赵仪

不等式恒成立问题的命题形式多种多样，解法各不相同.其中，含有指数、对数函数式的不等式恒成立问题较为复杂.解答此类问题的主要方法是构造函数法，而如何巧妙构造出合适的函数是解题的关键.下面结合实例，谈一谈如何巧妙构造函数，解答这类不等式恒成立问题.

一、通过移项构造函数

有时，不等式恒成立问题中的目标不等式较为复杂，此时我们可以根据目标不等式的结构特征，将其进行移项，即将不等式左右两边的式子移到不等式的一侧，或将不等式一侧的式子移到另一侧，通过作差来构造新函数，研究新函数的导函数与0之间的关系，从而判断出新函数的单调性，求得最值.如将 f （x）> g（x）恒成立转化为（ f （x）- g（x））min >0，将 f （x）≤ g（x）恒成立转化为（ f （x）- g（x））max ≤0 .

要证明的不等式较为复杂，需首先将不等式移项，通过作差来构造出函数 h（x），然后对其求导，根据导函数与函数单调性之间的关系判断函数的单调性，求得函数的极值，证明 h（x）>0成立，即可证明原不等式在（0，+∞）上恒成立.一般地，若不等式左右两边的函数为不同类型的函数，则可通过作差来构造新函数，再运用导数法来求得最值，从而证明不等式恒成立.

直接证明本题有一定难度，需将不等式左边的式子进行拆分，通过移项，构造出函数 f （x）、g（x），这样只需证明 f （x）≥ g（x）恒成立即可解题.分别运用导数法讨论两个函数的最值，只需证明 f （x） min ≥ g（x） max 成立，即可证明结论.一般地，若不等式可拆分为两个简单的基本函数，此时可通过移项来构造两个新函数，将证明不等式 f （x）≥ g（x）恒成立转化为证明 f （x） min ≥ g（x） max 成立;将证明不等式 f （x）≤ g（x）恒成立转化为证明 f （x） max ≤ g（x） min 成立.分别对 f （x）、g（x）求导，运用导数法讨论 f （x）、g（x）的单调性和极值，即可证明原不等式恒成立.

二、通过放缩构造函数

有些不等式较为复杂，也不常见，很难从中发现基本函数模型，此时，可根据不等式的传递性将不等式进行合理的放缩，构造出新函数，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题.对新函数求导，讨论该函数的导函数与0之间的关系，从而判断出函数的单调性，求得函数的最值，即可解题.在放缩时，需利用重要不等式 ln x < x < e x 、ln x ≥ x -1、e x >x 2、e x ≤- 1 x 等将目标不等式放大或缩小.

目标不等式（x0- 1）e x0- k 2 x02>0较为复杂，于是借助重要不等式 e x > x 2将目标不等式缩小，进而构造出函数 h（x），将问题等价转化为证明在（ln k，+∞）上函数 h（x） min >0 .对函数 h（x）求导，根据导函数与函数单调之间的关系判断出函数的单调性，求得 h（x） min ，即可证明不等式成立.在放缩不等式时，要学会将复杂的不等式与一些常用的重要不等式关联起來，合理进行放缩，进而构造出合适的函数模型.

三、通过换元构造函数

对于较为复杂的不等式，可通过换元化简不等式，构造出合适的函数模型，以便借助导数法来解题.在解题时，可选取合适的式子用新变量替换，这样便可将不等式恒成立问题转化为关于新元的不等式问题，通过构造函数，借助导数知识讨论函数的单调性与最值，证明变形后的等价不等式恒成立，即可证明原不等式恒成立.

本题的目标不等式中含有 x1、x2，要证明目标不等式恒成立较为困难，于是引入变量 t ，将其替换 x1 x2，便构造出函数 g（t）= ln t -2（t -1） t +1，再借助导数知识求得 g（t） max ，并使其小于0，就能证明目标不等式成立.

可见，对于较为复杂的不等式恒成立问题，运用构造函数法求解非常有效，同学们可根据解题需求和目标不等式的结构特点，通过移项、放缩、换元，将目标不等式进行变形，构造出合适的函数模型，就能运用导数法来解题.