何优优 金勤

【摘   要】“画线段”是“尺规作图”的起始课。在教学中，通过“画线段，比一比哪个图形的周长更长，寻找宝物”三大任务，引导学生掌握技能的同时，在“作图”的过程中发展几何直观，提升推理能力，拓展创新意识。

【关键词】尺规作图;画线段;几何直观

本节课是学生在小学阶段第一次接触“尺规作图”，他们对新鲜的事物充满着好奇，迫切地想知道“尺”是什么，“规”是什么，利用无刻度的直尺和圆规可以做些什么。教师应该怎样让学生在“把玩”直尺和圆规的过程中，明白尺规作图的基本原理和方法？学习“尺规作图”过程中，能培养学生的哪些核心素养？

【课前慎思】

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）在例26“用直尺和圆规作等长线段”中提出：“用无刻度的直尺（或不看直尺的刻度）和圆规，作一条与给定线段长度相等的线段。”在例29“通过作图认识三角形周长”中提出：“把三角形的三条边依次画到一条直线上，认识三角形的周长。”本节课教学中，我们将这两个例题整合在一起，设计了三个有层次的数学任务：（1）作一条线段等于已知线段。学生在用尺规作等长线段的过程中，不仅要知道可以这样画，还要知道为什么可以这样画。“规”是定长，确定两个点，“尺”是把两点连起来。其背后的本质是线段的长度是由两个端点之间的距离决定的，这体现了线段长度的数学本质。（2）比一比哪个图形的周长更长。借用现实情境“比较两个基本图形周长的长短”，让学生利用尺规作图把图形的周长转化为线段长度进行比较。这一过程既让学生体会了利用尺规作图解决问题的原理，又让学生直观地理解了线段长度的可加性。（3）寻找宝物。让学生初步感受尺规作图解决实际问题的过程。通过这三个数学任务的完成，提高学生的动手能力，发展学生的几何直观和推理意识。

基于上述思考，制订具体教学目标如下。

1.会用没有刻度的直尺和圆规作一条线段等于已知线段，了解作图的道理，保留作图的痕迹。

2.经历用直尺和圆规将三角形的三条线段画到一条直线上的过程，直观感受三角形的周长。

3.在操作中提高学生的动手能力，发展学生的几何直观水平，提升推理意识。

【教学实践】

一、在探索中习得尺规作图的方法

1.回顾画线段的方法

师：请你画一条与线段ɑ一样长的线段。

生：先量出线段长度是4厘米，再画一条4厘米的线段。（如图1）

活动一：画一条与线段a一样长的线段。

（设计意图：教师通过“画一条与线段ɑ一样长的线段”这一探究活动，唤醒学生原有的认知，使其感受两点确定一条线段的意义，为接下来“尺规作图”作铺垫。）

2.自主探索画线段

师：这种画法我们二年级就会了，现在我们要提高难度，只能用没有刻度的直尺和圆规，而且不能在直尺上作记号。你们还有办法画出与线段ɑ一样长的线段吗？

（学生独立探索）

生：先用圆规把线段ɑ的长度测量出来，移到空白地方标上点，再用尺子连起来，这条线段就与线段ɑ的长度一样了（如图2）。

师：看来，用圆规对准两个端点，线段的长度也就确定下来了。

（设计意图：教师在给学生提供这些作图工具时，学生能想到在没有刻度的直尺上作记号。教师明确要求——不能在直尺上作记号，迫使学生思考其他方法。在操作过程中让学生感知用圆规两脚尖的距离刻画线段的长度，感受圆规的两点确定一条线段长度的意义。）

3.尝试尺规作线段

（多媒体播放微课，如图3）

师：用尺规作图的方法再画一条与线段ɑ一样长的线段。

（学生动手操作）

师：你们来说我来画。

（设计意图：借助微课出示规范的“畫线段”方法，让学生了解作图的原理，保留作图的痕迹。通过动手操作，感受图形的性质，增强学生的几何直观。）

二、在运用中掌握尺规作图的技能

1.猜一猜

师：试试谁的眼力强，你认为哪个图形的周长更长？（如图4）

生：三角形的周长长。

生：正方形的周长长。

生：一样长。

2.比一比

师：你们能借助圆规和没有刻度的直尺来比较吗？先想一想你打算怎样来比较这两个图形的周长。

生：我想把三角形的周长画到一条直线上，把正方形的周长也画到一条直线上，然后进行比较。

……

师：听了同学们的方法，大家动手试试。

（学生尝试，教师巡视）

3.说一说

师：现在能肯定哪个图形的周长更长吗？你是怎么比较的？

生：三角形的周长更长。我先把三角形的周长画在一条射线上，再把正方形的周长也画在一条射线上。

（呈现学生作品，如图5）

师：谁来说一说他是怎么比较的？

生：他先画一条射线，把线段ɑ画在射线上，再把线段b和线段c依次画在射线上。同样把正方形的周长也画在了射线上。

师：在图上你们能找出它们的周长吗？

生：上面的线段AD是三角形周长，下面的线段AE是正方形周长。

师：我们能看出三角形周长更长，那么你们在画正方形周长时都量了4次？

生：量一次就可以了，因为正方形的边长是相等的。

师：还有一位同学是这样画的。（出示图6）他也分别画出了三角形和正方形的周长。直接观察比较谁的周长更长的方法是行不通了，你有更好的办法吗？

生：先用圆规测量出正方形的周长，再将正方形的周长移到三角形的周长上，发现三角形的周长更长一些。

（设计意图：通过比较哪个图形的周长更长的活动，让学生经历用圆规依次度量三角形的三条边，并首尾相接画在射线上的过程，直观感知这条线段的长度就是三角形的周长，感知线段长度的可加性。而画出正方形的周长，只需要截取一次就能完成。引导学生用圆规来进行长短比较，厘清尺规作图的本质。）

4.画一画

师：你们能再作出一条线段，使它的长度等于三角形和正方形周长的差吗？

（学生动手操作）

师：谁愿意介绍一下你的方法？

生：先画一条射线AP，用圆规截取三角形的周长，画在射线上是线段AB，再截取正方形的周长，画到射线上是线段AC，那么线段BC就是三角形和正方形周长的差（如图7）。

师：还有一位同学是这样画的，能看明白他的方法吗？（如图8）

生：用圆规把正方形的周长移到三角形的周长所在的直线上，那么线段BC就是三角形与正方形周长的差。

（设计意图：教师借助作线段差的探究活动，让学生在运用过程中熟练掌握用尺规作线段和或差的方法，发展学生的推理意识。）

三、在拓展中明晰尺规作图的原理

师：接下来，我们要一起来玩一个游戏！有一块正方形草坪ABCD，被对角线分成了四个三角形的区域。在这块草坪上，某个点的下面藏着一个宝物。藏宝人给大家提供了两个寻宝锦囊，里面有寻宝的线索。你们想先打开哪个？（如图9）

师（点开锦囊1）：根据这条线索，想一想宝物可能在哪里。你能找到它吗？

（学生动手操作）

师：你是怎么找的？

生：我先用圆规截取了正方形的边长，然后在对角线上画了一下，这个交点就是宝物的位置（如图10）。

师：大家同意吗？宝物一定在这里吗？

生：宝物不一定在这里，这一条弧上都有可能有宝藏（如图11）。

师：为什么这条弧上的每个位置都可能是宝物所在的地方呢？

生：因为画弧的时候，圆规两脚间的距离是不变的，所以这条弧上的任意一个点到点A的距离都是正方形的边长。

（设计意图：教师通过追问“宝物一定在这里吗”，引发学生深度思考，使學生明白这条弧上的每一个点都符合锦囊1所给的条件，从而理解尺规作图的原理：因为圆规两脚之间的距离始终没有改变，所以同一条弧上的任意一点到中心点的距离都相等。这为学生后续学习用尺规作三角形和掌握圆的本质打下了基础。）

师：看来只有一个信息是找不到宝物的，我们再打开锦囊2，现在你能确定宝物的位置了吗？自己试着画一画。

（学生动手操作）

师：找到宝物了吗？谁愿意来分享下你找的过程？

生：我先通过圆规把两脚之间的距离确定为对角线一半的长度，然后把圆规的一只脚定在B点，画出第二条弧。这两条弧的交点，就是宝物所在的位置（如图12）。

师：大家有什么问题要问他吗？

生：为什么这个交点就是宝物所在的位置呢？

生：因为这个点既符合了锦囊1的条件，又符合了锦囊2的条件。

生：因为这个点到点A的距离等于正方形的边长，到点B的距离等于对角线的一半。

师：大家都理解了吗？老师还看到有一位同学很容易就找到了宝物，能看明白她的方法吗？（如图13）

生：她画第二条弧时没有全部画出来，只画了和第一条弧相交的这个点。

（设计意图：通过“寻宝游戏”，引导学生利用尺规作图解决问题，让学生在探索、交流、思辨的过程中，明晰了尺规作图的原理，即圆规两脚之间的距离不变，弧上任意一点到中心点的距离相等。）

四、课堂总结

师：同学们，今天我们一起研究了“画线段”，你有什么收获吗？

生：我学会了用尺规作图这种新的方法来画线段。

生：我会用尺规作图形的周长和比较图形的周长。

师：是的，尺规作图里还有很多学问等着我们，一起期待下一节课。

【教学反思】

一、初识尺规，在玩中积累作图经验，发展几何直观

在初识尺规时，教师鼓励学生在玩中积累作图经验。在解决如何“作一条与线段ɑ一样长的线段”时，找准学生用有刻度尺作图的学习起点，打破学生在无刻度尺上做记号的惯性思维，引导学生用没有刻度的直尺和圆规作出与给定线段一样长的线段。在构思作图、实际操作、概括步骤的过程中，让学生把握画线段的本质，明晰作图的思维路径。“画线段”的本质就是确定线段的两个端点，尺规作图中“规”的作用就是确定长度，而“尺”便起到了画直线的作用。这个环节旨在让学生在玩中积累尺规作图的经验，有效地发展学生的几何直观。

二、再探尺规，在做中体会作图价值，提升推理能力

在初识尺规，明白了尺规作图的原理后，教师设计了充满趣味的现实情境“比一比哪个图形的周长更长”，引发学生思维的冲突。在无法用刻度尺精确测量的前提下，该怎么比较呢？促使学生思考用尺规作图的方法进行比较，发挥学生的想象力，经历用没有刻度的直尺和圆规将三角形和正方形的边画到一条直线上的过程，直观感受图形由折线变为直线的动态变化过程，体会线段的可加性和作图的价值。整个教学环节设计紧扣“2022年版课标”，鼓励学生在不断的尝试、对比、辨析、想象中提升推理能力，加深对图形关系的理解和探索。

三、运用尺规，在思中探索作图素养，拓展创新意识

教学最后一环节时，教师设计了一个开放性的“寻宝游戏”，帮助学生在游戏中感知尺规作图是一项技能，更是思考和解决实际生活问题的工具。教学围绕“宝物到底在哪里”，引导学生在初步尝试、反思困难、合作探索、比较方法的学习中有条理地感受圆规画弧的重要价值，体会到作出两弧的交点就找到了宝物的位置。鼓励学生在“寻宝”过程中，感受作图的乐趣，实现自我的反思与调整。这一环节的设计为后续教学“画三角形”奠定了基础，这样的探索活动，培养了学生的探究欲望，激发了学生的创新意识，让数学更有数学味。

（浙江省嘉兴市嘉善县第二实验小学   314100）