周贵胜

图形的旋转是各地中考数学试卷中永恒的话题，本文选取一道中考题为例进行分析.

例 （2021·浙江·嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第[72]页例[2]后，进一步开展探究活动：将一个矩形[ABCD]绕点[A]顺时针旋转[α]（0° < [α] ≤ 90°），得到矩形[AB'C'D']，连接[BD].

（1）探究1：如图[1]，当[α=90°]时，点[C']恰好在[DB]延长线上[.]若[AB=1]，求[BC]的长.

（2）探究2：如图[2]，连接[AC']，过点[D']作[D'M]∥[AC']交[BD]于点[M.] 线段[D'M]与[DM]相等吗？请说明理由.

（3）探究3：在探究[2]的条件下，射线[DB]分别交[AD']，[AC']于点[P]，[N（]如图[3）]，发现线段[DN]，[MN]，[PN]存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.

分析：（1）设BC = [x]，由旋转的性质得出矩形ABCD ≌ 矩形AB′C′D′，所以C′D′ = CD = AB，AD′ = AD = BC = [x]，由△BAD ∽ △BD′C′，可列比例式求解;

（2）如图4，连接DD′，由旋转可知△AC′D′ ≌ △DBA，可得[∠D'AC'=∠ADB]，由MD′∥AC′，得到∠MD′A = ∠D′AC′，再证出∠MDD′ = ∠MD′D，则得到DM = D′M;

（3） 由（2）可证明△NPA ∽ △NAD，[ANNP=NDAN]，连接AM，如图5，可推导出∠NMA = ∠NAM = 2∠MDA，得出MN = AN，进而可得出结论：MN2 = NP·ND.

解：（1）设[BC=x]，

∵矩形[ABCD]绕点[A]顺时针旋转90°得到矩形[AB'C'D']，

∴点[A]，[B]，[D']在同一直线上，矩形ABCD ≌ 矩形AB′C′D′，

∴∠BAD = ∠D′ = 90°，[AD'=AD=BC=x]，D′C′ = DC = AB = 1，

∴[D'B=AD'-AB=x-1]，

又∵点[C']在[DB]的延长线上，∴∠D′BC′ = ∠ABD，

∴[△D'C'B] ∽ [△ADB]，

∴[D'C'AD=D'BAB]，∴[1x=x-11]，

解得[x1=1+52]，[x2=1-52]（不合题意，舍去），

∴[BC=1+52].

（2）[D'M=DM].

证明：如圖4，连接[DD']，

[∵D'M∥AC']，[∴∠AD'M=∠D'AC']，

[∵AD'=DA]，[∠AD'C'=∠DAB=90°]，[D'C'=AB]，

[∴△AC'D'] ≌ [△DBA]（SAS），

[∴∠D'AC'=∠ADB]，[∴∠ADB=∠AD'M]，

[∵AD'=AD]，[∴∠ADD'=∠AD'D]，

[∴∠MDD'=∠MD'D]，[∴D'M=DM].

（3）关系式为[MN2=PN?DN].

证明：如图5，连接AM，

∵MD = MD′，AM = AM，AD = AD′，

∴△AMD ≌ △AMD′，∴∠MAD = ∠MAD′，

∵∠NMA = ∠ADM + ∠MAD，∠NAM = ∠NAP + ∠D′AM，

∴∠NMA = ∠NAM，∴MN = AN.

在[△NAP]和[△NDA]中，[∠ANP=∠DNA]，[∠NAP=∠NDA]，

∴△NPA ∽ △NAD，∴[PNAN=ANDN]，

[∴AN2=PN?DN]，[∴MN2=PN?DN].

点评：本题是矩形结合图形旋转的综合题，解这类问题的关键是利用图形旋转的性质得到角相等、线段相等等条件.

（作者单位：东北育才学校初中部）