朱国荣 朱术磊

小学“尺规作图”的研究

近期，教育部颁布了《义务教育数学课程标准（2022年版）》，在小学阶段增加了尺规作图的内容，引发了小学数学教育工作者的广泛关注与思考。尺规作图具体指什么？尺规作图的教育价值是什么？如何在小学阶段开展尺规作图？浙江省特级教师朱国荣老师带领其研究团队，以“画线段”“画三角形”“画角”三项教学内容为载体，厘清了小学数学“尺规作图”的学理意蕴及教学路径。本刊选取其部分研究成果，以期能给热衷于尺规作图研究的一线教师以借鉴与引领。

【摘   要】尺规作图是“2022年版课标”小学“图形与几何”领域中的新增内容，是提高学生动手操作能力、发展学生几何直观的重要载体。只有厘清尺规作图的学理意蕴，明晰尺规作图的教学路径，才能准确把握尺规作图的教学价值，引导学生在尺规作图相关内容的探究、学习中，掌握知识技能，发展几何直观，培养空间观念。

【关键词】尺规作图;学理意蕴;教学路径;几何直观

尺规作图是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）小学“图形与几何”领域中的新增内容，是提高学生动手操作能力，发展学生几何直观的重要载体。尺规作图是指用无刻度直尺和圆规进行作图。直尺的作用是画线段、射线和直线。圆规的作用是画圆，或截取相等的长度。本文从阐释尺规作图的学理意蕴出发，结合三个典型课例明晰小学尺规作图的教学路径。

一、探物明理：厘清尺规作图的学理意蕴

2022年版课标中，小学阶段“尺规作图”有三个课程内容：一是“会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段”;二是“经历用直尺和圆规将三角形的三条边画到一条直线上的过程，直观感受三角形的周长”;三是“经历基于给定线段用直尺和圆规画三角形的过程，探索三角形任意两边之和大于第三条边，并说出其中的道理……”可见，在小学阶段，尺规作图既是教学内容，也是教学手段。教学中，学生除了掌握尺规作图的技能，还要借助尺规作图理解概念、探索规律，发展几何直观，增强运用图表描述和分析问题的意识与习惯，把握数学的本质，明晰思维的路径。

（一）分析有理有据：作图原理痕迹化

以往的“几何画图”学习中，学生直接用具有刻度的作图工具画出相应的图即可，作图的方法与步骤较容易习得，教师很少引导学生思考操作背后的原理及意义。尺规作图教学的一个重要价值在于引导学生在多种数学工具支撑的场景下，开展动脑思考、动手做数学的挑战性创造活动，以此提高学生的几何直观。为此，教学过程要特别重视得出作图方法的分析过程，引导学生在充分分析图形性质的基础上，建立起直观操作与抽象想法之间的联系，让学生对于自己的作图过程“有迹可寻”，明白作图的基本原理及意义。学生在作图过程中，会逐步养成有理有据思考作图的意识。

（二）操作有条有理：作图思考可视化

古希腊时期，几何作图就有了限定，根据这种限定，利用直尺、圆规作图可以有五种方法：（1）过两个已知点可以作一条直线。（2）确定两条已知直线的交点。（3）以已知点为圆心，以已知长为半径作一个圆。（4）确定已知直线和已知圆的交点。（5）确定两个已知圆的交点。这些方法是客观明确不需要证明的，所以这几条也称为作图公法。从上面的描述来看，一个作图问题，如果可以分解为有限次作图公法来完成，这是尺规作图可能问题。强调尺规作图也就是在强调几何学习对训练逻辑思维能力的特殊作用。在尺规作图教学中引导学生运用图形的性质及图形之间的关系去分析问题，有条有理地进行作图，不仅可以发展学生的几何直观，还能有效地培养他们的逻辑思维能力。

（三）验证有道有术：作图想象多样化

在尺规作图过程中，学生会经历尝试、想象、分析、思考、验证等思維过程。因此，教师教学时应该学会倾听，给予学生学习上的支持。如在“画等长线段”中，学生初次经历比较规范的尺规作图的过程，完成根据已知线段作等长线段的活动内容，感受圆规两脚之间的距离可以表示线段的长度，进一步丰富对尺规的认识。在“画三角形”的过程中，学生充分发挥想象力，不断体会两弧的交点的重要意义，理解三角形第三个顶点确定的方法。尺规作图是小学阶段培养学生想象力和推理能力的载体，是可操作、可想象、可分析、可实现的，是学生感兴趣的学习素材。学生在尺规作图验证的过程中，能发展推理能力和空间观念，增强几何直观。

二、追本溯源：明晰尺规作图的教学路径

史宁中教授指出，尺规作图教学，要教想法，要教想象力，而非作图技巧。因此，在“尺规作图”教学过程中，教师需要充分认识其价值，大胆探索，引导学生经历积累经验的全过程。在尺规作图中让学生生长几何直观，建立几何联系，丰盈几何想象，从而发展他们的空间观念。根据2022年版课标要求，笔者所在的研究团队创生了“画线段”“画三角形”和“画角”三个紧密联系、螺旋上升的教学内容，明晰了小学阶段尺规作图的教学路径。具体教学可以从以下三个方面进行把握。

（一）抽象任务挑战：直观感知生长路径

几何直观是核心素养的主要表现之一。教学中，教师需要引导学生从操作开始，对几何对象进行直观感知，然后用几何方法表达操作，这是增强学生几何直观的一种新的学习路径。

以“画三角形”为例，教师在引导学生回忆三角形的特征后，布置任务：“老师这里有三条线段，它们的长度分别是……它们其实是某个三角形的三条边。看着它们，你能想象出这个三角形的样子吗？”（教师出示图1）

教师继续说：“我们今天的第一个任务就是要把这个三角形画出来。请看，老师已经把其中的一条边画好了，接下来请你用直尺把它画完整，有没有信心？”并引导学生在学习单上完成。

这样的任务能帮助学生打通抽象与直观之间的联系。学生在完成这个任务的过程中，遇到了困难。他们无法找到第三个顶点。教师启发学生思考：“我相信，如果有足够的时间，大家都能找到这个顶点。但是，你能不能想到其他方法，使我们快速、准确地找到三角形的第三个顶点呢？”教师请学生进一步思考：“用圆规怎样快速、准确地找到这个点呢？”让学生尝试用圆规找点画三角形，并引导学生思考：“为什么这个交点是三角形的第三个顶点？”

在这个例子中，借助有刻度的直尺画出指定边长的三角形的过程是直观可见的，学生可以通过不断的试误来完成。但是用圆规和直尺画三角形的做法是较难想到的，也是很难理解的。学生通过挑战任务、思考跟进以及微课导学，突破了这一学习难点，在作图方法的习得中发展了几何直观。

（二）自由探索体验：概念观联系路径

在相关几何内容的学习中，学生用尺规作图方法作出线段、角、平行线、三角形、平行四边形等，并思考作图过程的逻辑依据，深化对相关图形的性质及其相互关系的理解。随着学习的不断深入，学生既需要学会运用尺规作图来直观地验证已有几何性质和图形的关系，又能用关联的几何知识来解释尺规作图的基本原理和方法。

在“画线段”的学习中，研究团队经过思考和讨论，决定把“给定一条线段做等长线段”及“将三角形的三条边画到一条直线上”这两个内容放在一个课时中完成。目的是让学生了解尺规作图的含义，会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，了解作图的道理，同时保留作图的痕迹，经历自主探索三角形周长的过程，感知线段长度的可加性，一般性地理解图形的周长（如图2）。

本节课是学生第一次在小学阶段接触“尺规作图”，我们以“画线段”为核心，引导学生用直尺和圆规作给定线段的等长线段，借助用直尺和圆规作图的方法，引导学生自主探索三角形的周长，感知线段长度的可加性，一般性地理解图形的周长。通过直观感受图形的性质，学生将这些图形之间的性质进行联系，增强几何直观。

（三）练习延伸创思：想象力丰盈路径

空间想象能力是指对空间形式进行观察、分析、抽象和概括的能力。在小学数学教学中，发展空间想象能力要求学生必须对空间形式进行深入的观察。以“画线段”为例，在课的拓展练习环节中，教师以“寻宝”为情境：有一块正方形草坪ABCD，被对角线分成了四个三角形的区域。在这块草坪上，某个点的下面藏着一个宝物。藏宝人给大家提供了两个寻宝锦囊，里面有寻宝的线索。你们想先打开哪个？学生首先通过锦囊1中提供的“寻宝信息”，明确宝物距离点A的长度等于正方形的边长，并动手操作，自己找宝物。经过集体讨论后，学生意识到：宝物位置不确定，这一条弧上都有可能有宝藏。随后，打开锦囊2：“宝物距离点B的长度等于对角线的一半。”根据锦囊1给出的条件，我們画出了一条弧线，这条弧上的点都有可能是宝物，所以单靠这个锦囊是找不到宝物的。再通过锦囊2，也画出了一条弧线，这条弧线上的点距离点B的长度都等于对角线的一半。这两条弧线交叉的地方就是宝物的位置，因为这个点既满足了锦囊1的条件，又满足了锦囊2的条件。整个“寻宝”过程，让学生进一步理解了尺规作图的原理：因为圆规两脚之间的距离始终没有改变，所以同一条弧上的任意一点到中心点的距离都相等。这为学生后续学习用尺规作三角形和掌握圆的本质打下了基础，丰盈了学生的空间想象力。

三、反思内省：尺规作图的实践感悟

轨迹和作图能加强学生分析和全面观察问题的能力，并加深对几何各部分关系的理解。本次关于“尺规作图”这一内容的教学实践中，团队主要研究了“画线段” “画三角形”和“画角”三个内容，学生在这样的学习中，不仅锻练了逻辑思维能力，还发展了几何直观，从而让“画图”学习有方向、有思考、有趣味。

（一）逻辑训练内生：学生“画图”有方向

钱伟长教授指出，数学训练是一切训练的基础。训练使我们的下一代能够懂得在某个特定条件下会发生什么事情，用正确的逻辑思维就可以做推论，就可以使我们将来的行为不再是靠“拍脑袋”决定。钱伟长教授的意见对于我们探索尺规作图的教育功能有很强的指导性。学生在“画线段”的学习中，不断在想怎么画，并且思考画图的步骤，留下作图痕迹，不但积累了画图的基本活动经验，而且在画图中发展了逻辑思维能力。通过这样的操作活动，学生能自然生长几何直观，同时也对“尺规作图”的学习有了初步认识。

（二）图表描述悟行：学生“画图”有思考

在几何内容学习中，让学生用尺规作图画出线段、角、三角形等，有助于学生对相关图形的性质及其相互关系进行深度理解。从某种意义上说，这其实也是一种思维抽象化的过程。随着数学学习的不断深入，思考问题就会越来越一般化，图形对象的抽象程度会不断提高，也就形成了某些“数学感觉”，这些“数学感觉”或是几何直观，或是空间意识，或是推理意识，或是创新意识。

（三）概念理解润心：学生“画图”有趣味

对于数学学习，几何问题是一个学习难点。在“尺规作图”的学习中，教师不能一味地追求学生对图形特征概念的理解、对作图技巧的掌握等，而是需要培养学生对“尺规作图”的学习兴趣。如在“画角”的学习过程中，教师通过动态演示的方法，使调试的过程惟妙惟肖，让学生的“画图”更有趣味。

对数学教育的认识，仁者见仁，智者见智。重要的是，每个数学教育工作者都在实践与思索，真理总是会在各种意见的争鸣中，在未来的实践中凸显出来，每一项人类科学成果都会在这中间占据一个适当的位置。如何挖掘尺规作图对小学数学学习的教育功能，引导学生对几何学习对象由直观感性的操作上升到理性逻辑的认识，并在这一过程中发展几何直观，更是一个需要进一步探索的新主题。

参考文献：

[1]芮金芳.尺规作图的教学价值新厘定及教学路径新视角[J]. 教学与管理，2022（3）.

[2]梅向明，周春荔.尺规作图话古今[M].长沙：湖南教育出版社，2000.

（浙江省嘉兴教育学院   314000）