何少杰

摘 要：本文梳理了等值线性质及如何求定值“k”，对等值线进行解读.应用等值线解高考题及竞赛题中出现的一类向量线性表示后的系数问题.

关键词：等值线定理;等值线应用;平面向量

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）25-0038-04

3 对等值线的解读

定理中系数取定值的等式分别为x+y=k，x-y=k，与平面直角坐标系中的直线方程形式完全一致，而且系数取定值时点P轨迹也是直线，难道是巧合吗？

显然不是.当平面内一组基底{OA，OB}是单位正交基底时，通过构建以{O;OA，OB}为标架的平面直角坐标系，向量OP=xOA+yOB（x，y∈R），有序实数对（x，y）就是点P的坐标，也是OP的坐标.事实上，当平面内一组基底{OA，OB}不是单位正交基底时，参照仿射几何知识，也可以通过构建以{O;OA，OB}为标架的平面仿射坐标系，使该平面内的任一点同样地与有序数对（x，y）建立起一一对应关系.需要注意的是，与平面直角坐标系不同，平面仿射坐标系两轴单位长度无需相同.那么，向量OP=xOA+yOB（x，y∈R），也就会对应唯一的平面仿射坐标系坐标（x，y）.

在平面仿射坐标系中，直线方程也同样是二元一次方程.这就不难解释两种等值线为什么是直線了.事实上，这两个系数取定值的等式正是以{O;OA，OB}为标架的平面仿射坐标系中点P的轨迹方程;这两种等值线正是在以{O;OA，OB}为标架的平面仿射坐标系中的方程所对应的曲线.那么我们可以想到，除了这两种等值曲线外，应该还有满足其它条件的等值曲线，比如等积线、等商线、等平方和线，其实质是平面仿射坐标系中满足条件的轨迹曲线.

基于以上认识，类比平面直角坐标系中的相关概念，在对应的平面仿射坐标系中，对等值线中的k可以赋予一定的几何意义.等和线方程x+y=k变形为y=-x+k，则k对应的就是“纵截距”;等差线方程x-y=k变形为y=x-k，则k对应的就是“纵截距的相反数”.至此，我们从另一角度更深刻地认识了平面向量基本定理系数等值线，也可以理解并记忆不同图形所对应的k的取值情形.

通过以上实例，我们可以发现运用等值线定理解题时，首先三个向量应该共起点，对于没有共起点的问题，可以通过寻找相等向量转化进而求解.其次，解题时通常是先找到基底{OA，OB}下的“基准线”，也就是k=1时的等值线，然后平行移动等值线，利用图形几何特征，快速找到与“基准线”平行的特殊等值线，再利用文中给出的公式求出对应k值，通过将向量问题转化为几何问题，使向量分解后的系数问题以直观形象的方式得以圆满解决.

参考文献：

[1]潘成银.平面向量基本定理系数等值线[J].数学通讯（下半月），2013（02）：40-43.

[责任编辑：李 璟]