刘畅

[摘  要] 思维是学习的起点，为了通过有效地“教”促进学生更好地“学”，教师应充分理解教材、理解学生，进而发挥引导的作用，通过科学的预设引领来启发学生的数学思维，以此提高学生的课堂学习效率.

[关键词] 思维;数学思维;学习效率

笔者在教学“直线与圆的位置关系”时，为了能够引导学生进行深度思考，结合教学内容精心筹备，在数学思维的助力下，去培养学生自主分析问题和自主解决问题的能力，进而提高他们的数学核心素养.

直觉思维促源起

数学直觉思维是对数学对象的最直接感悟，虽然其具有一定的瞬间性和不确定性，但却是开启学生思维的起点. 在新知教学中，教师需要调动学生的一切与问题相关的数学意识，从而开启认知的大门，促使他们领悟数学对象的本质. 要想启发學生的直觉思维，教师应将课堂教学主体定位于学生，将教学的引入点定位于学生的已有认知或已有经验，进而让学生的数学思维在开放的、平等的空间内不断提升.

环节1：借助生活现象，感悟位置关系

师：我们都看过日出，你眼中的日出与视频的相比哪个更美呢？（教师用视频展示太阳从海平面逐渐升起的画面.）

生齐声答：视频里的美！

借助生活情境为后面问题的引出奠定了基础，同时结合现代多媒体技术，使数学课堂变得更加生动，课堂气氛和谐.

师：如果将“太阳”看作“圆”，将“海平面”看作“直线”，联想一下刚刚视频中太阳升起的过程，你能说说两者的位置关系吗？（学生回忆时，教师在黑板上画出圆O，用直尺上下移动，进一步启发学生思维）

生1：我认为可以根据交点个数来分，分为三类，分别为0个、1个和2个.

师：你能根据刚刚的视频描述一下吗？

生1：在没有看到“太阳”时，“太阳”与“海平面”没有交点;随着时间的推移，慢慢地我们看见了“太阳”，这时有两个交点;当太阳升起至某一位置时，两者仅有一个交点.

师：说得很形象，你们是不是也是这样分类的呢？

在此环节，教师创设了学生熟悉的问题情境，学生根据生活经验和直观感受快速地对问题做出了判断. 虽然直观思维没有逻辑思维那么严谨，但是在日常生活中最为常用，也是数学知识发现和发展的动力源. 要知道数学知识源于生活，大多数学概念、公式、定理等内容都是从生活中不断抽象、不断实践提炼出来的. 人对知识最初的感知就是源于直觉，为此在数学教学中，教师应善于利用一些教学情境来激发学生的直觉思维，先让学生对问题形成一个直观感受，接下来通过恰当的问题激发学生运用所学知识去验证和推理，将其提炼和抽象为数学认知. 如在探究直线与圆的位置关系时，教师通过引入恰当的情境让学生迅速地对问题做出了直观的判断，从而得出了直线与圆的位置关系的分类，这样既淡化了数学的抽象感，又用直观的思维方式让学生对知识有了初步的认知.

逻辑思维促生成

经过前面问题的铺垫，学生对直线与圆的位置关系有了感性的认知. 我们如何用数学语言来严格证明这些关系呢？通过“由形到数”的探究，引导学生用准确的数学语言进行表述，并将位置关系抽象为用r与d的大小关系来判断的问题. 这样的过程充分培养了学生的逻辑思维.

环节2：量化分析

师：通过直观观察我们知道了直线与圆存在三种关系，按照交点个数的0个、1个和2个分别将其定义为相离、相切和相交. 联想黑板上圆与直尺的位置关系，如果将其用图形来表达改为用数量来刻画，应该如何操作呢？（学生沉思）

生2：黑板上的圆O是固定的，当直尺从下逐渐向圆移动时，直线与圆越来越近，为此可以用远近的值进行刻画.

师：说得很好，为了便于表达，你认为在圆上取哪一点为参照更易于表达呢？（教师引导学生选择圆心）

生3：我认为可以选择圆心，因为圆上有无数个点，而圆心最为特殊，更易于观察.

师：说得非常好，应该如何表述呢？

生4：圆心为点，可以利用点到直线的距离这个数量关系表述.

生5：我感觉这样表述缺少一些东西，随着直线的移动，点到直线有无数个距离，若没有一个距离值作为参照，很难正确表述.

师：这确实是一个问题，你认为我们还应该知道什么呢？

生5：还应该知道半径的大小.

在此环节，教师通过问题的引导启发学生进行逻辑分析. 通过探究学生发现了圆心到直线距离与半径的关系. 通过量化分析，知晓了问题的核心，当圆O与直线l相交时，此时d（圆心到直线的距离）r. 反之，根据d与r的大小关系也可以推导出圆与直线的位置关系.

就这样，学生最初的直观认识通过量化分析后，直指问题的核心. 学生经历了“由形到数”的转化，使思维逐渐趋于严谨，揭示了问题的本质，抽象形成概念，并可以应用概念去进行判断和推理，实现了问题的一般转化. 相信在逻辑思维的参与下，学生的分析、推理、抽象概况能力都会有所提升，帮助学生获得了更好的数学体验，有助于培养学生的数学核心素养.

应变思维促深化

例、习题教学有利于新知的巩固，是数学教学中不能缺少的重要环节，借助应用可以有效地检测学生掌握知识的情况，有助于学生内化知识. 通过前面的探究，概念已经形成，此时教师应借助一些例、习题进一步训练学生的思维，以提高学生的应变思维能力，培养学生的解决问题能力. 学生的思维是否能够有效地参与到解题过程中将关系到教学目标的实现，关系到学生学习能力的提升，为此在教学中教师要发挥好例、习题的功能.

环节3：典型解析

例1  如图1，在△ABC中，已知AC=6，∠A=45°，以点C为圆心画圆. 圆的半径r如下，请说明直线AB与圆C的位置关系.

（1）r=3; （2）r=3;（3）r=5;

师：你们认为解题的关键是什么呢？

生6：我认为解题的关键就是要求点C到直线AB的距离.

本题并不复杂，学生可以根据已有经验轻松计算出CD的长度，为了发挥习题的示范功能，教师将解题过程进行板演，进而让学生与自己的解题过程相对比，形成解题规范.

在此環节中，大多数学生都能够积极参与，并应用d与r的数量关系解决问题，达到深化知识理解、感悟数学应用的目的. 不过对于以上问题的理解，部分学生可能会存在一些问题，因为若要解决本题就需要根据已知进行定量分析，并在分析过程中不断应变，对于一些基础较为薄弱的学生来讲，应变思维较差，为此教师应该多一些耐心，多让学生在实践过程中获得一些切身的感悟，以此引导学生在经历解决问题的过程中启动应变思维，深化知识理解.

系统思维促完善

在数学教学中，为了帮助学生更好地理解知识、理解数学，教师有必要进行一些拓展训练，既发散学生思维，培养其思维的灵活性，又帮助学生完善知识结构，以提升自身的学力. 为了完成拓展训练，学生会进行深度思考，灵活运用已有的知识进行整体分析，进而抓住问题的核心和本质，同时学会辨析整体条件与部分条件间的关系，借助系统思维进一步积累解题经验，提升解题能力.

环节4：适度拓展，积累经验

例2  如图2，已知Rt△ABC的斜边AB为6 cm，直角边AC为3 cm，圆心为A，半径分别为2 cm、4 cm的两个圆与直线BC有怎样的位置关系？半径r多长时，BC与圆A相切？

变式1：若其他条件不变，将圆心A变为圆心C，此时半径分别为2 cm、4 cm的两个圆与直线AB有怎样的位置关系？半径r多长时，AB与圆C相切？

变式2：若将变式1中的直线AB变为边AB，使圆C与边AB有交点，则圆半径r应取怎样的值？

借助变式1进行纵向拓展，便于学生理解问题的本质，判断圆与直线的位置关系其本质就是判断“圆O的半径与圆心O到直线l的距离d”的大小关系，只要掌握了这一核心要素，问题就可以迎刃而解. 对于变式2，学生在应用以上方法进行判断的同时，还应利用数形结合的方法进行整体思考.

通过同质问题的拓展，让学生进一步熟悉了直线与圆的位置关系. 教师在教学过程中要善于根据教学内容进行拓展和改编，进而通过有效问题的设置引导学生进行系统思维，启发学生运用数学知识去解决一些现实的问题，同时对实际问题进行系统分析，以此培养学生思维的全面性，培养学生“用数学”的能力，进而提升数学核心素养.

总之，若想使课堂教学更加高效，则教师要善于在课堂的关键点进行科学预设，有效激发学生的数学思维，让学生深度参与到课堂教学中，从而通过深度思考便于学生更好地理解知识、应用知识.