丹丘生

你是一个面包圈！吓你一跳了吧？好，让我来给你解释，这是怎么回事。

这涉及到一门叫拓扑学的几何学分支。在上一篇文章中已经讲过，拓扑学研究的是物体在变形、拉伸、扭曲（但不允许撕扯或粘贴）的情况下的一门几何学。与一般几何学不同的是，拓扑学对“点与点之间的距离”这类问题不感兴趣，它只关心点与点的连接方式，如“连没连？”“怎么连？”这类问题。

这样说，或许还有点抽象，我们具体来看一个例子。

上图中，第一个是用橡皮膜做成的一个球面，通过拉伸，它可以变形成椭球面，却不可能变成上图所示的面包圈形状。只要不把它撕开，不论它怎么变形，裹在里面的空心总是被裹在里面。又因为变形时不允许粘贴（让它的内壁贴在一起），所以你也没法把一个空心变成两个、三个空心。类似地，你也没办法把上图中第二个面包圈，通过拓扑学变成第三或第四个形状。

但你可以把第二个面包圈揉捏成一个茶杯的形状。办法是这样：用指头按它的右侧，所按之处会轻陷下去，按得越重，陷得越深，但底子不允许捅破（因为捅破就是撕扯，是拓扑学上不允许的）。你可以把这个小坑拓得很大。这样，你就得到了一个茶杯的杯体，而原先的环，则可以充当杯柄。

总之，拓扑学会使一些看似极不相关的物体，发生奇怪的联系，包括你和面包圈。

拓扑学还能解释超流体和超导体中奇异的量子行为。它还导致一些闻所未闻的新型材料。一些物理学家甚至认为，拓扑学是我们通向建立宇宙终极理论的一个关键。正是由于这些原因，相变中的拓扑学研究在2016年获得了诺贝尔物理学奖。

但是究竟什么是拓扑学？物理学上哪些地方涉及拓扑学？以下是你需要知道的。

拓扑学：一种思考几何的新方式

拓扑学家按照几何物体所具有的某些不变属性来对它们进行分类，比如看它上面有多少个洞眼等。当然，要是细分的話呢，还要看这个洞眼是在物体内部还是外部。

对于拓扑学家来说，球体与立方体可归为同一类，因为在它们身上，洞眼的数目都是零;但他们可没法在一个面包圈和一个茶杯之间做出区别——它们是一样的，都有一个洞眼。当然，你可以把这当作一则笑话。

重要的是，洞眼的数目只能是整数，比如0个，1个或2个。你不能拥有半个洞眼或三分之一个洞眼。英文里“hole（洞眼）”和“whole（整个）”读音完全相同，这真是一个有意思的巧合。

这个“只能整数个”的思想你是不是很熟悉呢？对了，空间的维度只能整数维：零维的点，一维的线，二维的面，三维的立体。此外，电荷也只能是整数份的。还有基本粒子的自旋，量子的能量……也只能是整数份的。

在一个物体中，洞眼的数目被称为“拓扑不变量”。那就是说，只要你不把这个物体撕裂或粘贴，任你怎么把这个物体拉伸、揉搓、扭曲、变形，你都没法让洞眼数减少或者增加，洞眼数永远“守恒”。

这又有点意思了吧？因为我们知道，在物理学中也有一些东西，比如能量、动量、电荷，也是守恒的。

这些类似的性质，使得拓扑学思想为物理学家提供了一种全新的思考物质和宇宙的方式。

超流

水能从水龙头自由欢畅地流出，但蜂蜜只能从瓶子里缓缓滴落。决定液体流动难易程度的是粘度，它来自液体分子之间相互碰撞和作用的方式。

但是超流体是一种没有任何粘度的液体——它能够没有阻力地流动。当液氦冷却到比绝对零度（-273℃）稍微高一点点时，就表现出超流体的行为。其分子好像被“统一思想”，像单个的物体一样，步调一致地行动，至于它们之间本来有的摩擦、碰撞、“瓜葛”，似乎都消失了。其结果是，倘若你搅动一罐液氦，整个旋涡会无休止地旋转下去，而不会减慢。

在20世纪7 0年代，2 016年度诺贝尔物理学奖的两位得主戴维·索利斯和迈克尔·科斯特利茨意识到，处于同一个容器中的两个超流体漩涡，如果它们正好旋转方向相反，就会像啮合的齿轮一样，步调一致地转动。

在临界温度以上，两个旋涡就又脱离开，各走各的路了。物理学家称它经历了一个拓扑相变。

当某样东西改变了其原本的属性，如水冻结成冰，我们就说发生了相变。物理学家在许多研究领域中都使用了相变的思想。甚至有一个量子引力理论（关于万物起源的一个理论），把真空看成是一类特殊的超流体。

量子霍尔效应

通常，电流与电压成正比，比例系数即众所周知的电阻。电阻是材料的一种属性，好比是电流流过它时的摩擦力。

在20世纪80年代，物理学家在平板材料中发现了一种令人困惑的效应，叫做量子霍尔效应。电流和电压的这种简单关系完全被打破了。

在量子霍尔效应中，电阻是量子化的，或者说电阻的大小是在变化，而且变化是跳跃的台阶式的;而且说来奇怪，不管使用什么材料，这些台阶都是一样。换句话说，跟具体材料无关。

拓扑学对此现象做出了解释：电阻的台阶式跳跃是因为材料中的电子“勾搭”在一起，形成了一个量子流体。像超流体一样，这些电子的行为只跟材料的形状有关（在这里，形状就是二维平面），而跟具体是什么材料无关。

超导

更不可思議的是超导体，在它里面的电流不会有任何电阻。正如超流体的旋涡可以永无止境地转下去，超导体上也可以形成永恒的电流。比如把超导体做成环形，一次通电后，形成的环形电流就可以永久地维持下去。

这些环形电流可以被构造成量子比特，这是量子计算机的基石。

就像超流体中相互啮合、搭配成对的旋涡，超导体中的电子也可以搭配成对，这可以帮助它们在运动时避免遇到阻力。再一次，拓扑对于理解这种行为也是至关重要的。

拓扑绝缘体

这是近年来发现的新材料中最怪异的一类：它们既是导体，又是绝缘体。在这种材料内部，电子被困在局部，动弹不得，但在最外层的表面，电子则能够相对自由地移动。换句话说，它的内部绝缘，表面导电。这也意味着，拓扑绝缘体内部的缺陷和杂质都不会影响它表面的导电性。

当然，一个绝缘的瓷器镀了金之后，表面也能导电。不过，这与拓扑绝缘体本质上完全不同。镀金瓷器表面的导电性，对瓷器来说是外加的，将随着镀层的损坏而消失;而把拓扑绝缘体的表面削掉一层，露出的新表面依然能够导电。

同样，这种相互矛盾的行为起源于材料的形状，而且可以用拓扑学来解释。

超弦理论

在深奥的超弦理论中，物理学家试图解释，宇宙中所有粒子与相互作用力都起源于一种比任何已知的粒子小得多的东西——超弦——的振动。在这里，拓扑学又扮演了重要角色。

超弦并非只有简单的环状，而是可以具有不同的形状。这些形状决定了每一根弦能产生什么样的振动——类似于一根吉他弦，你把手指按在不同位置，可以拨出不同的音符。这些“音符”对应于不同的基本粒子，譬如一个电子或者一个夸克。

超弦理论设想时空具有一种特殊的微观结构，在空间的每一点上，至少有六个额外的维度纠缠在一起。这就好比一个毛线球，我们从高空看似乎只有一个点，但事实上却是一个很多根毛线缠在一起的线团。

维度蜷缩的方式也是一个拓扑学问题。超弦理论家甚至通过拓扑学把空间的维度跟粒子的“家族”数量联系起来。在粒子物理学中，所有基本粒子都可归为三个大“家族”：强子（如夸克），轻子（如电子）和传递相互作用的玻色子（如光子、引力子）。为什么家族数是三个，而不是四个、五个或两个呢？超弦理论的回答是：因为空间是三维的，空间的维度数决定了基本粒子的家族数。

由于拓扑学的深奥，这篇小文章无法具体地解释拓扑学是如何决定超流体、超导体、拓扑绝缘体、超弦的特殊性质的。我们只好满足于了解一点皮毛，知道拓扑学在这些地方能派上大用场就够了。

好了，现在回头去吃你的面包圈吧。面包圈只有一个洞眼，你也一样，它从你的嘴巴开始，沿着你的食管、胃、肠，一直到肛门。这就是为什么从拓扑学上看，你和你将要吃的面包圈其实是一回事的原因。