y=±ex2+C1=±eC1ex2]                       （6）

[y=Cex2]                                    （7）

1.2齐次方程

如果一阶微分方程 [dydx=f（x，y）]中函數 f（x，y）可写成 [yx]的函数，即[f（x，y）=?（yx）]，则称这个方程为齐次方程，齐次方程的一般式亦可表示为式（8）的形式[4]。

[dydx+P（X）y=0]                                （8）

以具体事例（9）为例，进行其求解过程。将式（9）进行移项等变换，得出式（10）。由前述定义可知该式为齐次方程。

[y2+x2dydx=xydydx]                               （9）

[dydx=y2xy-x2=（yx）2yx-1]                            （10）

令式（10）中的 [yx=u]，则y=ux，对其求导后推出 [dydx=u+xdudx]，将其代入式（10）得出式（11），对式（11）移项得出式（12），式（12）符合可分离变量微分方程的形式，对其进行变量分离，得出式（13）。应用解可分离变量的方法对式（13）进行积分求解，求得齐次方程式（9）的通解为式（14）：

[u+xdudx=u2u-1]                               （11）

[xdudx=uu-1]                                 （12）

[（1-1u）du=dxx]                                （13）

[lny=yx+C]                                （14）

由上述齐次方程事例的求解过程可见，齐微分方程需要通过变量代换化为可分离变量微分方程进行求解。

1.3一阶非齐次线性微分方程

当方程满足式（15）的形式时，即未知函数 y及其导数是一次的方程，叫作一阶非齐次线性微分方程。当[Q（X）≡0]时，其变换为齐次线性方程，是对应于非齐次线性方程（15）的齐次线性方程，如式（16）所示，并且由其形式特点可知该式是可分离的。为此，可分离变换为式（17），对其两端进行积分得出式（18），此即为对应一阶线性微分方程（15）的齐次方程（16）的通解。

[dydx+P（x）y=Q（x）]                              （15）

[dydx+P（x）y=0]                                （16）

[dyy=-P（x）dx]                                 （17）

[y=Ce-P（x）dx]                                 （18）

接下来，采用常数变易法[4]求非齐次线性方程（15）的通解。具体方法是把式（18）中的 C 换成 x 的未知函数u（x） ，即变作式（19），将式（19）对x求导，得出式（20）：

[y=ue-P（x）dx]                                  （19）

[dydx=u'e-P（x）dx-uP（x）e-P（x）dx]                    （20）

将式（19）、（20）代入式（15），得出式（21），进一步化简得出式（22）：

[u'e-P（x）dx-uP（x）e-P（x）dx+P（x）ue-P（x）dx=Q（x）]                                              （21）

[u'=Q（x）eP（x）dx]                               （22）

將式（22）两端积分，得式（23）：

[u=Q（x）eP（x）dxdx+C]                           （23）

把式（23）代入式（19）得出式（24），式（24）即为一阶线性微分方程（15）的通解。

[y=Ce-P（x）dx+e-P（x）dxQ（x）eP（x）dx]        （24）

由式（24）可见，一阶非齐次线性方程的通解等于：其对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。

由上述三种类型方程的求解过程可知，可分离变量的微分方程的求解是基础，在此基础上方可对齐次方程进行求解。而求解一阶非齐次线性微分方程的方法是首先求解该方程所对应的齐次方程的通解，然后利用常数变易法求出一阶非齐次线性微分方程的通解，其求解逻辑如图1所示。理解一阶非齐次线性微分方程通解的求解过程，记住其通解形式（24）是深入学习电路暂态分析的重要数学基础。

2 RC电路响应

2.1电工基础

2.1.1元件特征

电阻、电感、电容是常用的电子元件，图2为由其构成的单一参数电路。在电阻电路中电压与电流间关系满足式（25），而电感与电容是储能元件，在由其构成的电路发生通断瞬间能量不能发生跃变。

电感元件表现为电流不能跃变。如图2（b）所示，当线圈通过电流i时，将产生磁通Φ，电感元件的参数-电感L=NΦ/i，N为线圈匝数，当电感元件中电流（或磁通）发生变化时，则在其中产生感应电动势eL，具体表示为电流对时间的导数与电感的乘积，如式（26）所示。

电容元件表现为电压不能跃变。如图2（c）所示，衡量电容容量的直接参数是其所含电荷[量]q，电容元件关键参数-电容C=q/u，当电容元件上电荷[量]q或电压u发生变化时，则在电路中引起电流i，电流具体表示为电压对时间的导数与电容的乘积，如式（27）所示。

[uR=Ri]                                      （25）

[eL=-Ndφdt=-Ldidt]                                  （26）

[i=dqdt=Cdudt]                                    （27）

由式（25）～（27）可知，在电阻元件电路中，一旦接通或断开电源时，电路立即处于稳定状态（简称“稳态”）。而当电路中含有电感或电容元件时，则不然。例如RC串联电路与直流电源接通后，电容被充电，其上电压是逐渐增长到稳定状态，电路中有充电电流（电容放电）时，其上电压是逐渐衰减到零的，这种电路中电流（电压）增长或衰减需经历一个短暂的过程，这个过程称为暂态过程（简称“暂态”），即在含电感或电容的电路中接通或断开电源时，电路需要经历一个暂态过程后才会再次处于稳定状态。电路的暂态过程可能产生过电压或过电流进而对电路造成危害，亦可利用其改善波形或产生特定波形，为此需掌握其规律进而规避危害或利用特性实现某些特定目的。

2.1.2换路定则

由于电源的接通、断开、短路、电压改变或参数改变等所导致的电路改变称为换路[1]。由前述分析可知，对于电容元件换路瞬间电压不能跃变，设换路前瞬间电压为uC（0-），换路后瞬间电压为uC（0+），因换路瞬间不能发生跃变，为此二者相等，如式（28）所示;对于电感元件换路瞬间电流不能跃变，设换路前瞬间电压为iL（0-），換路后瞬间电压为iL（0+），因换路瞬间不能发生跃变，为此二者相等，如式（29）所示。从t=0-到t=0+瞬间，电容元件中的电压和电感元件中的电流不能跃变，这称为换路定则。

[uC（0-）=uC（0+）]                               （28）

[iL（0-）=iL（0+）]                                （29）

2.2.RC电路响应

2.2.1RC零状态响应

如图3所示，当RC电路换路前电容元件未储有能量，uc（0-）=0时，由电源激励所产生的电路的响应，称为RC零状态响应。分析 RC 电路的零状态响应，实际上就是分析它的充电过程。在t=0时将开关S合到位置 1 上，即电路与一恒定电压为U的电压源接通，对电容元件开始充电，电容上电压为 uc。

根据基尔霍夫电压定律，列出 t ≥ 0 时（换路后）满足电路方程式（30），将电流ic（式（27））代入式（30）得式（31），此即为该电路方程的具体表达式。将式（31）与式（15）进行对比可知，该式方程满足一阶非齐次线性微分方程的形式，将其变换为一阶非齐次线性微分方程的标准式（32）。

[U=Ri+uc]                               （30）

[U=RCducdt+uc]                           （31）

[ducdt+1RCuc=URC]                          （32）

对比式（32）与式（15）可见，式中[URC]相当于式（15）中的Q（x），[1RC]相当于式（15）中的于P（x），为此，将二者代入一阶非齐次线性方程式（15）的通解式（24），得出式（33），此即为式（32）的通解。

[uc=C1e-1RCdt+e-1RCdtURCe1RCdt]                       （33）

对式（33）等号右端两项进行数学处理，首先处理第一项，如式（34）所示。

[C1e-1RCdt=C1e-（1RCt+C2）=C1e-C2e-1RCt=C3e-1RCt]  （34）

对第二项进行处理，如式（35）所示。因为[e1RCdt=RCe1RCdt]，将其带入式（35）得式（36）。

[e-1RCdtURCe1RCdt=e-1RCdtURCe1RCt]                       （35）

[e-1RCdtURCe1RCt=e-1RCdtURCRCe1RCdt=U]         （36）

将式（34）、（36）带入式（33）即可得出uc 的最终表达式（37） 。

[uc=U+C3e-1RCt]                               （37）

带入初始条件，换路前电容元件未储有能量，uc（0-）=0 ，依据换路定则推出uc（0+）=0。将uc（0+）=0代入式（37）得式（38），由此可得出C3= -U，将其代入式（37）进而得出RC电路零状态响应方程式（39）。式中1/RC称为RC电路的时间常数，可见电容的充电时间（暂态持续时间）与R和C相关，通过改变二者的值可改变暂态的持续时间。

[0=U+C3e-1RCt]                              （38）

[uc=U-Ue-1RCt]                                （39）

2.2.2 RC零输入响应

RC电路的零输入，是指无电源激励，输入信号为零时，由电容元件的初始状态u（0+） 所产生的电路响应，称为零输入响应。分析 RC电路的零输入响应，实际上就是分析它的放电过程。

如图3所示，当电容充电到uc=U0时，将开关S从位置1合到位置2使电容脱离电源，输入为零。根据基尔霍夫电压定律，列出 t ≥ 0 時满足电路方程式（40），将ic带入得式（41），此即为 RC 电路的零输入响应方程，该方程满足式（16）的形式，故为齐微分方程，由该型齐次微分方程通解的一般形式（18），得出式（41）的通解式（42）。

[Ri+uc=0]                               （40）

[RCducdt+uc=0]                             （41）

[uc=C1e-tRC]                               （42）

代入初始条件u（0+）=uc（0-）=U0 ，进而得出C1=U0，由此得出RC零输入响应方程式（43）。由此可见，电容的放电过程亦与R和C相关，通过改变二者的值可改变电容放电时间。

[uc=U0e-tτ=U0e-1RC]                            （43）

2.2.3 RC 电路的全响应

RC电路的全响应，是指电源激励和电容元件的初始状态 uc（0+） 均不为零时电路的响应，也就是零输入响应与零状态响应两者的叠加。

在图3的电路中，当uc（0-）=U0时，将开关S合到位置1上（电源激励电压为U），在 t ≥0 时为电容的充电过程，故其电路方程与式（30）相同，与零输入响应的区别在于电容两端的初始电压不为0，而为U0，进而uc 的最终表达式亦为式（37）。将初始条件uc（0+） =uc（0-）==U0代入式（37），得出式（45）。进而求出C3，将所求C3带回式（45）求出RC电路的全响应方程式（47）。显然，该式右边第一项是零输入响应（放电）;第二项为零状态响应（充电），这是叠加定理在暂态分析中的体现。进一步将式（47）进行整理得出式（48），由式（48）可见，全响应等于稳态分量+暂态分量。

[U0=U+C3e-1RCt]                             （45）

[C3=U0-U]                                 （46）

[uc=U0e-1RC+U（1-e-tRC）]                         （47）

[uc=U+（U0-U）e-1RCt]                            （48）

3小結

一阶线性微分方程是学习电路暂态分析的数学基础，本文从可分离变量的微分方程入手通过具体事例详细推导了可分离变量微分方程、齐次微分方程及一阶非齐次线性微分方程的求解过程及求解逻辑。利用一阶非齐次线性微分方程通解的标准式、齐次方程通解的标准式推导了RC电路的零状态响应方程、零输入响应方程及RC电路全响应方程。全面直观地展现了RC电路响应方程的数学原理。该推导过程同样也可应用于RL电路的暂态过程分析。

参考文献：

[1] 秦曾煌.电工学（下册）：电工学·电子技术[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 秦曾煌.电工学简明教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2007.

[3] 松原洋平.电工电路基本原理66课[M]. 王卫兵，徐倩，孙宏，译.北京：机械工业出版社，2017.

[4] 同济大学函授数学教研室.高等数学-下册[M].上海：同济大学出版社，1993.

[5] 同济大学数学系.高等数学-下册[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

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